江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题181【word版】.doc

江西省上饶县中学
2017-2018
学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（181
）（无答案）

第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 在金属丝制作的
3?4?7
的长方体框架中放置一个球，则该球的半径的最大值为.
2. 双曲线的左、右两焦点分别为
F
1
、F
2
，一条过< br>F
2
的直线与双曲线的右支交于
A、B
两点.若
?F
1
AB
为正三角形，则双曲线的离心率为.
3. 已知正实数
a、b、c< br>满足
a?b?c?1
.则
a?b?c
的最大值为.
4. 从 九名同学中先出五名组成班选会，要求甲、乙两人要么同时入选，要么同时
不入选，丙、丁两人不同时入 选.则符合要求的选法共有种（用数字作答）.
5. 在等腰
?ABC
中，已知AC?BC?5
，点
D、E、F
分别在边
AB、BC、CA
上，
uuuruuur
25
uuuruuur
且
AD?DB?EF?1< br>.若
DE
g
DF?
，则
EFgBA
的取值范围是.
16
3
6. 圆周上每个点均被染为红、黄、蓝三色之一，并且三种颜色的点均出现. 现从
圆周上任取
n
个点.若其中总存在三个点构成三个顶点同色的钝角三角形，则n
的
最小可能值为.
7. 已知
?
、
?
?< br>?
0,
?
?
.则
?
sin
?
?si n(
?
?
?
)
?
sin
?
的最大值为.
?
1
2
n
a?n
?ax
8. 设.若，则
n
的取值集合为.
?
n?1
n
23
1?x?x?x
i?o

二、解答题（共56分）
9.（16分）求函数
f(x)?2x
2
?x4x
2
?3
的值域.

- 1 -

10.（20分）如图1，在平面直角坐标 系
xOy
中，以
P
为圆心的圆与双曲线
xy?1
交
于点
A、B、C、D
.记线段
AB、CD
的中点分别为
E、F
.证明：四边形
OEPF
为平行
四边形.








11. （20分）已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0
，并且对任意的
n ??
?
,a
n?1
取
a
n
?1
或
a
n
?1
的
1
概率均为.
2
（1）设
a
2n
?1
的值为随机变量
X
，试求
X
的概率分布；
（2）求
X
的绝对值的数学期望
EX
.



- 2 -

加 试
一、（40分）如图2，在
?ABC
中，
AB?AC
，圆
?
是
?ABC
的外接圆，圆?
1
过 点
圆
?
2
过点
C
且与
AB
切于点
A
，圆
?
1
与圆
?
2
交于
A、D
两点，
B
且与
AC
切于点
A
，
射线
BD< br>与圆
?
2
交于点
E
，射线
CD
与圆
?
1
交于点
F
（点
E、F
均不与
D
重合） ，
直线
BF
与
CE
交于点
P
.证明：
?B AP??CAD
.











- 3 -

二、（40分）设
c
1
,c
2
,L
为正 整数数列,且对任意满足
1?m?
?
c
i
的正整数
m、n< br>,存
i?1
n
在正整数
a
1
,a
2
,L,a
n
，使得
m?
?
i?1
n
c
i< br>.试对每一个固定的
i(i?Z
?
)
,求
c
i
的最大值.
a
i














?
?
n
?
?
??
n
，其中,
?
x
?< br>表示三、（50分）证明：存在无穷多个正整数
n
,使得
?
?
n
?
?
??
?
??
5
??
??
- 4 -

不超过实数
x
的最大整数.



















四、(50分)已知有< br>n(n?4)
支足球队参加单循环赛,每两队赛一场,每场胜方得3分,
负方得0分,平 局各得1分.所有比赛结束后发现,各队的总分构成公差为1的等差
- 5 -

数列,求最后一名得分的最大值.













- 6 -