江西省上饶县中学2017_2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(213)(无答案)

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江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题
（213）（无答案）
第一试
一、填空题
1.设集合A中的元素为三个实数，且适当调整三个数的顺序既 可构成等比数列，又可构成等
差数列，则构成的等比数列时的公比为 。
2 .在直角坐标系中，O为原点，
A(1,2)
，
B(3,4)
；在斜二侧画法 中，AB变为
AB
，则
''
OA
'
OB
'
?
.
3.请写出一个定义域、值域均为实数集的连续的偶函数 。
4.空间中四条直线满足任意两条直线的夹角均为
?
，则
?
= 。
5.设四个复数
z
1
、z
2
、z
3
、 z
4
满足
z
1
-z
2
=，1z
3
-z
4
，
=2z
1
-z
4
=3，z
2-z
3
=4
，
z?(z
1
?z
3
)( z
2
?z
4
)
则
z
的最大值为 。
6.已知抛物线
y?2px(p?0)
，
P
为
x
轴 负半轴上的动点，PA、PB为抛物线的切线，A、B
为切点，则
PAPB
的最小值为 。
7.已知当
x
单位为弧度时，有
(sinx)?cosx
，则当
x
单位为角度时，
sinx
的导数为 。
8.艾滋病（ HIV）检测技术的准确度相当惊人，若一个人真是HIV阳性，则血液检测的手段有
99%的把握将其 检测出来，若一个携带HIV，则检测手段的精度更高，达到99.99%，这表明，
只有0.01%的 假阳性，已知一般人群中HIV携带者的比例为0.01%。现假设随机在街头找一人
为其做检测，发现 检测结果是HIV阳性，则此人真正携带HIV的概率约为
（结果保留两位有效数字）



二、解答题
'
2

- 1 -

9.已知函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
，
g(x )
为二次函数，且恒有
f(g(x))?g(f(x))
，求
2
g( x)
。









10.求方程
arctan









111
?
?arctan?arctan ?
的所有正整数解
(x,y,z)
的组数。
xyz4
x
2
y
2
11.对椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)，是否存在两个定点A、B，使得对于椭圆上任意点M，若
ab
AM、BM的斜率
k
1
、k
2
存在，则
k
1
k
2
为 定值？如果存在，求出所有的点对；如果不存在，说明
理由。




- 2 -

加试
一、如图1，
?ABC
的 外心为O，D、E分别为CA、AB上的任意点，F、G、H分别为线段BD、
CE、DE的中点，且D E与
?FGH
的外接圆交于另一点I，证明：
OI?DE
.



















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二、设
b、c
为给定整数，集合
M=x
2
?bxy?cy
2
x、y?Z
，证明：对任意的
??
m、n ?M，有mn?M
。


















三、一位魔术师表演一个魔术：让一位观众在黑板上任意写两个数字，从第三个数开始，后< br>面的每个数均为前面相邻两个数之和。当写的足够多（多于10个）时，观众告诉魔术师最后
这个 数，魔术师可以算出下一个数。若魔术师的计算能力比较强，而且没有作弊，你知道他
是如何做到的吗？





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四、用边长相等的正三角形和正方形，能拼出多少个不相似的凸11边形？




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