2019年中国香港数学奥林匹克竞赛试卷(含答案)

2019年中国香港数学奥林匹克竞赛试卷

1、两个数列定义如下：
a
1
=1，a
2
=10，a
n+1
=2a
n
+3a
n-1
，n=2，3，4，…
b< br>1
=1，b
2
=8，b
n+1
=3b
n
+4 b
n-1
，n＝2，3，4，…
请证明：除1之外，两个数列没有相同的数字。








2、集合S＝ 1，2，…，100。对于正整数n，将S划分为非空且互不
相交的集合S
1
，S2
，…，S
n
，此时S＝





。设a
i
表示S
i
的元素的
平均值。求












的最小值。

3、等腰 ABC中，AB＝AC， ABC内心为I，内切圆Γ与AB和AC分
别切于点F和E，设Ω为 AFE 的外接圆，Γ与Ω的两条外公切线交于
点P。若其中一条外公切线与AC平行，求证：∠PBI＝90






4、某国有n 3个城市，对任意两 个城市A和B，要么存在一条从A
往B的单向道路，要么存在一条从B往A的单向道路，但不会两条道路都存在。假设从任意一个城市都可以经过若干条道路到达任意另
一个城市，设d(A,B)表示 从A到达B最少要经过的道路个数，考虑所
有满足条件的设置道路的方法，求


的最小值。

参考答案