关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

数学奥林匹克高中训练题125汇总

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 11:16
tags:高中数学奥

高中数学教学案例分析范文-建平高中数学老师

2020年10月7日发(作者:丰兴祖)



2010年第1期
41
熬孥象游蜃窘鑫吩锄锨迢(125)
中图分类号:e424.79
文献标识码:A
文章编号:1005-6416(2010)01—0041—06
第一试
一、填空题(每小题7分,共56分)1.设点D在△ABC的外部,且
———}———'——+
DA一2D曰一3DC=0.
则S脚c:S△伽c=——.
2.十张卡片显示数字9
072543
681(如
图1).将相邻两张卡片的位置互换一次称为一次操作(如第一次操作后数字
从原始的
9072543
681变成9
027543



681).则将原
始数字换成一个可被99整除的数至少需要
次操作.

团回团曰日曰曰曰困田
图l
3.已知两个非零复数戈、Y的立方和为
剐u(刍)一+(南)一的锄一.
4.如图2,在长方体
ABCD—AlB1Cl
Dl中,二
面角A—BD。一Ai的度数为

n,AB:BC:CCl=1:1:2.
则tan
ot=——.
5.数字钟分别用两A
个数字显示小时、分、秒
B图2



(如10:03:18).在同一天的05:00:00~
23:00:00(按小时计算)之间,钟面上的六个
数字都不相同的概率是

6.数列{口。}满足o。=÷,及对于自然数
n,口川=口2。+%则蚤ib的整数部分是
7.已知四次多项式f(x)的四个实根构
成公差为2的等差数列.则,’x)的所有根中
最大根与最小根之差是——.
8?如图3,已知M、A

Ⅳ分别是单位正方形ABCD的边BC、CD上的
点,么MAN=450,BE_LAN千点 E。DFLAM于点F,BG上A
膨于点G,DH-LAN于点鼠则四边形EFGH的面积为

MC
圉3
二、解答题(共44分)



9.(14分)在平面直角坐标系xOy中,横、纵坐标均为整数的点称为整
点.已知
o(o,o)、A(2,1),M是椭圆南+等=1内
的整点.若S△删=3,求符合条件的整点M
的个数.
10.(15分)已知a、b、c是△ABC的三边
长,且满足
∑丢√古+÷≥寻√Ⅱ(丢+古),
其中,“∑…‘Ⅱ”分别表示循环和、循环积
试判定△ABC的形状.
11.(15分)设a0,口l'.”,an均为实数,A是关
于聋的实系数方程∑q戈‘=0的复数根,且
IAf≥口。≥…≥口l≥口0I>1.求证:A”1=1.
加试
一、(50分)已知黝、船是00的切线,
A、B为切点,C是劣弧AB上一点,AC>BC,

万方数据
42



中等数学
PC的延长线分别交AB、00于点Q、D, E是AB的中点,c,平分么A
CB交AB于点,.求
证:,是△CDE的内心..
二、(50分)四位数m和凡互为反序的正整数,且m+,l=18k+9
(k∈N.),m、ll, 分
别有16个、12个正因数(包括l和本身),
n的质因数也是m的质因数,但n的质因数比m的质因数少1个.求m的所有
可能值.
三、(50分)求所有的函数^R+_+R+,使得对于所有的正数x,y,
恒有
夥(厂(菇)+以y))三(菇+y)/(“茗),,).①
四、(50分)是否存在409 8个集合Bi={口fl,口i2,…,a
f。}(i=1,2,…,4098,aiJ∈Aj={可一 2,巧一1,巧},
J=1,2,…,12)满足下列三个条件:
(1)尻nB川=f2j(i=1,2,…,4098,约定84嘲=B
1);
(2)当i≠歹时,B;≠召j;(3)当2≤li-j
J≤4
096时,最n毋≠a?
参考答案



第一试
i、1.4。
如图4,设D、E分
别是边AB、BC的中点,联结CD.则
葫+葫:2一OD’,①
蔬+砣:2蔬.②
①一②×3得
——+———}——斗
0=伽一2凹一3Dc
:2砀一6蔬.

天∑
?\|../1
图4
则面:3一OE.
因此,-O-B与蔬共线,且I面|-3I蔬f.于是,I朋I=2lD应

.——_'————’
故穗=手幺注=2石S,垒aco=4.
1.



2.2.
注意到99=9×11.于是,原始数字不管经过几次操作均能被9整除.
又(9+7+5+3+8)一(0+2+4+6+1)=19,(19—1
1)÷2=4,
因为4=(7—2)+(3—4),所以,7与2、3与4交换后,所得数字
能被11整除.
3.2—1999或一1.
设菇=wy.则W3+1=0.
解得加=一1或W2一W+1=0.当彬=一1时,
原式=(南)2000+(击)2000
=2—2㈣+2—2咖=2—1
999.
当彬2一W+1=0时,
’原式=(i一2埘,.2000+(w=W--w)2。∞
=(等)一+(三)一爿咖搿咖
=(加3)1333埘+w3)666w2
=(一1)1333w+(一1)酗aw2=一船+扩=一1.
4.2厢.
点F,联结AE.




B由对称性可知
图5
AE上BDl,AE=EC.
所以,么AEF是二面角A—BDl—A,的平面角,即a=么AEF.
设AB=口.则BC =a,CCl=2a.于是,ADl=438,AC=在
8,BDl=49a.毛E
Rt
A脚。¨层=筹=每.
在△ACE中,由余弦定理得
cos么栅=气警
2A萨一Ac2

I一——————=-一=一一2AF25
一够

.1
q面g曰
射球眠熵∞"



壤毗∥醮傩交5乱D埋C曩
又,山哪.图n

H点泉姗鲰舭~舭礁\


田\舳
生肛

万方数据
2010年第1期
43
故COSa=COS么AEF
=00s(1S0叱么AEC)=一咖么AEC=专
号。in
a:万i而:学
j切n仅:丝业:2后.丘旦
。’540。



为了满足题中的条件,设钟面显示应为hih2:mlm2:sls2(m
1.<6,sl<6,hI≠ ^2).
当hl<6,h2<6时,ml和s1应在小于7中的另外四个数中选择.因
而,m 。有四种选择方式,s。有三种选择方式.
由于已选择了四个数字,m:和s:就只能从剩余的六个数 字中选择,它们分
别有六种、五种的选择方式.
在05:00:00—23:00:00之间,这种情形共有时间总数是7×
4×3×6
X5=2520.
当h。、h2中只有一个小于6时,类似可求在05:00:00~23: 0
0:00之间,这种情形共有时间总数是8×5
x4x6X5=4800.
因此,钟面上的六个数字都不相同的次数是2
520+4800=7
320,概率为
2兰至Q一旦
18×3600—540’6.3.
注意到






___I_…==一
口。+l
a。(口。+1)
口。
口。+1
考j一:土一上.口n+1
n“口n+1

则羹者=去一赤一忐.
因为口:。,:>1,所以,所求整数部分为3.
7.2店.
设四次多项式f(戈)的四个实根分别为a、o+2、a+4、a+6.贝8
f(x)=.i}(茗一口)(石一口-2)(髫一口-4)(髫一口一6)
(k≠0).
令t=z—a一3.于是,
八戈)=k(t+3)(t+1)(t一1)(t-3)
=七(,一10t2+9)=g(t).



则g7(t)=k(4t3—20t)=4kt(t2—5).
因而,g’(£)的三个根为一√亨、0、万.
于是,/’(茗)的三个根为
D+3一,8-、口+3、口+3+√歹.
故(口+3+√歹)一(a+3一√互)=2√亨.
8.÷.
设么MAB=q,么MAN=卢=45。,么NAD
=7.则
s出EF=扣E?AFsin口
=争瓤n
7?AD8infit'Sinp
=丢sina.8inp.8in≯
同理,s出甜=虿1
c∞a?sin
p?cos
y.
故S四边形E删=S△^铘一SZuEF
=÷sin卢(c。s
a.cos



y“na.sin
y)
=÷8in卢?c∞(a+7)=专血45。?cos45。
一上
一4‘
二、9.联结似.易知椭圆内整点在菇轴
上有两个肘。(-6,0)、M2(6,0)满足题意.
分别过点M。、鸩作平行于直线伽的两
条直线Z。、Z:.
根据三角形等底同高面积相等可知,符合条件的整点膨均在直线Z。、Z:
上.易知

1—0
l后OA
22—-—0
2—2—‘
故直线Z。、Z:的解析式分别为
,,=丢(茹+6),Y=÷(菇一6).



万方数据
中等数学
已知M是椭圆丽2+等=1内的整点,有
面X2+等2<1.
分别解
上+8笠-<120


,,,=号(髫_6),
得一10<菇<一面10,西10<菇<10.
由M是整点,且在直线1,、12上,知戈为偶数.
所以,在一10<石<一西10及西10<茗<10
中,名分别有4个偶数.
故符合条件的整点的个数为8.
10.设d=a+b,e=b+c,/=c+a.贝q以
d、已、f为边长可构成一个△DEF.于是,


吼n虿2百=i吾历



f一=



腿si鹰=后磊磊


鲫n丁2厂——磊—一
√瓦i叹i可在△DEF中,恒有
sin譬+sin导+sin虿F≤虿3,
sln虿+sln虿+sm虿≤虿,

当且仅当么D=/E=≠F=詈时,式①等
号成立.
故∑
≤吾.
上式两边同乘以∑丢“_万得
∑÷仁巧≤甜记巧.②
由式②及题设不等式得∑÷腮=钏记巧

新教师工作总结高中数学-高中数学单元整体设计的重要性


高中数学反-高中数学必修四期末大题测试题


高中数学 求函数解析式-高中数学关于双曲线


高中数学解答题套路-高中数学必修五数列教案


高中数学经典题选 函数-课本高中数学必修4人教a版


高中数学秒杀大招资料-怎么做好高中数学家教


高中数学视频课三角函数-高中数学命题属于哪部分知识


高中数学第一单元上册-高中数学二年级教科书



本文更新与2020-10-07 11:16,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/412226.html

数学奥林匹克高中训练题125汇总的相关文章