关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

第三届中国东南地区数学奥林匹克试题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 11:39
tags:高中数学奥

我想教高中数学-高中数学几大解题思路

2020年10月7日发(作者:何世尧)


金太阳新课标资源网

第三届中国东南地区数学
奥林匹克(含解答及英文版)

希望联盟2006年度赛

第一天(2006年7月27日, 8:00-12:00, 南昌)

一、设
a?b?0,
f(x)?1
3
1
3
2(a?b)x?2ab
.证明:存在唯一的正数x
,使得
4x?a?b
f(x)?(
a?b
3
)

2
1
3
1
3
a?b
3
)

2
2(a?b)x?2ab

t?

4x?a?b
解法一:令
t?(

[2(a?b)?4t]x?t(a?b)?2ab
, ??

1
为证

1有唯一的正数解
x
,只要证,
2(a?b)?4t?0

t(a?b)?2ab?0
, 即
2aba?b
3
a?b
?()?
. ??

2
a?b22

a?u, b?v , u?v,
,即要证
1
3
1
3
1
3
13
2u
3
v
3
?
u?v
?
u
3
?v
3
, ??

3
?
??
?
33
u?v
?
2
?
2< br>?
u?v
?
33
由于
?
u
3
?v< br>3
?
??
?2uv
?
2
?
3
33
?
uv
?
3
3左端成立.
?2u
3
v
3
,即

33
1u
2
?uv?v
2< br>22
?
u?v
?
u?v
22
u?v?, u?v?4(u?uv?v)
,即 为证
?
,即
?
????
?
82
2
?
2
?
3
?
u?v
?< br>?0
,此为显然.故

3成立,
从而
x?
2
t(a?b)?2ab
即为所求.
2(a?b )?4t
2(a?b)x?2ab1(a?b)
2
解法二:
f(x)?

?(a?b)?
4x?a?b22(4x?a?b)
第 1 页 共 10 页
金太阳新课标资源网


金太阳新课标资源网


(0,??)
上为严格单调增加的连续函
数,而且
f(0)?
2aba?b

limf(x)?

x???
a?b2
据解法一

2式知,
2aba?b
3
a?b
?()?

a?b22
a?b
3
)

2
1
3
1
3
1
3
1
3
故存在唯一的正数
x
,使 得
f(x)?(
二、如图所示,在△ABC中,
?ABC?90?,D,G
是 边CA上的两点,
A
连接BD,BG . 过点A,G分别作BD的垂线,垂足分别为E, F,
连接CF. 若BE=EF,求证:
?ABG??DFC
.
证:作< br>Rt?ABC
的外接圆w,延长BD

AE分别交w于K

J .
连接BJ

CJ

KJ

FJ. 易知
?BAJ??KBC
,故BJ=KC.
于是四边形BJCK是等腰梯形,又AJ垂直平分BF,故BJ=FJ,
B
故四边形FJCK是平行四边形.
设AE与BG的交点为M

FC与JK的交点为N,
则M

N分别是BG和FC的中点,
G
D
E
F< br>C
ABsin?MAGsin?JKCFK
???,

AGsin?BAMsin?BKJCK
C

?BAG??FK

于是
?BAG

?FKC

所以
?ABG??DFC
.
于是





三、一副纸牌共
52
张,其中“方块”、“梅花”、“红心”、 “黑桃”每种花色的牌各
13
张,标
号依次是
2,3,?,10,J,Q,K ,A
,其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”,
并且
A

2
也算是顺牌(即
A
可以当成
1
使用). 试确定,从这副牌中取 出
13
张牌,使
每种标号的牌都出现,并且不含“同花顺牌”的取牌方法数.
解:先一般化为下述问题:设
n?3,

A?
?
a1
,a
2
,?,a
n
?
, B?
?
b
1
,b
2
,?,b
n
?

C?
?
c
1
,c
2
,?,c
n
?
, D?
?
d
1
,d
2
,?,d
n
?
这四 个数列中选取
n
个项,
?
1,2,
?
,n
每个下 标都出现;
11
??
且满足:
1
下标相邻的任两项不在同一个数列中(下标
n

1
视 < br>为相邻),其选取方法数记为
x
n
,今确定
x
n
的表 达式:
??
??
n
1
2
n-1
3
第 2 页 共 10 页
金太阳新课标资源网


金太阳新课标资源网

将一个圆盘分成
n
个扇形格,顺次编号为
1,2,?,n

并将数列
A,B,C,D
各染一种颜色,对于任一个选项方案,
如果下标为
i
的项取自某颜色
数列,则将第
i
号扇形格染上该颜色.
于是
x
n
就成为将圆盘的
n
个扇形格染四色,使相邻格不同色的染色方
法数,易知,
x
1
?4,

x
2
?12,

1
x
n
?x
n?1
?4?3
n?1

?
n?3
?
,



1写作
?
?1
?x
n
?
?
?1
?
因此 < br>?
?1
?
n?1
nn?1
x
n?1
??4?
?
?3
?
n?2
n?1
.

n?2
x
n?1
?
?
?1
?
2
x
n?2
??4?
?
?3
?
2
;

?? ??
?
?1
?
x
3
?
?
? 1
?
x
2
??4?
?
?3
?

2
?
?1
?
x
2
??4?
?
?3
?
.
nn
3
;

n
n
相加得,< br>?
?1
?
x
n
?
?
?3
?
?3
,于是
x
n
?3?3?
?
?1
?
(n?2)
.
因此
x
13
?3
13
?3
. 这就是所求的取牌方法数.
四、对任意正整数
n
,设
a
n
是方程
x?
(1)
a
n?1
?a
n

3
x
?1
的实数根,求证:
n
(2)
1
?a
n

?
2
i?1
(i?1)a
i
3
n
证:由
a
n
?
(1)
a
n
?1
,得
0?a
n
?1
.
n
a
n?1
a
n
a
n?1
a
n
1
3322
??a
n?a???(a
n?1
?a
n
)(a
n?1n?1
?a
n?1
a
n
?a
n
?)
n?1nnnn
2
33
0?a
n?1
?a
n
?

因为a
n?1
?a
n?1
a
n
?a
n
?< br>2
a
?
2
?
因为
a
n
?
?
n
?
2
1
?0
,故
a
n?1
?a
n
?0
,即
a
n?1
?a
n
.

n
?
1
?
?
?1
,所以
n
?
第 3 页 共 10 页
金太阳新课标资源网


金太阳新课标资源网

a
n
?
1
2
a
n
?
1
n
?
1
1?
1
n
?
n

n?1
从而
1
?
n?1?
2
a
n
?
1

n
?
n? 1
?
n
1111n
??(?)?1???a
n
.
???
2
ii?1ii?1n?1n?1
?
i?1i?1
?
i?1
?
a
i
i?1
?
n
1
n










?
i?1
n
1
?
i?1
?
2
a
i< br>?a
n
.
第三届中国东南地区数学奥林匹克解答
希望联盟2006年度赛
第二天(2006年7月28日, 8:00-12:00, 南昌)

五、如图,在
?ABC
中,
?A?60?
,
?ABC
的内切圆
I
分别切边
A
G
AB,AC< br>于点
D,E
,直线
DE
分别与直线
BI,CI
相交于 点
1
BC

2
证法一:分别连接
CF,BG,ID,IE,AI
,

A、D、I、E
四点共圆.
1
所以
?IDE??A
,
2
1
从而
?BDF?90???A
,
2
11

?BIC?180??(?B??C)=90???A
,
22
所以
?BDF??BIC
.

?DBF??CBI
,得
?FDB

?CIB
.所以
FBDB
?
.
CBIB
F,G
, 证明:
FG?
D
F
I
E
B
C
A
G
D
F
I
E
B
C
第 4 页 共 10 页
金太阳新课标资源网


金太阳新课标资源网

又由
?DBI??FBC
,

?IDB

?CFB
,所以
CF?BF
,
1
?A?30?
.
2
同理
BG?GC
,所以
B、C、F、G
四点共圆,
FG
?BC
, 由此
sin?FCG
1
所以
FG?BC
.
2
从而
?FCG?
证法二:
1
(?B??C)

2
180???A1
?(?B??C)
, 又因为
?BDG??ADE?
22
所以
B、D、I、G
四点共圆,
因此
?BGC??BDI?90?
.
同理
?CFB?90?
,所以
B、C、F、G
四点共圆.
1

?FCG?90???FBC??BCI?90??(?B??C)?30?

2
1
所以
FG?BCsin?FCG?BC
.
2
因为
?BIG?
六、求最小的实数m,使得对于满足a+b+c=1的任意正实数a,b,c,
都有
m(a
3
?b
3
?c
3
)?(6a< br>2
?b
2
?c
2
)?1

解法一:当a=b=c
?
3
1
时,有
m?27

3
33222
下证不等式
27(a?b?c)?6(a?b?c)?1

对于满足a+b+c=1的任意正实数a,b,c都成立.
因为对于
0?x?1

4
2
?81x
3
?18x
2
?15x?4?0?(3x?1)(9x?4)?0

3
4
32

27x?6x?5x?

0?x?1

3
4
32
所以
27a?6a?5a?

3
4
32

27b?6b?5b?

3
4
32

27c?6c?5c?

3

27x?6x?5x?
32
把上面三个不等式相加,
?(6a?b?c)?1
. 得
27(a?b?c)
所以,m的最小值为27.
第 5 页 共 10 页
金太阳新课标资源网
333222


金太阳新课标资源网

解法二:当a=b=c
?
1
时,有
m?27

3
下证不等式
27(a
3
?b
3
?c
3
)?6(a
2
?b
2
?c
2
)?1

对于满足a+b+c=1的任意正实数a,b,c都成立.
因为
(a?b)
2
(a?b)?0
,所以
a?b?ab?ab

同理,
b?c?bc?bc

c?a?ca?ca

22
于是
2(a
3
?b
3
?c
3
)?a
2
b?bc?ca?
33223322
3322
a
2
b?
2< br>b?c

ca
3(a
3
?b
3
?c
3
)?a
3
?b
3
?c
3
?a
2
b?b
2
c?c
2
a?ab
2
?bc
2
?ca
2


?(a?b?c

c
)(
2
a?
2
b?
2
c)?
2
a?< br>2
b?
所以
6(a
2
?b
2
?c
2
)?1?6(a
2
?b
2
?c
2
)?(a?b?c )
2


?6(a
2
?b
2
?c< br>2
)?3(a
2
?b
2
?c

2
)
3

?9(

a
2
?b
2
?c
2
)?(27a
3
?b
3
?) c
所以,m的最小值为27.
七、(1)求不定方程
mn?nr?mr?2(m?n ?r)
的正整数解
(m,n,r)
的组数.
(2)对于给定的整数
k?1
,证明:不定方程
mn?nr?mr?k(m?n?r)
至少有
3k? 1

组正整数解
(m,n,r)
.
解:(1)若
m,n, r?2
,由
mn?2m,nr?2n,mr?2r

mn?nr?mr?2(m?n?r)

所以以上不等式均取等号,故
m?n?r?2
.

1?{m,n,r}
,不妨设
m?1


nr ?n?r?2(1?n?r)
,于是
(n?1)(r?1)?3

所以{n?1,r?1}?{1,3}
,故
{n,r}?{2,4}

{m, n,r}?{1,2,4}

这样的解有
3!?6
组.
所以,不定方程
mn?nr?mr?2(m?n?r)
共有7组正整数解.
(2)将
mn?nr?mr?k(m?n?r)
化为
[n?(k?m)][r?(k? m)]?k?km?m

第 6 页 共 10 页
金太阳新课标资源网
22


金太阳新课标资源网

n?k?m?1,r?k
2
?km?m
2
?k?m
满足上式.

m?1,2,?,[]
时,
0?m?n?r

k
2
k
为偶数时,
{m,n,r}?{l,k?l?1,k
2
?kl?l
2
?k?l}
,
其中
l?1,2,?,
k
给出了不定方程的3
k
组正整数解.
2
k
为奇数时,
{m,n,r}?{l,k?l?1,k
2
?kl?l
2
?k?l}
,
k?1
给出了不定方程的3
(k?1)
组正整数解,
2
k ?1k?1k?1
2
k?1
2
m,n,r
中有两个
?()? k?
,另一个为
k?k

2222
(k?1)(3k?1)
?
的情况给出了不定方程的3组正整数解.
4

m?n?r?k
亦为不定方程的正整数解.
其中
l? 1,2,?,
故不定方程
mn?nr?mr?k(m?n?r)
至少有
3k? 1
组正整数解.
八、对于周长为
n
(n?N)
的圆,称满足如下条 件的最小的正整数
P
:如
n
为“圆剖分数”
果在圆周上有
P
n
个点
A
1
,A
2
,?,A
p
n
,对于
1,2,?,n?1
中的每一个整数
m

都存在两个点
*
A
i
,A
j
(1?i,j?P< br>n
)
,以
A
i
和A
j
为端点的一条弧长等于
m
;圆周上每相邻两点间的弧
长顺次构成的序列
T
n
?(a
1
,a
2
,?,a
P
n
)
称为“圆剖分序 列”.例如:当
n?13
时,圆剖
分数为
P
13
?4
,如图所示,图中所标数字为相邻两点之间的弧长,圆剖分序列为

T
13
?(1,3,2,7)

(1,2,6,4)

P
21
和 P
31
,并各给出一个相应的圆剖分序列.




劣弧,故至多可得
k(k?1)
个弧长值.

k(k?1)?20
时,则
k?5
;
1
31
4
2
7
2
解:由于
k
个点中,每两个点间可 得一段优弧和一段
1
5
2
3
而当
k(k?1)?30时,则
k?6
.
10
第 7 页 共 10 页
金太阳新课标资源网


金太阳新课标资源网

另一方面,在
k?5
时,可以给出剖分图
所以,
P
,3,10,2,5)
.
21
?5
,< br>T
21
?(1
对于n=31,在
k?6
时,类似可给出剖分图







1
5
2
7
13
1
2
5
1
10
3
2
7
1
14
3
6
1
14
7
3
4< br>2
12
4
6
4
8
5
2
所以,
P
,2,7,4,12,5)
,
(1,2,5,4,6,13)
,
(1,3,2,7,8,10)
,
(1,3,6,2,5,14)

31< br>?6

T
31
?(1
(1,7,3,2,4,14)
等.

















The Third Chinese Southeast Mathematical Olympiad

Day 1(8:00-12:00,July 27,2006, Nanchang)

1.Suppose
a?b?0,
f(x)?
2(a?b)x?2ab
.Show that there exists
4x?a?b
unique
x?0
,such that
f(x)?(
a?b
3
)

2
?
1
3
1
3
A
G
2.As shown in the graph, in △ABC,
?ABC?90,
and
D,G
are
E
F
D
第 8 页 共 10 页
金太阳新课标资源网
B


C


金太阳新课标资源网

two points on CA. Let E,F be the projection of A,G on BD
respectively. Suppose BE=EF,Show that
?ABG??DFC.

3.A set of poker has 52 cards with 13 cards in each suite (diamonds ?, clubs ?, hearts ?, and
spades
?). Each suite of cards are marked
2,3,?,10,J,Q,K,A
. Calculate the number of subsets
with 13 cards of the poker,where
2,3,?,10,J,Q,K,A
all appear and no two consecutive
cards(A and 2, 2 and 3, …,K and A) of the same suit both appear.
3
4.For any positive integer n,let
a
n
be the real number solution of
x?
x
?1
. Show that
n
(1)
a
n?1
?a
n

1
?a
n
. (2)
?
2
i?1
(i?1)a
i









n
The Third Chinese Southeast Mathematical Olympiad

Day 2(8:00-12:00,July 28,2006, Nanchang)
5.As shown in the graph,
?A?60?
. The inscribed circle
?
I of
A
G
DF
?ABC
meet
AB,AC
at
D、E
respectively. Line
DE
meets line
BI

and line
CI
at
F,G
respectively. Show that
FG?
I
E
1
BC

2
B
C
6.Find out the smallest real number m,such that for all positive real numbers a,b,c with
a+b+c=1,
m(a?b?c)?(6a?b?c)?1

7.(1)Find out the number of positive integer solutions in
m,n
and
r
of the Diophantine
equation
mn?nr?mr?2(m?n?r)
.
(2)Fix an integer
333222
k?1
. Show that the Diophantine equation
mn?nr?mr?k(m?n?r)
has at least
3k?1
positive integer solutions in
m,n

第 9 页 共 10 页
金太阳新课标资源网


金太阳新课标资源网

and
r
.
8.Given a positive integer
n
,let
P
n
be the smallest positive integer such that there are
P
n

points
A
on a circle of perimeter
n
satisfying the following condition: for any
1
,A
2
,?,A
P
n
integer
m
in
1,2,?,n?1
,there are two point s
A
i
,A
j
(1?i,j?P
n
)
,a nd one arc of the
circle with endpoints
A
i
and
A
j
has length
m
. In this case, we call the sequence of the
lengths
a
1
,a
2
,?,a
P
n
of the arcs of adjacent points a splitting sequence of
n
, written as
T
n
?(a
1
,a
2
,?,a
P
n
)
.For example, we have
P
13
?4
as shown in the graph where the
corresponding splitting sequences of 13 are
1
3
1
4
2
7
2
T
13
?(1,3,2,7)

or
(1,2,6,4)

Find
P
21
and
P
31
,and give a splitting sequence of 21
and a splitting sequence of 31.



















第 10 页 共 10 页
金太阳新课标资源网

高中数学太差了怎么办-高中数学函数比较大小例题


我眼中的高中数学-高中数学诱导函数教案


2018年蚌埠市高中数学论文-高中数学重点五个必修


微点高中数学答案-高中数学20几分怎么办


高中数学必修2典型题 百度文库-江苏省高中数学名师


高中数学知识点总结的好处-2013年全国高中数学联赛 湖南省获奖名单


高中数学的基础知识与思想方法第四版-高中数学主要讲什么区别


考试报高中数学人教a版必修2-高中数学必修二立体几何证明题



本文更新与2020-10-07 11:39,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/412263.html

第三届中国东南地区数学奥林匹克试题的相关文章

  • 余华爱情经典语录,余华爱情句子

    余华的经典语录——余华《第七天》40、我不怕死,一点都不怕,只怕再也不能看见你——余华《第七天》4可是我再也没遇到一个像福贵这样令我难忘的人了,对自己的经历如此清楚,

    语文
  • 心情低落的图片压抑,心情低落的图片发朋友圈

    心情压抑的图片(心太累没人理解的说说带图片)1、有时候很想找个人倾诉一下,却又不知从何说起,最终是什么也不说,只想快点睡过去,告诉自己,明天就好了。有时候,突然会觉得

    语文
  • 经典古训100句图片大全,古训名言警句

    古代经典励志名言100句译:好的药物味苦但对治病有利;忠言劝诫的话听起来不顺耳却对人的行为有利。3良言一句三冬暖,恶语伤人六月寒。喷泉的高度不会超过它的源头;一个人的事

    语文
  • 关于青春奋斗的名人名言鲁迅,关于青年奋斗的名言鲁迅

    鲁迅名言名句大全励志1、世上本没有路,走的人多了自然便成了路。下面是我整理的鲁迅先生的名言名句大全,希望对你有所帮助!当生存时,还是将遭践踏,将遭删刈,直至于死亡而

    语文
  • 三国群英单机版手游礼包码,三国群英手机单机版攻略

    三国群英传7五神兽洞有什么用那是多一个武将技能。青龙飞升召唤出东方的守护兽,神兽之一的青龙。玄武怒流召唤出北方的守护兽,神兽之一的玄武。白虎傲啸召唤出西方的守护兽,

    语文
  • 不收费的情感挽回专家电话,情感挽回免费咨询

    免费的情感挽回机构(揭秘情感挽回机构骗局)1、牛牛(化名)向上海市公安局金山分局报案,称自己为了挽回与女友的感情,被一家名为“实花教育咨询”的情感咨询机构诈骗4万余元。

    语文