江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(203)(无答案)

江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（203）（无
答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.平面上m个点无三点共线，其凸 包为n边形，适当连线可得一个由三角形组成的网格区域，
记其中不重叠的三角形个数为
f(m ,n),则f(2016,30)?
。
?
x?y?1
uu uruuur
?
OB?1
，则
a?b
的
2.任取平面区域D ：
?
2x?y??1,
内一点
A(x,y)
，定点
B(a, b)
满足
OA
g
?
x?2y?1
?
最大值为 。
3.设抛物线C：
y?2px(p?0)
的焦点为F，其准线与
x
轴的交点为Q，过点F作直线与抛物
线C交于A、B两点，且
?QBF?90
。则< br>AF?BF?
.
4.如图1，在正方体
ABCD?ABC D
中，点E、F、G分别为线段
BB、AB、AC
上的动点，
给出以下四个命 题：
①对任意点E，存在点F，使得
DF?CE
;
②对任意点F，存在点E，使得
CE?DF

③对任意点E，存在点G，使得
DG?CE

④对任意点G，存在点E，使得
CE?DG
，
从中任选两个命题，其中恰有一真一假的概率P= 。
5.任取
?
、
?
?
?
0，
?
，均有
'
'
'
'
''''''
0
2
?
?
2
?
?
3
?
4cos
2
?
?2cos
?
gcos
?
?4cos
2
?
?3cos
?
?3c os
?
?k?0
，则
k
的最小值为 。
6.不等式
x?3x?5x?3x?2x?1?0
的解集为 。
7.实数
x、y、z
满足
x?y?z?1
，且
x?y? z?3
.则
xyz
的取值范围是 。
22265432

8.在平面区域
M?
?
(x,y)
?
?
?
?
?
?
0?y?2?x,
?
均能将这 个
k
个点分成A、B两组，
?
内任取
k
个点，
?< br>0?x?2
?
使得A组所有的横坐标之和不大于6，而B组所有点的纵坐标之和不大于6 ，则正整数
k
的最
大值为 。

二、解答题（共56分）
9.（16分）求M的最小值，使得函数
f(x)?x?2 x?1
对区间
?
0,4
?
的任一分割
2
0?x0
?x
1
?…?x
n?1
?x
n
?4
均满足
?
f(x
i
)?f(x
i?1
)?M
。
i?1
n







x
2
y
2
??1
的左、右顶点分别为A、B，在椭圆C 上 任取异于A、10.（20分）如图2，椭圆
C:
43
B的点P，直线PA、PB分别 与直线
x?3
交于点M、N，直线MB与椭圆C交于点Q.
uuuuruuur
（1）求
FM
g
FN
的值；
（2）证明：A、Q三点共线。

11.（20分）设
a
1
? Z
?
，且
a
1
?18
，定义数列
?
an
?
：
a
n?1
?
?
求集合
M=a< br>n
n?Z
?
中元素个数的最大值。










加试
一、（40分）如图 3，过
eO
外一点P作切线PA、PB以及割线PCD，过点C作PA的平行线分
别与 AB、AD交于点E、F。证明：EC=EF.












?
2a
n
,a
n
?18;

(n?1,2 ,…)
。
?
2a
n
?36,a
n
?18
? ?

二、（ 40分）证明：
2
4
?5
7
?2003(2
286
?1)(3
500
?1)(1978
100
?1)
。



















三、（50分 ）设
S?
?
1,2,…，
对任意非空有限实数集A、B，求
f?A? S?B?S?C?S2016
?
，
的最小值，其中
X?Y?a?Xa?YUa ?Ya?X
称为集合
X
与
Y
的对称差，且
????