圆锥表面积和体积公式多边形外角和

2020年10月7日发(作者：危道人)

多边形的内角和

[教学目标]
1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．
2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关
计算．
[教学重点、难点]
1．重点：
（1）多边形的内角和公式．
（2）多边形的外角和公式．
2．难点：多边形的内角和定理的推导．
[教学过程]
一、探究
1．我们知道三角形的内角和为180°．
2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样
长方形的内角和也 是360°．
3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形
的内角和为多少呢？
画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴
交流你的结果．
从中你得到什么结论？
同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角 和为
360°的感性认识，是否成为定理要进行推导．
二、思考几个问题
1． 从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？
那么四边形的内角和等于多 少度？
2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？
那么 这五边形的内角和为多少度？
3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角 边
形的内角和等于多少度？n形？
综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？
设多边形的边数为n，则
n边形的内角和等于（n-2）·180°．
想一想 ：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是
把一个多边形分成几个三角形． 除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有
其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式 吗？
由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）
分法一：在五边 形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则
得五个三角形．其五个三角形内角 和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5
不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5 ×180°-2×180°＝（5-2）×
180°=540°．
如果五边形变成n边形， 用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周
角，即可得：n边形内角和＝n×l80°-2× 180°=（n-2）×180°．

A



EO
213
B
54
DC

分法二：在边 AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角
形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五 边形的内角，应舍去．
∴五边形的内角和为（5-1）×180°-180°＝（5-2）×180°
用同样的办法，也可以把n边形分成（n-1）个三角形，把不是n边形内角 ．180°
×）n-2边形的内角和为（n舍去，即可得AOB的∠．

E

A


B

三、例题 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？1
例 与∠BD的关系．A＋∠C＝ 180°．求：∠的∠已知：四边形ABCD，所以可
以C＝180°与∠D的关系，由于已知∠A＋∠ 分析：本题要求∠ B 从四边
形的内角和入手，就可得到完满的答案．
BCA
D

180°。A＋∠C＝ABCD解：如图，四边形中，∠ ，×360°=180°D=∠（4
－2）B+∵∠A+∠∠C+ ）=180°AD= 360°－（∠＋∠CB∴∠＋∠ 这就是说：
如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．如图 ，在六边形的每个顶点
处各取一个外角，这些外角的和叫做六边 2 例
形的外角和．六边形的外角和等于多少？
A
6
F
1
B
25
CE
34
D

已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角．
求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：关于外角问题我们马上就会联想到 平角，这样我们就得到六边形的6个外
角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和 为（6-2）×180°
=720°．
这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°．
∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°．
由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°
∴它的外角和为6×180°-720°=360°
如果把六边形横成n边形．（n为不小于3的正整数）
同样也可以得到其外角和等于360°．即
多边形的外角和等于360°．
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．
对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°．
如下图，从多边 形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，
然后转向出发时的方向，在行程中所转的 各个角的和就是多边形的外角和，由于
走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和 等于
360°．




四、课堂练习
课本P24练习1、2、3题．
P24第2、3题
五、课堂小结
引导学生总结本节课主要内容．
六、课后作业
题．6、5、4第P25课本
备选题：
A FBCED

一、判断题．
1．当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．（ ）
2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．（ ）
3．三角形的外角和与一多边形的外角和相等．（ ）
4．从n边形一个顶点出发，可以引出（n-2）条对角线，得到（n-2）个三角形．（ ）
5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．（ ）
二、填空题．
1．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为 边形．


2．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为 边形．


3．内角和等于外角和的多边形是 边形．


4．内角和为1440°的多边形是 ．


5．一个多边 形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中
最小角为100°，最大的是140° ，那么这个多边形是 边形．


6．若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是 边形．


7．五边形的对角线有 条，它们内角和为 ．


8．一个多边形的内角和为4320°，则它的边数为 ．


9．多边形每个内角都相等，内角和为720°，则它的每一个外角为 ．


10．四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠A：∠B：< br>∠C：∠D= ．


11．四边形的四个内角中，直角最多有 个，钝角最多有 个，


锐角最多有 个．


12．如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，

外角和增加 ．


三、选择题．
1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ ）
A．互为余角 B．互为邻补角 C．两个角相等 D．外角大于内角
2．若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（ ）
A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形
3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（ ）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
4．随着多边形的边数n的增加，它的外角和（ ）
A．增加 B．减小 C．不变 D．不定
5．一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（ ）
A．五边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
6．一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（ ）
A．四边形 B，五边形 C．六边形 D．七边形
7.一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1080°
8．n边形的n个内角中锐角最多有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（ ）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D，十一边形
四、解答题．
1．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．
（1）求它的边数； （2）求少的那个内角的度数．
2．一个八边形每一个顶点可以引几条对角线？它共有多少条对角线？n边形
呢？
3．已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数．
1，求这个多边形的边数．．若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的4

2．
5．多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°，求这个多边形的边数．
6．n边形的内角和与外角和互比为13：2，求n．
7．五边形ABCDE的各内角都相等，且AE＝DE，AD∥CB吗？
8．将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？
9．四边形ABCD中，∠A+∠B=210°，∠C＝4∠D．求：∠C或∠D的度数．
10．在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠DAC＝2∠BAC．
求证：∠DBC＝2∠BDC．