2020年第八届中国女子高中数学奥林匹克试题及解答(厦门)缺答案

2020第八届女子数学奥林匹克（厦门）
第一天
（2020年8月13日 上午8：00—12：00）

1．求证：方程
abd?2009(a?b?c)< br>只有有限组正整数解（
a,b,c
）





2．如图，在△
ABC
中，∠
BAC?
90°，
点
E
在△
ABC
的外接圆
?
的弧
BC

（不含点A）内，
AE?EC
。连接
EC

并延长至
F
，使得∠
EAC?
∠
CAF
，
连接
BF
交圆
?
于点
D
，连接
ED
，记
△
DEF
的外心为
O
。求证：
A,C,O
三
点共线。





3．设平面直角坐标系中点集

{P
1
,P
2
, ...,P
4n?1
}?[(x,y)|x,y
为整数，
|x|?n,|y| ?n,xy?0},

2222
期中
n
为正整数，求
(P
1
P
2
)(P
2
P
3
)?...? (P
4n
P
4n?1
)(P
4n?1
P
1
)
最小值




4．设平面上有
n
个 点
V
1
,V
2
,...V
n
（
n
≥4），任意三点补贡献，某些点之间连有线段。把标号
分别为1，2，…，
n
的n
枚棋子放置在这
n
个点处，每个点处恰有一枚棋子，现对这
n
枚
棋子进行如下操作：每次选取若干枚棋子，将它们分别移动到与自己所在点有线段相连
的另一 个点处；操作后每点处恰有一枚棋子，并且没有两枚棋子在操作前后交换位置。
若一种连线段的方式使得 无论开始时如何放置这
n
枚棋子，总能经过有限次操作后，使每
个标号为
k< br>的棋子在点
V
k
处，
k?1,2,...,n
，则称这种连线 段的方式为“和谐的”，求在
所有和谐的连线段的方式中，线段数目的最小值。

5．设实数
x
、
y
、
z
大于或等于1，求证：








6．如图，圆
?
1
，
?
2
内切于点S，圆
?
2
的弦
AB
与
圆
?
1
相切于点
C
，
M
是弧
AB
（不含点S）的
中点，过点
M
作
M N
⊥
AB
，垂足为
N
。记圆
(x
2
?2 x?2)(y
2
?2y?2)(z
2
?2z?2)
≤
(xy z)
2
?2xyz?2

?
1
的半径为
r
，求证：
AC?CB?2r?MN
.






7．在一个10×10的方格表中有一个4
n
个1×1的小方格组成的图形 ，它既可被
n
个“ ”

型的图形覆盖，也可被
n
个 或 型（可以旋转）的图形覆盖。求正整数
n

的最小值

8．设
a
n
?n5?[n5]
，求数列
a< br>1
,a
2
,???,a
2009
中的最大项和最小项，其中< br>[x]
表示不超过
实数
x
的最大整数。