高中数学十字交叉相乘法

高中十字交叉法
十字交叉
一、适用范围：
“十字交 叉法”适用于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若
干种有确定的物质的量比，因而可以看做两组分 的混合物），求算混
合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、气体体积等）的比值
或百分 含量。
例1：实验测得乙烯与氧气的混合气体的密度是氢气的14.5倍。可
知其中乙烯的质量分数为（ ）
A.25.0% B.27.6% C.72.4% D.75.0%
C
2
H
4
28
O
2
32
29
3
1
解析：要求混合气中乙烯的质量分数可通过十字交叉法先求出 乙烯与
氧气的物质的量之比（当然也可以求两组分的质量比，但较繁，不可
取），再进一步求出 质量分数。
即：n(C
2
H
4
)
n(O
2
)

=3∶1


这样，乙烯的质量分数是：
ω（C
2
H
4
）= ×100 ％=72.4%
答案：C 。 （解毕）
二、十字交叉法的解法探讨：
1.十字交叉法的依据：
对一个二元混合体系，可建立一个特性方程： ax+b(1－x)=c
(a、 b、c为常数，分别表示A组分、B组分和混合体系的某种平均化
学量，如：单位为gmol的摩尔质量 、单位为gg的质量分数等) ；x
为组分A在混合体系中某化学量的百分数（下同）。
如欲求x(1－x)之比值，可展开上述关系式，并整理得： ax－bx=c
－b
解之，得：
即：
2.十字交叉法的常见形式：
为方便操作和应用，采用模仿数学因式分解中的十字交叉法，记为：
组分
1
a c－b
混合物
组分
2
b a －c

C
c

x(组分
1
)
c－b
1－x (组分
2
)
a－c
=





3.解法关健和难点所在：
十字交叉法应用于解题快速简捷，一旦教给了学生，学生往往爱用 ，
但是也往往出错。究其原因，无外乎乱用平均量（即上述a、b、c不
知何物）、交叉相减后 其差值之比不知为何量之比。
关于上述a、b、c这些化学平均量，在这里是指其量纲为（化学量
、溶液中溶质的质量
1
÷化学量
2
）的一些比值，如摩尔质量（g mol）
分数(溶质质量÷溶液质量)或关于物质组成、变化的其它化学量等
等。设计这些平均 量时应优先考虑待求量和题给条件，一般情况下尽

可能的将待求量设计为上述化学量2
（分数中的分母）

，至于化学量
这样上述第
1
则依 题给条件选取最容易获得的化学量(分数中的分子)，
1论点中的a、b、c应该是分别这样的一些化学 平均量（如下图）：
=

=


=






而这些化学平 均量a、b、c交叉相减后所得差值之比，则是组分
1
和
组分
2
的化 学平均量的量纲中化学量
2
[如a、b、c为摩尔质量（gmol）
时，便是物质的量 mol]的比值。
例2：把Ca CO
3
和MgCO
3
组成的混合物充分加热到质量不再减少时，
称得 残留物的质量是原混合物质量的一半。则残留物中钙和镁两元素
原子的物质的量之比是
A.1:4 B.1:3 C.1:1 D.1:2

解析：上述问题是计算两组分混合物中某两个化学量之比，可用十字
交叉法解题。解题时先设计混合物的 平均化学量c，该题中要求钙和
镁两元素原子的物质的量之比（即原子个数比），而平均量中分母（即< br>上述化学量y(组分
2
)）与题给条件相差甚远，故以一摩尔组分质量为
分母， 一摩尔物质分解后残留物质量为分子而得如下的几个平均量：
a=56g÷100g b=40g÷84g; c=12
应用于十字交叉法：
m(CaCO
3
)
m(MgCO3)
=
142
350
组分CaCO
3
56100 142
混合物
组分MgCO
3
4084 350
12
即：


所以，原混合物中两组分CaCO
3
和MgCO3
物质的量之比（即残留物
中Ca和Mg的物质的量之比为：n(Ca)∶n(Mg)
=(142)g÷100gmol∶(350) g÷84 gmol

=1∶3
答案：B （解毕）
注：熟 练后或在要表达的计算题中可略去上图，而只以比例式表示，
为防止出错，也可在草稿中画上述十字交叉 图。
三、十字交叉法的应用与例析：
1.两组分混合物中已知组分及混合体系的摩尔质量（ 或式量）,求组分
的物质的量之比（或组分气体的体积比、组分物质的微粒数之比）：
解答这类问题，需设计的平均化学量a、b、c就直接用摩尔质量（g
mol）。而用十字交叉法交叉 相减后所得差值之比是组分的物质的量
之比（或微粒数之比），或依阿伏加德罗定律，也等于（相同状态 下）
气态混合体系中组分气体的体积比。
例3.硼的平均相对原子质量为10.8，硼在自然界中有种同位素： B

与
B，则这两种同位素 B、 B在自然界中的原子个数比为
A. 1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8
解析：相对原子质量与原子的摩尔质量数值上 相等，故元素或原子的
相对原子质量可看做十字交叉法中的平均化学量，量纲为g?mol
－< br>1
,
交叉相减后所得差值之比为两同位素的物质的量（即原子数）之比。
B 10 0.2
B 11 0.8

== =

10.8





答案：B 解毕）
2.两种溶液（同溶质）相混合，已知两溶液及混合溶液中溶质的质量
分数，求两溶液的质量比：
例4.将密度为1.84g?cm
－
3
，质量分数为98％的浓硫酸与水配制成30％
的稀溶液，应怎么配制？
解析：要配制这种硫 酸，必须先求出浓硫酸与水的比例。因为溶液中
溶质的质量分数为溶质质量占溶液质量的分数，所以质量 分数实际上
也是一种平均化学量，可用于十字交叉法求出浓硫酸和水的质量比。
这样，上述平均 化学量a、b、c中的化学量
2
最好就设计为溶液质量，
而化学量
1
取最方便的就是溶质质量，即平均化学量a、b、c就是溶
液中溶质的质量分数，应用于十字交叉法（图 略），记为：
m(浓硫酸)∶m(水)=（30％－0）∶(98%－30%)=15∶34

即取15份质量的浓硫酸与34份质量的水混合得此稀硫酸。
（解毕） < br>3.两可燃物组成的混合体系，已知其组分及混合物的燃烧热，求组分
的物质的量之比或百分含量 。
例5.在一定条件下，CO和CH
4
燃烧的热化学方程式分别为：
2CO(气)+O
2
(气)=2CO
2
(气)+566KJ； CH
4
(气)+2O
2
(气)=CO
2
(气)+2H< br>2
O(液)+890KJ
现有CO和CH
4
组成的气体混合物89. 6L(标准状态下测定)，在上述
条件下燃烧，释放的热量为2953KJ，则CO和CH
4< br>的体积比为（ ）
A. 1∶3 B. 3∶1 C.1∶2 D.2∶1
解析：可燃物的反应热以摩尔反应热来表示时，单位是：KJmol，因
此也可以 看做是一个平均化学量，两可燃组分及混合物的反应热可当
做十字交叉法基本形式中的a、b、c进行十 字交叉，交叉相减后所得
差值之比即为两可燃组分的物质的量之 比。解题时设计并先求算气
体混合物的反应热：
混合气体的物质的量：n=89.6L÷22.4L?mol－1=4.00mol
∴混合气体的平均反应热： Q（混合物）=2953KJ÷4.00mol=738.3KJ
?mol
－
1

双两组分的反应热分别为：Q(CO)=566KJ÷2mo l=283KJ?mo
－
1
；
Q(CH
4
)=890KJ? mol
－
1

这样，十字交叉法就记为：n(CO)∶n(CH
4
)
=(890－738.3)∶(738.3－283)≈1∶3

答案：B。 (解毕)
4.其它有关物质组成、变化关系的两组分混合体系，依题意，设计适
当的平均化学 量，也可用十字交叉法求算两组分的某个化学量的比值
或百分含量。
例6.在一定条件下，将25 gCO
2
和CO的混合气体通过灼热的碳粉，
使之充分反应，测知所得气体在标准状态下的体积为22.4 L，则在相
同状态下原混合气体中CO
2
和CO的体积比为
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.2∶1
CO
2
+C===== 2CO
高温
解析：本题所求为两组分混 合气体中组分气体的体积之比（按阿伏加
德罗定律，即为两组分气体的物质的量之比），依 ，CO不与
C反应。又从反应后的气体体积22.4 L(标态)，是1 mol纯净CO，总
质量为28 g，即上述反应中气体质量增加了28g－25g=3g，应用差量
法可求得原混合气体的物质的量为：
1mol－3 g÷12 gmol=0.75mol

CO
2
44
CO 28
33.3
5.3
10.7

=
1
2
即原混合气体的摩尔质量是：25g÷0.75 mol=33.3gmol,将两组分及混
合气体的摩尔质量应用于十字交叉法（如下图）：


∴原混合气体中CO
2
与CO的体积比为：n(CO
2
)∶n(CO)=1∶2
答案：C。 （解毕）
值得注意的是，有时因题给 条件的限制，无法将待求量设计为平均化
学量的分母（即化学量
2
），此时就应以与已 知量有关又容易换算为待
求量的其它化学量做为平均量中的化学量
2

从上述 几例中可看出，十字交叉法应用于处理两组分（或相当于两组
分）的混合物的组成计算十分方便，如果在 应用中能注意平均量的设
计和判断交叉相减后的差值之比，则十字交叉法应用于化学计算中不
仅 方便快捷、同时还能提高答案的准确率，更能训练学生思维的敏捷
性，在教学中应注意引导学生逐步掌握 十字交叉法。