江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(181)(无答案)

江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（181）（无
答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 在金属丝制作的
3?4?7
的长方体框架中放置一个球，则该球的半径的最大值为.
2. 双曲线的左、右两焦点分别为
F
1
、F
2
，一条过< br>F
2
的直线与双曲线的右支交于
A、B
两点.
若
?F
1
AB
为正三角形，则双曲线的离心率为.
3. 已知正实数
a、 b、c
满足
a?b?c?1
.则
a?b?c
的最大值为.
4. 从九名同学中先出五名组成班选会，要求甲、乙两人要么同时入选，要么同时不入选，丙、
丁两人不同时入选.则符合要求的选法共有种（用数字作答）.
3
5. 在等腰
? ABC
中，已知
AC?BC?5
，点
D、E、F
分别在边
A B、BC、CA
上，且
uuuruuur
25
uuuruuur
AD ?DB?EF?1
.若
DE
g
DF?
，则
EFgBA
的取值范围是.
16
6. 圆周上每个点均被染为红、黄、蓝三色之一，并且三种颜色的点 均出现.现从圆周上任取
n
个点.若其中总存在三个点构成三个顶点同色的钝角三角形，则n
的最小可能值为.
7. 已知
?
、
?
?
?
0,
?
?
.则
?
sin
?
?sin(?
?
?
)
?
sin
?
的最大值为.
?
1
2
n
a?n
?ax
8. 设.若，则
n
的取值集合为.
?
n?1
n
23
1?x?x?x
i?o

二、解答题（共56分）
9.（16分）求函数
f(x)?2x
2
?x4x
2
?3
的值域.

10.（20分）如图1，在平面直角坐标系
xOy
中，以
P为圆心的圆与双曲线
xy?1
交于点
A、B、C、D
.记线段
A B、CD
的中点分别为
E、F
.证明：四边形
OEPF
为平行四边形 .








11. （20分）已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
? 0
，并且对任意的
n??
?
,a
n?1
取
a
n
?1
或
a
n
?1
的概率
均为
1
.
2
（1）设
a
2n
?1
的值为随机变量
X< br>，试求
X
的概率分布；
（2）求
X
的绝对值的数学期望
EX
.

加 试
一、（40分）如图2，在
?ABC
中，
AB?AC
，圆
?
是
?ABC
的外接圆，圆
?
1
过点
B
且与
AC
切于点
A
，圆
?
2
过点
C
且与
AB
切于点
A
，圆
?
1
与圆
?2
交于
A、D
两点，射线
BD
与圆
?
2
交于点
E
，射线
CD
与圆
?
1
交于点
F
（点
E、F
均不与
D
重合），直线
BF
与
CE
交于点
P
.
证明：
?BAP??CAD
.

n
二、（40分）设< br>c
1
,c
2
,L
为正整数数列,且对任意满足
1?m ?
n
?
c
i?1
i
的正整数
m、n
,存在 正整
数
a
1
,a
2
,L,a
n
，使得m?
c
i
.试对每一个固定的
i(i?Z
?
)
,求
c
i
的最大值.
?
i?1
a
i

?
?
n
?
?
??
n
，其中,
?
x
?
表示不超过实三、（50分）证明 ：存在无穷多个正整数
n
,使得
?
n?
??
?
?< br>??
?
5
??
??
数
x
的最大整数.

四、(50分)已知有
n(n?4)
支足球队参加单循环赛,每两队赛一场 ,每场胜方得3分,负方得0
分,平局各得1分.所有比赛结束后发现,各队的总分构成公差为1的等差 数列,求最后一名得
分的最大值.