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(完整word版)高中数学竞赛平面几何讲座第5讲三角形的五心

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 11:29
tags:高中数学奥

高中数学共轭复数的概念-高中数学公式及推导过程

2020年10月7日发(作者:施承训)


第五讲 三角形的五心

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
一、外心.
三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角
定理.
例 1.过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M;引PN∥BA交
AC于N.作点P关于 MN的对称点P′.试证:P′点在△ABC外接圆上.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
A
P
'
分析:由已知可得MP′=MP=MB,NP′=NP
N
=NC,故点M是△P′BP的外心,点
N是△P′PC的外心.有
M
11
B
C
∠BP′P=∠BMP=∠BAC,
P
22
11
∠PP′C=∠PNC=∠BAC.
22
∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.
从而,P′点与A,B,C共圆、即P′在△ABC外接圆上.
由于P′P平分∠BP′C,显然还有
P′B:P′C=BP:PC.
例2. 在△ABC的边AB,BC,CA上分别取点P,Q,S.证明以△APS,△BQP,
△CSQ的外心 为顶点的三角形与△ABC相似.
(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
A
分析:设O
1
,O
2
,O
3
是△APS,△BQ P,
O
1
△CSQ的外心,作出六边形
.
.
.
.
P
K
S
O
1
PO
2
QO
3S后再由外
心性质可知
O
2
O
3
B
C
∠PO
1
S=2∠A,
Q
∠QO
2
P=2∠B,
∠SO
3
Q=2∠C.
∴∠PO
1
S+∠QO
2
P+∠SO
3
Q=360°.从而又知∠O
1
PO
2
+
∠O
2
QO
3
+∠O
3
SO
1
=360°
将△O
2
QO
3
绕着O
3
点旋转到△KSO
3,易判断△KSO
1
≌△O
2
PO
1
,同时可
得△O
1
O
2
O
3
≌△O
1
KO
3
.
1
∴∠O
2
O
1
O
3
=∠KO
1
O
3
=∠O
2
O
1
K
2
1
=(∠O
2
O
1
S+∠SO
1
K)
2
1
=(∠O
2
O
1
S+∠PO
1
O
2
)
2
1
=∠PO
1
S=∠A;
2
同理有∠O
1
O
2
O
3
= ∠B.故△O
1
O
2
O
3
∽△ABC.
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二、重心
三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每
条中线都分成定比2:1及中线长度公式,便于解题.
例3.AD,BE,CF是△ABC的 三条中线,P是任意一点.证明:在△PAD,△
PBE,△PCF中,其中一个面积等于另外两个面积 的和.
(第26届莫斯科数学奥林匹克)
A
分析:设G为△ABC重心,直线PG与AB
A
'
F
'
,BC相交.从A,C,D,E,F分别
E
F
G
作该直线的垂线,垂足为A′,C′,
E
'
D
'
D′,E′,F′.
B
C
C
'
D
易证AA′=2DD′,CC′=2FF′,2EE′=AA′+CC′,
P

∴EE′=DD′+FF′.
有S

PGE
=S
△< br>PGD
+S

PGF
.
两边各扩大3倍,有S

PBE
=S

PAD
+S

PCF.
例4.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成
的新三 角形相似.其逆亦真.
分析:将△ABC简记为△,由三中线AD,BE,CF围成的三角形简记为△ ′.G
为重心,连DE到H,使EH=DE,连HC,HF,则△′就是△HCF.
(1)a
2
,b
2
,c
2
成等差数列
?
△ ∽△′.
若△ABC为正三角形,易证△∽△′.
不妨设a≥b≥c,有
1
CF=
2a
2
?2b
2
?c
2

2
1
BE=
2c
2
?2a
2
?b
2

2
1
AD=
2b
2
?2c
2
?a
2
.
2
将a
2
+c
2
=2b
2
,分别代入以上三式,得
CF=
333
a
,BE=
b
,AD=
c
.
222
333
a
:
b
:
c

222
∴CF:BE:AD =
=a:b:c.
故有△∽△′.
(2) △∽△′
?
a
2
,b
2
,c
2
成等差数列 .
当△中a≥b≥c时,
△′中CF≥BE≥AD.
∵△∽△′,

S
?
'
CF
2
=().
S
?
a
第 2 页 共 8 页


据“ 三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的
S
?
'
3
=.
S
?
4
3
”,有
4
CF
2
3

2
=
?
3a
2
=4CF
2
=2a
2
+b
2
-c
2

4
a
?
a
2
+c
2
=2b
2
.
三、垂心
三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等( 外
接)圆三角形,给我们解题提供了极大的便利.
例5.设A
1
A
2
A
3
A
4
为⊙O内接四边形,H
1
,H
2
,H
3
,H
4
依次为
△A
2
A
3
A
4
,△A
3
A
4
A
1
,△ A
4
A
1
A
2
,△A
1
A
2A
3
的垂心.求证:H
1
,H
2
,H
3

H
4
四点共圆,并确定出该圆的圆心位置.
(1992,全国高中联赛)
A
1
A
2
分析:连接A
2< br>H
1
,A
1
H
2
,H
1
H
2
,记圆半径
为R.由△A
2
A
3
A
4

H
H
1

A
2
H
1
= 2R
?
A
2
H
1
=2Rcos∠A
3
A< br>2
A
A
4

3

sin?A
2A
3
H
1
O
.
2
A
4
由△A
1
A
3
A
4

A
1
H
2
=2Rcos∠A
3
A
1
A
4
.
但∠A
3
A
2
A
4
=∠A3
A
1
A
4
,故A
2
H
1
= A
1
H
2
.

易证A
2
H
1
∥A
1
A
2
,于是,A
2
H
1

AH,
=
12
故得H
1
H
2


AA.设H
1
A1
与H
2
A
2
的交点为M,故H
1
H
2
与A
1
A
2
关于M点
=
21
成中心对称 .
同理,H
2
H
3
与A
2
A
3
,H
3
H
4
与A
3
A
4
,H
4
H
1
与A
4
A
1
都关于M点成中心对称 .
故四边形H
1
H
2
H
3
H
4
与 四边形A
1
A
2
A
3
A
4
关于M点成中心 对称,两者是全
等四边形,H
1
,H
2
,H
3
,H
4
在同一个圆上.后者的圆心设为Q,Q与O也
关于M成中心对称.由O,M两点,Q 点就不难确定了.
例6.H为△ABC的垂心,D,E,F分别是BC,CA,AB的中心.一个以H 为圆
心的⊙H交直线EF,FD,DE于A
1
,A
2
,B
1
,B
2
,C
1
,C
2
.
求 证:AA
1
=AA
2
=BB
1
=BB
2
= CC
1
=CC
2
.
(1989,加拿大数学奥林匹克训练题)
B
2
C
1
A
分 析:只须证明AA
1
=BB
1
=CC
1
即可.设
H
2
M
E
A
2
A
1
F
BC=a, CA=b,AB=c,△ABC外
H
接圆半径为R,⊙H的半径为r.


B
C
H
1
连HA
1
,AH交EF于M.
D
A
A
12
=AM
2
+A
1
M
2
=AM
2+r
2
-MH
2

< br>C
2
B
1
=r
2
+(AM
2
-MH
2
), ①
11
又AM
2
-HM
2
=(AH
1< br>)
2
-(AH-AH
1
)
2

22
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=AH·AH
1
-AH
2
=AH
2
·AB- AH
2

2

=cosA·bc-AH, ②
AH
而=2R
?
AH
2
=4R
2
cos
2
A,
sin?ABH
a
=2R
?
a
2
=4R
2
sin
2
A.
sinA
∴AH
2
+a
2
=4R
2
,AH
2
=4R
2
-a
2
. ③
由①、②、③有
b
2< br>?c
2
?a
2
A
A
=r+·bc-(4R
2
-a
2
)
2bc
2
1
2
1
22 2
(a+b+c)-4R
2
+r
2
.
2
1
同理,
BB
1
2
=(a
2
+b
2
+c< br>2
)-4R
2
+r
2

2
1
CC
1
2
=(a
2
+b
2
+c
2
)- 4R
2
+r
2
.
2
故有AA
1
=BB
1
=CC
1
.
四、内心
三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式,还要记住
下面一个极为有用的等量关系:
设I为△ABC的内心,射线AI交△ABC外接圆于A′,则有A ′I=A′B=A′
C.换言之,点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).
D
例7.ABCD为圆内接凸四边形,取
△DAB,△ABC,△BCD,
O
4
O
3
C
△CDA的内心O
1
, O
2
,O
3

O
4
.求证:O
1
O
2
O
3
O
4
为矩形.
O
2
O
(1986,中国数学奥林匹克集训题)
B
A
证明见《中等数学》1992;4
例8.已知⊙O内接△ABC,⊙Q 切AB,AC于E,F且与⊙O内切.试证:EF
中点P是△ABC之内心.
(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
分析:在第20届IMO中,美国提供的一道题实 际上是例8的一种特例,但它增
加了条件AB=AC.当AB≠AC,怎样证明呢?


如图,显然EF中点P、圆心Q,BC中点K都在∠BAC平分线上.易知
r
AQ=.
sin
?
A
M
α
α
R
∵QK·AQ=MQ·QN,
=
1
E
MQ?QN
∴QK=
AQ
O
B
r
P
Q
F
N
C
(2R?r)?r
==
sin
?
?(2R?r)
.
rsin
?
由Rt△EPQ知PQ=
sin
?
?r
.
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K


∴PK=PQ+QK=
sin
?
?r
+
sin
?
?(2R?r)
=
sin
?
? 2R
.
∴PK=BK.
?

利用内心等量关系之逆定理,即知P是△ABC这内心.
五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于
一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起,
旁心还与三角形的半周长关系密切.
例9.在直角三角形中,求证:r+r
a
+r
b
+r
c
=2p.
式中r,r
a,r
b
,r
c
分别表示内切圆半径及与a,b,c相切的旁切圆半径,< br>p表示半周.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析:设Rt△ABC中,c为斜边,先来证明一个特性:
p(p-c)=(p-a)(p-b).
11
∵p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c)
r
c
K< br>22
A
O
3
1
O
2
=[(a+b)
2
-c
2
]


r
b
O
4
rE
1
B
=ab;
r
a
C
2
O
1
11
(p-a) (p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)
22
11
=[c
2
-(a-b)
2
]=ab.
42
∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ①
观察图形,可得
r
a
=AF-AC=p-b,
r
b
=BG-BC=p-a,
r
c
=CK=p.
1
而r=(a+b-c)
2
=p-c.
∴r+r
a
+r
b
+r
c

=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p
=4p-(a+b+c)=2p.
由①及图形易证.
例10.M是△ABC边AB上的任意一点.r
1
,r< br>2
,r分别是△AMC,△BMC,△
ABC内切圆的半径,q
1
,q
2
,q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆
半径.证明:
r
1
r
r
·
2
=.
q
1
q
2
q
(IMO-12)
分析:对任意△A′B′C′,由正弦定理可知
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OD=OA′·
sin
A'

2
C
'
O
A
'
.
.
E
D
.
B
'
B'
A'
2
=A′B′··
sin

2
sin?A'O'B'
A'B'
sin?sin
22
, =A′B′·
A'?B'
sin
2
A'B'
coscos
2 2
. O′E= A′B′·
A'?B'
sin
2
ODA'B'
?tgtg
.
O'E22
亦即有
sin
r
1
r
A?CMA?CNBB
·
2
=
tgtgtgtg
q
1
q
2
2222
O
'
=
tg
AB
r
tg
=.
22
q
六、众心共圆
这有两种情况:(1)同一点却是不同三角形的不同的 心;(2)同一图形出现了
同一三角形的几个心.
例11.设在圆内接凸六边形ABCDFE 中,AB=BC,CD=DE,EF=FA.试证:(1)AD,
BE,CF三条对角线交于一点;
(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.
(1991,国家教委数学试验班招生试题)
分析:连接AC,CE,EA,由 已知可证AD,CF,EB是△ACE的三条内角平分
线,I为△ACE的内心.从而有ID=CD=D E,
IF=EF=FA,
IB=AB=BC.
再由△BDF,易证BP,DQ,FS是它的三条高,I是它的垂心,利用 不
..
等式有:
Erdos
A
BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).
F
不难证明IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS.


B
Q
∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.
I
P
E
∴AB+BC+CD+DE+EF+FA
S
=2(BI+DI+FI)
C
≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)
D
=AD+BE+CF.
I就是一点两心.
例12.△ABC的外心为O,AB=AC,D是AB中点,E是△ACD的重心.证明
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OE丄CD.
(加拿大数学奥林匹克训练题)
A
分析:设AM为高亦为中线,取AC中点
F,E必在DF上且DE:EF=2:1.设
E
F
D
CD交AM于G,G必为△ABC重心.
G
连GE,MF,MF交DC于K.易证:
O
K
111
B
C
DG:GK=DC:(
?
)DC=2:1.
323
∴DG:GK=DE:EF
?
GE∥MF.
∵OD丄AB,MF∥AB,
∴OD丄MF
?
OD丄GE.但OG丄DE
?
G又是△ODE之垂心.
易证OE丄CD.
例13.△ABC中∠C=30°,O是外心,I是内心,边 AC上的D点与边BC上的
E点使得AD=BE=AB.求证:OI丄DE,OI=DE.
(1988,中国数学奥林匹克集训题)
分析:辅助线如图所示,作∠DAO平分线交BC于K.
易证△AID≌△AIB≌△EIB,
∠AID=∠AIB=∠EIB.
D
A
30
°
C
利用内心张角公式,有
OK
I
1
F
E
∠AIB=90°+∠C=105°,
2
B
∴∠DIE=360°-105°×3=45°.
1
∵∠AKB=30°+∠DAO
2
1
=30°+(∠BAC-∠BAO)
2
1
=30°+(∠BAC-60°)
2
1
=∠BAC=∠BAI=∠BEI.
2
∴AK∥IE.
由等腰△AOD可知DO丄AK,
∴DO丄IE,即DF是△DIE的一条高.
同理EO是△DIE之垂心,OI丄DE.
由∠DIE=∠IDO,易知OI=DE.
例14.锐角△ABC中,O,G,H分别是外心、重心、 垂心.设外心到三边距离
和为d

,重心到三边距
A
离和为d

,垂心到三边距离和为d

.


H
3
求证:1·d

+2·d

=3· d

.
G
3
O
2
O
3
G
2
分析:这里用三角法.设△ABC外接圆
H
2
O
G
半径为1,三个内角记为A,B,
I
B
C. 易知d

=OO
1
+OO
2
+OO
3
C
O
1
G
1
H
1
=cosA+cosB+cosC,
∴2d

=2(cosA+cosB+cosC). ①
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∵AH
1
=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC,
同样可得BH
2
·CH
3
.
∴3d

=△ABC三条高的和
=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ②
BH
∴=2,
sin?BCH
∴HH
1
=cosC·BH=2·cosB·cosC.
同样可得HH
2
,HH
3
.
∴d

=HH
1
+HH
2
+HH
3

=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③
欲证结论,观察①、②、③,
须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+
cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.

练 习 题
1.I为△ABC之内心,射线AI,BI,CI交△ABC外接圆于A′,
B′,C ′.则AA′+BB′+CC′>△ABC周长.(1982,澳大利
亚数学奥林匹克)
2 .△T′的三边分别等于△T的三条中线,且两个三角形有一组角相等.求证这两
个三角形相似.(19 89,捷克数学奥林匹克)
3.I为△ABC的内心.取△IBC,△ICA,△IAB的外心O1
,O
2
,O
3
.求证:△O
1
O
2
O
3
与△ABC有公共的外心.(1988,美国数学奥林匹克)
为△AB C内角平分线.取△ABC,△ABD,△ADC的外心O,O
1
,O
2
.则 △
OO
1
O
2
是等腰三角形.
5.△ABC中∠C<90 °,从AB上M点作CA,CB的垂线MP,MQ.H是△CPQ
的垂心.当M是AB上动点时,求H的 轨迹.(IMO-7)
1
6.△ABC的边BC=(AB+AC),取AB,AC中点M,N ,G为重心,I为内心.
2
试证:过A,M,N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数 学奥林匹克)
7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H
1
,H
2
,H
3
.已知:H
1
,H
2
,H
3

求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)
8.已知△ABC的三个旁心为I
1
,I
2
,I
3
.求证:△I
1
I
2< br>I
3
是锐角三角形.
,AC切⊙O于B,C,过OA与BC的交点M任作⊙O 的弦EF.求证:(1)
△AEF与△ABC有公共的内心;(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合 .

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