数学奥林匹克高中训练题(28)及答案

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数学奥林匹克高中训练题（28）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题38)已知连结A（－3，0），B（0，－3），C（
有公共点. 则圆半径R的取值范围是(B)．
(A)
?
0,
?
1524
,
）的三角形与圆x
2
+y
2
=R
2
（R＞0） 总
77
?
?
310
?
?
10
?
?
?
310389
?
?
389
?
(B)
,??
?
??
?
10
,
7
?
?< br>?
7
?
??
??
D
1

A
1

B
1

C
1

?
32
?
?
32
?
(C)
?
0,
(D)
(3,??)
?
?
??
?
3
,3
?
?
2
??
??
2．(训练题38)如图所示，长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中AB、DB
1
、
A
1
D
1
、CC
1
两两成异面直线. 现作一对相交直线
l
1
、
l
2
，使
l
1< br>D
C
与AB、DB
1
均相交，
l
2
与A
1
D
1
、CC
1
均相交，这样的相交直线
有(D) ．
A
B
(A)0对 (B)1对 (C)多于1的有限对 (D)无限对
3．(训练题38)如图，过⊙O外一点A作圆的两条切线AB、AC，连BC. 则△ABC的周长P与劣弧BC
的长
l
之间的关系为(A)．
(A)P＞2
l
(B)P=2
l
(C)P2＜
l
(D)不能确定，与A的位置有关
B

4．(训练题38)已知x为锐角. 则
sinx?cosx?
33
?
2
是
x?
的(C)．
4
2
A

l

O

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
C

5．(训练题38)如图1，矩形B
1
BCC
1
由正方形B
1
BAA
1
与A
1
ACC
1
拼接而成. 现将图形沿A
1
A对折成直二面
角；如图2，取线段B
1
C内一点P，记P到
AB的距离为PE，P到A
1
C
1
的距离为P F，
A
1

C
A
1

B
F
则PE与PF的关系为(B)．
B
C
(A)PE＞PF (B)PE=PF (C)PE＜PF
(D)不能确定，与点P的位置有关
P
6．(训练题38)对b＞a＞0，取第1象限的
点A
k
（x
k
， y
k
）（k=1，2，…，n），使a，
B
A A
C
B C
x
1
，x
2
，…， x
n
，b成 等差数列，而a，
图图
y
1
，y
2
，…，y
n，b成等比数列. 则各点
A
1
、A
2
、…、A
n与射线
l
∶y=x（x＞0）的关系为(C)．
(A)各点均在射线
l
的上方 (B)各点均在射线
l
上
(C)各点均在射线
l
的下方 (D)不能确定
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二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
xxxx
1．(训练题38)方程log
5
(3+4)=log4(5－3)的解集 合为 {2} ．
2．(训练题38)在直角坐标系上，Rt△OAB三个 顶点的坐标为O（0，0），A
（1，0），B（1，2）.在斜边上任取一点C（x，2x）（0＜x ＜1），过C作
CD⊥OA于D，作CE⊥AB于E. 记△OCD的面积为S
1
(x )，矩形CDAE的面
积为S
2
(x)，△CEB的面积为S
3
(x )（如图）；又对同一个x，记f(x)为S
1
(x)，
S
2
(x) ，S
3
(x)中的最大值.当C在线段OB内变化时，f(x)的最小值为
S
2

C
E
S
1

S
3

O
D
1
x
y
B
4
．
9
3．(训练题38)满足(a
n
－1)(a
n+1
+1)=0(n=1，2，…，99)的不同数列a
1，a
2
，…，a
100
共有 无穷 个．
4．(训练 题38)已知纯虚数x
1
，x
2
，…，x
1999
的模均为 1. 则x
1
x
2
+x
2
x
3
+…+x< br>1998
x
1999
+x
1999
x
1
被4 除所得的余
数为 1 ．
5．(训练题38)身高两两不等的10个人排成一列，每个人都比前面的人高或都比前面的人矮. 则符合
条件的排法数有 512 种（用数字作答）．
6．(训练题38)用1，2 ，…，n，组成无重复数字的n位数，规定2不得与1或3相邻时共得2400个不同
的n位数. 则n= 7 ．
222
三、(训练题38)(本题满分20分)已知抛物线S：y =ax+bx+c(a≠0)与二次曲线ax+y+bx+ay+c+a=0的4
个不同的交点，由草图 3、4可以看出，下面三个结论是成立的，请给出证明．
（1）两曲线的4个交点中，至少有两个交点位于x轴的下方；
（2）抛物线S必与x轴有两个 不同的交点，记为（x
1
，0），（x
2
，0），x
1
≠x
2
；
（3）两曲线的4个交点中，必存在一点（x
0
，y< br>0
），使(x
0
－x
1
)(x
0
－x
2
)＜0.
注：对a、b、c的不同取值会有无
数个图形，此处仅就a＜b，0＜ a＜1
各给出一个示意图，同时也就限制
“由图看出”的解答.



图3
图4
O
C
O
-1
x
-1
O
x
y
y
四、(训练题38)(本题满分2 0分)如图，点O表示太阳，△ABC
表示一个三角形遮阳栅，点A、B是地面上南北方向的两个定点，
正西方向射出的太阳光线OCD把遮阳栅投射到地面得出遮影△
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A
B
D

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ABD. 已知光线OCD与地面成锐角θ．
（1）遮阳栅与地面成多少度角时，才能使遮影△ABD面积最大？
（2）当AC=3，BC=4，AB=5，θ=30°时，求出遮影△ABD的最大面积.
y
五、(训练题38)(本题满分20分)由草图可见，方程
log
5
(1?x)?l og
16
x
有且仅有一个解. 请证明这个结论.




x
第二试
一、(训练题38)(本题满分50分)已知直角梯形ABC D的直角腰AB存在一点E，使△CDE为正三角形，
又
AE
AE4
. 求的值．
?
AB
CD4
A
D
二、(训练题38)(本题满分50分) 圆周上有n个点（n≥2），用弦两两连
结起来，其中任何3条弦都不在圆内共点. 现将由此形成的互不重叠的
圆内区域的个数记为a
n
．
（1）直接画图求出 a
2
，a
3
，a
4
，a
5
，a
6
；
（2）确定a
n
的表达式.
E
B C < br>1
三、(训练题38)(本题满分50分)求证：数列
a
n
?3
n
cos(narccos)(n?1,2,)
的每项都是
3
整数，但都不 是3的倍数．
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
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山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。

高者未必贤，下者未必愚


克

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