江西省上饶县中学2017-2018学年度数学奥林匹克竞赛高中训练题(202) Word版缺答案

数学奥林匹克高中训练题（202）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
x
3
?y
3
?z< br>3
111
33
?y??z?
1.设
x、y、z?0，且x?< br>则的取值
xyz
y?2016z?2016x?2016
3
集合为 。
2.多项式
p(x)?x?224x?2016x?d
的三个根成等比数列，则< br>d
的值为 。
3.若曲线
x?y?9
上的点P到 直线
y??x
的距离为2016，则点P到第一、三象限角平分线
的距离为 。
4.设
?ABC
的边长分别为
6、x、2x
。则其面积S的最大值为 .
5.在四面体ABCD中，
AB?1,BC?26,CD?5,DA?7,AC?5,BD ?7
.则其体积为 。
6.连续掷三次色子，所得点数的乘积被6整除的概率为 。
7.在方程
z?z?1?0
的所有复根中，模长为1的有 个。 8.设
A?1…798799
为2100位的正整数，其由100到799的三位数顺序连 接而
成，则A被126除的余数为

二、解答题（共56分）
9.（16分）数列
?
a
n
?< br>满足
a
1
?2,a
2
?
1410
22
32
3
，
2
2
a
n
?a
n
a
n?1
?a
n
a
n?1
?a
n?1
an?1
?2a
n
?a
n?1
?a
n?1
?0( n?2)
证明：
a
2016
?6

10.（20分）已知点
P(1,?2)
在抛物线
y?mx
上，问：是否存在定点Q，经过点Q而与抛物
线交于点A、B的任意直线均使得
?APB的外角平分线为抛物线的切线？










11.（20分）求函数
f(x)?













加试
2
x
2
?4x?3?x
2
?4x?5
的值域。

k
3
k
C
n
一、（40分）设整 数
n?2
，证明：
?
kk
?1

k?1
8C
n?1
n?1






















二、（40分）求所有的自然数
n
，使
n11?1
为五次方数。




n

三 、（50分）如图1，
?ABC
的内切圆与边
BC、CA、AB
分别切于点D 、E、F，BF、BD、CE、
CD的中点分别为M、N、P、Q，MN与PQ交于点X，证明：
?XBC
的外接圆与
?ABC
的内切圆
相切。

四、（50分）凸多面体的每个面均为三角形，每条棱上均标记字母a、b、c之一，且每个面的
三条 边上恰a、b、c各有一个，对每一个面，当旋转多面体使该面在我们眼前时，按照字母
顺序a、b、c 观察其三边，若是逆时针方向，则称其为正面；否则，称其为反面。证明：正
面与反面原数目之差能被4 整除。