密格尔点与西姆松、卡诺、奥倍尔诸定理

密格尔点与西姆松、卡诺、奥倍尔诸定理
密格尔点：完全四边形中的四个三角形的外接圆必交于一点，该点称为密格尔点。

如图1所示，M即为密格尔点。证明起来很简单，假设△BDE和△FCE的外接圆
交于点M，我们只需 要证明A、B、M、C四点共圆和A、F、M、D四点共圆
即可。
由D、B、M、E四点共圆知∠BME=∠ADE，
由C、F、M、E四点共圆知∠EMC=∠EFC，
则∠DAC+∠BMC=∠DAC+∠BME+∠EMC=∠DAC+∠ADE+∠EFC=π，
所以A、B、M、C四点共圆，同理可证A、F、M、D四点共圆。

我们可以反过 来思考这个问题，设M是△ABC外接圆上任意一点，D、E、F分
别是AB、BC、CA直线上的点， 如果使得D、B、M、E四点共圆，C、F、M、
E四点共圆，A、F、M、D四点共圆，那么D、E、 F三点必然共线。
证明起来也很简单。我们只需要证明∠DEB=∠CEF即可。
由A、B、M、C四点共圆知∠DBM =∠FCM，

和A、F、M、D四点共圆知∠BDM =∠CFM，
即△MBD∽△MCF，∠BMD =∠CMF；
由D、B、M、E四点共圆知∠DEB=∠BMD，
由C、F、M、E四点共圆知∠CEF =∠CMF，
所以∠DEB=∠CEF，即D、E、F三点共线。

有了以上的结论，就可以轻松证明西姆松定理、卡诺定理和奥倍尔定理。

西姆松定 理：过△ABC的外接圆上任意一点P向△ABC的三边做垂线，则三个垂
足共线。该线称为西姆松线。

如图2，因为PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，必然有P、D、B、E四点共圆，P、
E、F、C四点共圆，P、D、A、F四点共圆，所以D、E、F三点共线。这时P
点为密格尔 点。

卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边AB、BC、CA分 别

同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F
三点共线。

如图3所示，∠PDA=∠PEC=∠PFA=θ。
显然有 P、D、F、A四点共圆，P、E、B、D四点共圆，P、E、C、F四点共圆，
所以D、E、F三点共 线。这时P点为密格尔点。显然θ=90°时，卡诺定理就退
化为西姆松定理。

奥 倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的
外接圆的交点分别是L 、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN
与△ABC的三边AB、BC、CA或其 延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F
三点共线。

如图4所示，AL∥BM∥CN，则：弧AM=弧BL，弧BN=弧CM。
∠DPF=弧NC+弧CM，∠DAF=弧BN+弧NC，
所以∠DPF=∠DAF，P、D、F、A四点共圆；
∠LPD=弧BL+弧BN，∠DBC=弧AM+弧CM，
所以∠LPD=∠DBC，P、E、B、D四点共圆；
∠LPF=弧LBNCM，∠BCF=弧BL+弧LPA=弧LPA+弧AM=弧LPAM，
所以∠LPF+∠BCF=π，P、E、C、F四点共圆。
所以D、E、F三点共线。这时P点为密格尔点。
刘俊华2015-1-24