2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一年级试题答案及评析

第十六届中国东南地区数学奥林匹克
1．求最大的实数
k，使得对任意正数
a
，
b
，均有
(a?b)(ab?1)(b? 1)?kab
．
2．如图，两圆
?
1
，
?
2交于
A
，
B
两点，
C
，
D
为
?
1
上两点，
E
，
F
为
?
2
上两 点，满足
A
，
B
分别在
线段
CE
，
DF< br>内，且线段
CE
，
DF
不相交．设
CF
与
?
1
，
?
2
分别交于点
K
?
?C
?
，
L
?
?F
?
，
DE
与
?
1
，
2
?
2
分别交于点
M
?
?D
?
，
N
?
?E
?
．

证明：若
?ALM
的外接圆与
?BKN
的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等．
3．函数
f:N?N
满足：对任意正整数
a
，
b
，均有< br>f
?
ab
?
整除
maxf
?
a
?< br>,b
．是否一定存在无穷多
**
??
个正整数
k
；使 得
f
?
k
?
?1
？证明你的结论．
4．将一个< br>2?5
方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由< br>9
个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所 示．

现有一个固定放置的
9?18
方格表．若用
18
面 上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说
明理由．

第十六届中国东南地区数学奥林匹克
5 ．称集合
S?{1928,1929,1930,L,1949}
的一个子集
M
为“红色”的子集，若
M
中任意两个不同的元素
之和均不被
4
整除 ．用
x
，
y
分别表示
S
的红色的四元子集的个数，红色的五 元子集的个数．试比较
x
，
y
的大小，并说明理由．
6．设
a
，
b
，
c
为给定的三角形的三边长．若正实数
x
，
y
，
y
满足
x?y?z?1
，求
axy?by z?czx
的最
大值．
7．设
ABCD
为平面内给定的凸四边形． 证明：存在一条直线上的四个不同的点
P
，
Q
，
R
，
S
和一个正
方形
A
?
B
?
C
?
D
?
，使得点
P
在直线
AB
与
A
?
B
?
上，点
Q
在直线
BC
与
B
?
C
?
上，点
R
在直线
CD
与
C
?
D
?
上，
点
S
在直线
DA
与
D
?
A
?
上．
??
8．对于正整数
x?1
，定义集 合
S
x
?pp为x的素因子,
?
为非负数,px,且
??v
p
?
x
??
mod2
?
，其中
? ?
v
p
?
x
?
表示
x
的标准分解式中素因 子
p
的次数，并记
f
?
x
?
为
S
x
中所有元素之和．约定
f
?
1
?
?1
．
今给定正整数
m
．设正整数数列
a
1
，
a
2，
L
，
a
n
，
L
满足：对任意整数
n ?m
，
a
n?1
?max
?
f
?
a
n
?
,f
?
a
n?1
?1
?
,L,f< br>?
a
n?m
?m
?
?
．
（1）证明：存在 常数
A
，使得当正整数
x
有至少两个不同的素因子时，必有
f(x) ?Ax?B
；
B
?
0?A?1
?
，
（2）证明： 存在正整数
Q
，使得对所有
n?N
，
a
n
?Q．
*
第十六届中国东南地区数学奥林匹克
参考答案
1．原不等式
?a
2
b?
?
1?b
2
?
a?b(b?1 )?kab
2

b
??
?
?
ab?
?1?b
2
?
?
?
(b?1)?kb
2

a
??
单独考虑左边，左边可以看成是一个
a
的函数、
b
为参数，那么关于
a
取最小值的时候有
??
??
b
?b
?
223
2ab??1?b(b?1)?(b?1)

??< br>?
?
ab?
?
1?b
?
?
?
(b? 1)?
?
??
aa
??
??
于是我们只需要取
k? (b?1)b
即可．
3?2

27
(b?1)
3
(b?1)
2
(b?2)
?
f(b)?
设
f(b)?
，那么，演算可知是的极小值点，那么，
f?f(2)?
f
b? 2
min
23
bb
4
即
k
max
?
27
，取极值时有
a?1
，
b?2
．
4
2评析1．不等号的左边和右边都不对称，但是右边只是一个
kab
，所以可以考虑一下类似 于分离变量的方
法把
a
或
b
挪到左边去．本答案用的是把
a
挪到左边的方法．把
b
挪到左边也有类似的做法，但是会变得
比较复杂，有兴 趣的同学不妨一试．
该题做法非常多，本篇答案给出的做法只是一种以高中课本知识即可解决的方法， 但是如果不想用到函数
求导这种比较偏流氓的方法的话，纯粹不等式的方法也是可行的．比如，
22
bb
??
abab
??
bb
??
(a?b) (ab?1)(b?1)?
?
a??
??
??1
??
??1
?

22
??
22
???
22
?
?
bb
??
abab
??
bb
?
?3
?< br>a??
?
?3
?
??1
?
?3
?
? ?1
?

?
22
??
22
??
22
?
?
27
2
ab

4
131313
2． 如图．记
G
为
CF
，
DE
的交点，
?ALM
和
?BKN
的外接圆圆心为
O
A
，
O
B
．取两圆切线上任意一点
为
H
1
，切线另一边的任意一点为
H
2
，连接
CD
．
LN
，
AB
，
MK，
EF
，
O
A
O
B
，
由于
?DCA??DBA??FBA??FEA?180?
，我们有
?DCA??FEA?180?
，即
CDEF
．另外，由
圆幂定理我们有
?GLN~?GEF
，于是我们有
?GLN??GDC??GEF??GKM
，
?GKM~?GDC，
即
LNMK
．
另一方面，那么因为
CDEF
，我们有
?LGM??CDG??EFG?1 80???CAM?180???EAL?180???LAM
，即
G
在
eO
A
上．同理
G
在
eO
B
上．由于
eOA
与
eO
B
相切，我们知道
G
在
O
A
O
B
上．
那这个时候
G
在
LK
，
MN
，
O
A
O
B
上，我们知道
?GKN??NG H
1
??MGH
2
??GLM
，故
LMKN
．由于
LMKN
，我们知道
LMKN
是一个平行四边形，那么
?LGM?? KGN
，那么两个三
角形的外接圆半径相等，
?ALM
和
?BKN< br>的外接圆半径相等．

评析2．熟悉平面几何的同学应 该很快就可以凭经验知道
CDEF
，
LNMK
，且
G
在这两 个外接圆
上．余下的部分，观察题图可以猜测
LMNK
，如果有这一条的话我们很容易 推出两个外接圆的半径相
等，剩下就是一些比较角度的工作．总体来说本题偏简单题．
3．一 定存在无穷多个这样的
k
，使得
f
?
k
?
?1．
若不然，假设只有有限多个
k
使得
f
?
k
?
?1
，我们分两种情况讨论．
若这样的
k
不止一个，那我们可以 取到最大的一个，还是记为
k
，那么对任意
n?k
，我们有
f
?
n
?
?1
．对
任意一个素数
p
，由于
pk?k
，我们有
f
?
pk
?
?1
．但是由于f
?
pk
?
整除
max{f(k),p}?max{1,p}? p
．我们知道
f
?
pk
?
?p
．对任意两个素数< br>p
，不妨
p?q
，那么
f
?
pqk
?
q
，
整除
max{f(pk),q}?maxp,q}?q
．
那 么我们现在亏虑三个素数
p
，
q
，
r
满足
p?q? r
，但是
pq?r
（比如，
p?2
，
q?3
，r?5
）．那么
一方面，
f
?
pqrk
?
整除
max{f(rk),pq}?max{r,pq}?pq
．另一方面，
f
?
pqrk
?
整除
max{f(pqk),r}?max{q,r}?r
．但是
(pq,r)?1
，所以
f(pqrk)|1
即
f(pqr k)?1
．但是
pqrk?k
，矛
盾．所以一定存在无穷多个
k，使得
f
?
k
?
?1
．
评析3．欧几里德证 明素数无限的方法是数论里面很典范的一种证明方式，在证明某一类数字有无限多个的
时候，通过反证假 设这一类数字只有有限个，不妨设为
k
1
?k
2
?L?k
n
，套路上我们可以考虑
k
n
，
k
n
?1
，
k
1
k
2
Lk
n
，
k
1
k
2
Lk
n
?1
．
?
k
1
,k< br>2
,L,k
n
?
等数字来找到矛盾，本题也是如此．

值得一说的是，在这个题目中，对于任何整数
n
，我们 可以定义一个新的函数
f
n
(a)?f(an)
，那么
f
n
(ab)?f(abn)
要整除
max{f(an),b}?max
?
f
n
(a),b
?
．也就是说
f
n
也是一个满足 相同性质的函数．那
么实际上，我们可以证明对任意一个
k
满足
f
?
k
?
?1
．那么
{mk}
m?1
中有无限多个m
满足
f
?
mk
?
?1
．更
?
复杂的话，有兴趣的同学可以自行尝试推导一下这个
f
?
k
?
?1
的解的密度．
4．首先显然，一个
9?2
的格子里面放置两面旌旗一共有两种方法，如下图：
或
9
那么
9?18
的格子中可以放入
9
个
9?2
的格子，所以每个
9?2
的格子里有两种可能，一共
2?512种放
法．下面证明没有别的放法．
首先我们考察
9?18
的侧边，即变 成为
9
这条边．若我们用
18
面旌旗把这些格子填满了，那么我们考察这条< br>边上放的旌旗．旌旗的几条边长为
5
，
4
，
2
，1
．若旌旗边长为
1
的边靠着底边，那么
1
的左右某一边的格< br>子只能用另一面旌旗的边长为
5
的边来填，如图：

那么这条边上剩 下三个格子，无法用
2
和
1
来填满（因为
1
需要伴随
5
）．
若旌旗边长为
2
的边靠着底边，那么这时侧边只能是
9? 5?2?2
用三条旌旗来覆盖，这个时候两条旌旗横
着用边长为
2
的底边来接 触侧边．同时第二列只有一个空着的格子，若要填住这个格子只能用一条旌旗的旗
头来填，所以只能是如 图的填法：

其中虚线表示两面用边长为
2
的底边填充格子侧边的旌旗可以放在用边长为
5
的底边填充侧边的旌旗的上
面或者下面 ．于是无论如何在第三列总会出现三个连续的空格无法被旌旗填充，所以侧边只能用
5?4
的填
法，那么消去这两列之后新的侧边也只能用
5?4
的填法来填充，这种归纳的想法可知 没有其他的填法．
评析4．本题的答案非常送分，证明的方法却变得非常朴素．一般遇到填格子的题目 的话很常规的一种套路
就是用染色的方法，我们可以斑马条纹染色，也可以国际象棋棋盘染色，但是这个 题目似乎用染色的方法做
不出来，反而用这种硬讨论的朴素方法可以做，似乎有时也需要跳出套路来想问 题．
5．显然，若
m?M
满足
m?i(mod4)
，那么任何n
满足
n?4?i
?
mod4
?
都不能在
4< br>里面．所以将
S
按照
模
4
的余数分为
4
种：
S
0
?{1928,1932,1936,1940,1944,1948}

S
1
?{1929,1933,1937,1941,1945,1949}

S
2
?{1930,1934,1938,1942,1946}

S
3
?{1931,1935,1939,1943,1947}

那么
S
0
?S
1
?6
，
S
2
?S
3
?5
．那么入前所述，
S
0
，
S
2的元素顶多有一个在
M
中，
S
1
，
S
3
的元素不
能同时在
M
中，所以四元红色子集有四种情况：
四个元素都属于
S
1
或
S
3
；
一个元素 属于
S
0
，剩下三个元素都属于
S
1
或
S
3
；
一个元素属于
S
2
，剩下三个元素都属于
S
1
或
S
3
；
一个元素属于
S
0
．一个元 素属于
S
2
，剩下两个元素都属于
S
1
或
S
3
，

所以
x?C
6
?C
5
?6?C
6
?6?C
5
?5?C
6
?5?C5
?6?5?C
6
?6?5?C
5
?1100
． 同理，
y?C
6
?C
5
?6?C
6
?6?C< br>5
?5?C
6
?5?C
5
?6?5?C
6
? 6?5?C
5
?1127
．
所以
x?y

评析5．这个题目就算是出自高考全国卷都不会让人感觉到任何奇怪……
6．考虑拉格朗日乘 子
L?axy?byz?czx?
?
?(x?y?z?1)
，那么
55444433
44333322
?
L
??
?
?ay?c z

?x
?
L
??
?
?ax?bz

?y
?
L
??
?
?cx?by

?z
?
L
?1?x?y?z

?
?
那么< br>?L?
L
?L?
L
????0
的解为：
?x?y? z?
?
x?
b(c?a?b)c(a?b?c)
y?
，
2 22222
2ab?2bc?2ca?a?b?c2ab?2bc?2ca?a?b?c
a(b ?c?a)?2abc
?
?
，
2ab?2bc?2ca?a
2?b
2
?c
2
2ab?2bc?2ca?a
2
?b2
?c
2
z?
于是
(axy?byz?czx)
max
?
abc

2222ab?2bc?2ca?a?b?c
评析6．三元二次极值问题用拉格朗日乘子比较容易解决，因 为拉格朗日量的各种偏导数都是线性的，最终
我们只需要解决一个线性方程即可，所以这篇答案中用了最 简单暴力的方法．事实上，这个题目可以用几何
不等式的方法来做，或者直接用嵌入不等式来做，但是我 不会．
7．对于任意的四边形
ABCD
（甚至不要求凸），我们都可以找一条直线< br>l
使得
l
不在任何一条边上，也不与
任何一条边平行，并且
A B
，
BC
，
CD
，
DA
分别与
l
交于四个不同的点
P
，
Q
，
R
，
S
．我们 将证明一
Q
，
R
，个更强的结论：若
P
，那么我们可以找到 一个正方形
A
?
B
?
C
?
D
?
，
S
是一条直线
l
上的四个不同的点，
使得
A
?B
?
，
B
?
C
?
，
C
?D
?
，
D
?
A
?
分别过
P
，
Q
，
R
，
S
点．

我们不妨设
l
就是
y
轴（不然通过旋转即可），
P
，
Q
，
R
，
S
的纵坐标为
p
，
q
，
r
，
s
．那么考虑一个
斜率参数
k
，过
P
，
R
做斜率为
k
的直线
y?kx?p
和
y?kx?r
，过
Q
，
S
做斜率为
?
1
的 直线
k
11
y??x?q
和
y??x?s
．那么设这四条直 线就是
A
?
B
?
，
C
?
D
?，
B
?
C
?
，
D
?
A
?，于是我们可以解得
kk
11
?
k
??
k
?
22
A?
?
(s?p),ks?pB?(q?p),kq?p
，????
???

2222
1?k1?k
?
1?k??
1?k
?
11
?
k
??
k
?22
C?
?
(q?r),kq?rD?(s?r),ks?r
，
????
???

2222
1?k1?k1?k1?k
????|AB|
2
k
2
(q?s)
2
?
于是
l?

2
|AD|(p?r)
2
即
k??
p?r

q?s
那么由于
p
，
q
，
r
，
s
互不相同可知存在这样的斜率，使得
A
?
B
?
C
?
D
?
是正方形．
评析7．这道平面几何的题目非常的非主流，同学们如果直接从平 几方法来构造的话可能会被卡很久，这里
给了一种解析的方法．实际上这个题目也可以用复数做，假设< br>A
?
B
?
C
?
D
?
的中心所对应的 复数为
z
，那么正
方形的四个点可以设为
z?t
，
z?it
，
z?it
，
z?it
，这种做法也一样可行．
8．（1 ）设
x?p
1
1
Lp
k
k
(k?2)
，直 接计算可以有
k
?
s
i
?
?
2
?
??
s
i
?
?
?
?
?
2
???
??
?
?
p
i
s
i
?
?
?
p
i
?2j
?

i?1
?
j? 0
?
??
k
s
s
2
3
f(x)?
??
p
i
s
i
?2j
i?1i?0
1?
?
?
p?
s
i
i
i?1
k
1
pi
?
s
?
2
?
i
?
?
2?
1?
1
p
i
2
?
?
p
i< br>s
i
?
i?1
k
1

?2
1?p< br>i
?
?
p
i
s
i
?
i?1
k
14
s
i
?
?
p
i
（因为
p< br>i
最小为
2
）
1?2
?2
i?1
3
s
记录
a
i
?p
i
i
，，那么
a
i
?2
，我们重点考虑
令
f
?
a
1
,< br>L
,a
k
?
?
?
?
?
a
和
?
a
之间的大小关系．
ii
?
a
i
?< br>?
a
i
，那么
?f
?
?
??
j?i
a
j
，所以事实上若
?
??
j?i
a
j< br>，对任意
i
都成立，
?a
i

那 么在
a
i
变小的时候
f
变大，则
f
?
a< br>1
,L,a
k
?
?f(2,L,2)?2
?
k?2< br>k
．用求导的方法很容易知道
2
?
k?2
会在
k?l n2
?
?ln
取
k?2
，
3
得到
k?
?1
那么在整数的取值上，我们
?
2
?
?
? ln
?1
(2)?ln
?
2?2?ln
?1
(2)
?
?ln
?1
(2)?3
的时候取到，
2
?
?2? 2
2
?4
?
?4

2
?
?3?2
3
?6
?
?8

由 于
?
?2
，我们知道
2
?
k?2?4
?
? 4
．于是
k
44
??
k
f(x)?
?
a
i
??
?
2
?
k?2?
?
a
i< br>?

3
?
?
i?1
3
i?1
?k
k
4
?
16
?
?1
?
4

??
?
4
?
?4?
?
a
i
???x??
3
?
?
3
?
i?1
?
3< br>?
k
那么我们只需要取一个
?
使得
428
?
?
?2
即可，比如我们取
?
?2
就会得到
f(x)?x?< br>．
333
（2）若不存在这样的
Q
，那么存在
a
n
使得
a
n
?2m?8
，不妨设
a
n
，a
n?1
，
L
，
a
n?m
中最大的是
a
，那么
显然
a?2m?8
．于是
a
n?1
?m ax
?
f
?
a
n
?
,f
?
an?1
?1
?
,L,f
?
a
n?m
?m
?
?

828
??
2
?max
?
an
?,
L
,
?
a
n?m
?m
?
?
?

333
??
3
828
??
2?max
?
?
a
n
?m
?
?,
L,
?
a
n?m
?m
?
?
?

333
??
3
228
?max
?
a
n
,L ,a
n?m
?
?m?

333
?
22m?8
a??a

33
*
所 以归纳可证明
a
n?k
?a
，这与无上界是矛盾的．所以一定存在这么一个< br>Q
，使得
a
n
?Q
对所有
n?N
都
成立．
评析8．数论中出现素因子的加法一般都会变得很难，但是这个题目主要通过估计就可以达到要 求，所有同
学做题的时候一定要注意看题目，不要看一眼觉得很复杂就马上放弃，这个题还是可做的．从 答案上看这个
估计并不太难，只要敢拆敢放就能做出来，实际上这种估计也的确没有用到任何解析数论的 方法，所有的步

骤都是高中生都可以做出来的，但是我还是建议各位同学 在学习潘承洞，潘承彪两位先生的《初等数论》的
时候把后面章节的内容也看一看，素数定理和 Eratosthenes筛法的基础知识并不会太难，了解一下并没有什
么坏处．
另外，这 篇答案的放缩放得非常狠，比如公式第二行的不等号基本上是
s
i
直接放到无穷，第三 行的不等号就
直接把所有
p
i
；都放成
2
，之后讨论函数的 时候又把所有
p
s
i
可以说
i
当
2
来做，
2
是一个非常粗略的答案．有
3
兴趣的同学可以算算
k?2
的情况玩玩，看看自己能把这个不等号放到多小．