高中数学必修四知识点第三章-老师讲高中数学挂黑板
江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(184)(无
答案)
第一试
一、填空题(每小题8分,共64分)
1. 已知定义在复数
f(
z)?(4?i)z?pz?q
集上的函数(
p、q
为复数).若
f(1)<
br>与
f(i)
均
为实数,则
p?q
的最小值为.
2
2. 已知函数
f(x)asinx?bcosx(a、b?Z)
,且满足
xf(x)?0?xf(f(x))?0
.则
????
a
的最大值为
.
3. 已知三棱锥
S?ABC
的底面是以
AB
为斜边的等腰直角
三角形,且
SA?SB?SC?AB?2
.则三棱锥
S?ABC
外接球表面积
为.
?
x3
?
2
4. 记
F(x,y)?(x?y)?<
br>?
?
?
(y?0)
.则
F(x,y)
的最小值为.
?
3y
?
5.
设任意实数
a?b?c?d?0
.要使
2
log
a
2014?log
c
2014?log
d
2014?mlog
d<
br>2014
恒成立,则
m
的最小值 为.
bbca
6. 设<
br>f(x)
是定义在
R
上的函数,对任意的
x?R
,均有
f(x?3)?f(x)?3,f(x?2)?f(x)?2
.设
g(x)?f(x)?x<
br>.若
f(4)?2014
则
f(2014)?
.
7. 若非
负整数
m、n
在求和时恰进位一次(十进制下),则称有序数对
(m,n)
为
“好的”.那
么,所有和为2020的好的有序数对的个数为.
222222
8.
已知非负实数
u、v、w
满足
u?v?w?2
.则
uv?vw?wu
的取值范围是.
二、解答题(共56分)
n
9
.(16分)设数列
?
a
n
?
满足
a
1
?
1,a
n?1
?2a
n
?n(1?2)(n?1,2,L)
.试求通
项的表达式.
10.(20分)如图1,已知
A(?1,0
),B(1,0)
,
Q、G
分别为
?ABC
的外心、重心,
QG
‖
AB
.
(1)求点
C
的轨迹
E
的方程.
(2)设(1)中的轨迹
E
与
y
轴的两个交点为
A
1
、A
2
(
A
1
位于
A
2
下方),动点
M、N
均
在轨迹
E
上,且满足
A
1
M?A
1
N,试问直线
A
1
N
与
A
1
M
的交点<
br>P
是否恒在某条定直线
l
上?
若是,求出直线
l
的方
程;若不是,请说明理由.
11.(20分)设
x、y、z
均取正实数,且
x?y?z?1<
br>.求三元函数
3x
2
?x3y
2
?y3z
2
?z
f(x,y,z)???
的最小值,并给出证明.
1?x
2
1?y
2
1?z
2
加 试
一、(40
分)如图2,在
?ABC
中,
AB?AC
,
H
为
?
ABC
的垂心,
M
为边
BC
的中点,
点
S
在边
BC
上且满足
?BHM??CHS
,点
A
在直线
HS
上的投影为
P
.证明:
?MPS
的
外接圆与
?ABC
的外接圆相切.
nA
n
?2(n?1)
2k
(n?
1,2,
L
)
.证明:当
n?1
时,
二、(40分)设k?Z
,定义:
A
1
?1,A
n?1
?
n?2
A
n
为整数,且
A
n
为奇数当且仅当
n?1
或
2(mod4)
.
三、(50分)已知
x、y、z
?
1,2
?<
br>.证明:
并指出等号成立的条件.
?
111118
11
?
????6
?
??
?
,
xyzx?y?zy
?zz?xx?y
??
四、(50分)证明:存在由2020个正整数组成的集合
S
,具有下面性质:若集合
S
的子集
A
满
足对任意
a、a??A,a?a?
,均有a?a??S
,则
A?152
.