河北省衡水市北卷子中学2019年高二数学理上学期期末试题

河北省衡水市北卷子中学2019年高二数学理上学期期
末试题
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选
项中，只有 是一个符合题目要求的

1. 用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x
－8x
2
+79x
3
+6x
4
+5x
5
+3x
6
在x=
－
4的值
时，v
4
的值为（ ）
A．
－
57 B．
－
845 C． 220 D .3392
参考答案：
C
2. 已知函数f（x）=2x+（x＞0），则( )

为2
C．x=1时，函数f（x）的最小值为4 D．x=2时，函数f（x）的最小值为2
A．x=±1时，函数f（x）的最小值为4 B．x=±2时，函数f（x）的最小值
参考答案：
C
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用基本不等式的性质即可得出．
解答： 解：∵x＞0，∴f（x）≥2×
∴函数f（x）的最小值为4．
=4，当且仅当x=1时取等号．

故选：C．
点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3. 在实数集上定义运算
意实数都成立，则实数
：
的取值范围是
，若不等式对任
.

.
参考答案：
C
略
4. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒 数组成的，第
行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如
，




，，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )
………………………………
A. B. C. D.
参考答案：
A

5. 在2008年第29届 北京奥运会上，我国代表团的金牌数雄踞榜首．如图是位居金
牌榜前十二位的代表团获得的金牌数的茎叶 图，则这十二个代表团获得的金牌数的
平均数与中位数的差m的值为( )
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
参考答案：
B
略

6. 函数的单调递减区间为( ）.
A.(0,1) B.(－1,1) C.(－∞,－1) D. (－∞,－1)∪(1,+∞)
参考答案：
A
7. 函数的图像大致为( )
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
由题意，可得函数为偶函数，图象关于y轴对称，根据且，

，排除C、D，进而利用函数的导数和函数的极小值点，得到答案.
【详解】由题意，函数< br>满足
所以函数
且
为偶函数，图象关于y轴对称，
，，排除C、D，
，
，
又由当时，，则，
则，即，
所以函数在之间有一个极小值点，故选A.
【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题其中 解答中熟练应用函数的奇偶性和单调
性，以及利用导数研究函数的极值点，进而识别函数的图象上解答的 关键，着重考查了分
析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.

8. 某产品的广告费用与销售额
广告费用
元）

销售额
根据上表可得回归方程
售额为
A．61．5万元 B． 62．5万元 C． 63．5万
元 D． 65．0万元
的统计数据如下表：
3

37

5

54

（万
4

2

（万元）

44

25

中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销
参考答案：
C
略
9. 与直线l：mx﹣m
2
y﹣1=0垂直，垂足为点P（2，1）的直线方程是（ ）
A．mx+m
2
y﹣1=0 B．x+y+3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．x+y﹣3=0

参考答案：
D
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】设与直线l
1
：m x﹣m
2
y﹣1=0垂直的直线方程为m
2
x+my+t=0，把P（2，1 ）代入可
得2m
2
+m+t=0，2m﹣m
2
﹣1=0，联立解得即 可．
【解答】解：设与直线l
1
：mx﹣my﹣1=0垂直的直线方程为mx+my +t=0，
把P（2，1）代入可得2m
2
+m+t=0，2m﹣m
2﹣1=0，
解得m=1，t=﹣3．
所求直线的方程为x+y﹣3=0．
故选：D．
【点评】本题考查了相互垂直的直线向量之间的关系，属于基础题．
10. 由①安梦怡是高二(1)班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二(1)班的学生都是独生子< br>女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别
为 ( )
A. ②①③ B. ③①② C. ①②③ D. ②③①
22
参考答案：
B
根据三段 论的定义得，大前提为：高二(1)班的学生都是独生子女，小前提是安梦怡是高二
(1)班的学生，结 论是安梦怡是独生子女，故答案为：B

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 已知向量
离为11，
参考答案：
是的中点，则（
，曲线上的一点到的距
为坐标原点）的值为

略
12. 已知圆柱M的底面圆的半径与球 O的半径相同，若圆柱M与球O的体积相等，则它
们的表面积之比______.（用数值作答）
参考答案：

【分析】
由已知中圆柱M与球O的体积相等，可以求出圆柱 的高与圆柱底面半径的关系，进而求
出圆柱和球的表面积后，即可得到S
圆柱
：S球
的值．
【详解】∵设圆柱M的底面圆的半径与球O的半径均为R，M的高为h
则球的表面积S
球
＝4πR
2

又∵圆柱M与球O的体积相等
即
解得h＝，
4πR
2
＝2πR
2
+2πR?h
则S
圆柱
＝2πR
2
+2πR?h=，S
球
，
∴S
圆柱
：S
球
，
故答案为：.
【点睛】本题 考查的知识点是球的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，其中根据已知求
出圆柱的高，是解答本题的关 键．
13. 圆在矩阵对应的变换作用下的结果
为 ．
参考答案：

略
14. （5分）已知复数z满足z?（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），则复数z的虚部
为 ．
参考答案：
由z?（1+i）=1﹣i，得
所以复数z的虚部等于﹣1．
故答案为﹣1．
把给出的等式两边同时乘以
15. 下列说法：（1）命题“
．
，然后利用复数的除法运算求解．
”的否定是“”；
(2)关于的不等式恒成立，则的取值范围是；
(3)对于函数
在上有三个零点；
，则有当时，，使得函数
（4）已知
是，则7.
，且是常数，又的最小值
其中正确的个数是 。
参考答案：
3
略
16.
椭圆＋=1的离心率e=，则实数m的值为 ▲ 。

参考答案：

或
略

17. 已知抛物线上的一点到焦点的距离是5，且点在第一象限，则的坐
标为_______ ________.
参考答案：

略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤

18. 已知
(1)求函数
(2)若曲线
参考答案：
是函数
的解析式；
与直线
的一个极值点,
有三个交点,求实数的取值范围.
解: (1)∵
∴由题意可得
,∴
,故.
.
∴函数的解析式为.
(2)令函数
令可得或,
,则.

又易知是函数的极大值点,是函数的极小值点.
∴函数的极大值为,极小值为.
故当
略
,即时,曲线与直线有三个交点.
19. （本题满分12分）已知椭圆C 的极坐标方程为，点
F
1
，F
2
为其左，右焦点，直线的参数方程为
（1）求直线和曲线C的普通方程；
（2）求点F
1
，F
2
到直线的距离之和.
参考答案：
解: （1） 直线普通方程为； 曲线的普通方程为
．
．
（Ⅱ） ∵,， ∴点到直线的距离

点到直线的距离
∴
略
20. 已知圆O的方程为x
2
+y
2
=5．
< br>（1）P是直线y=x﹣5上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，求证：
直线CD过定点；
（2）若EF、GH为圆O的两条互相垂直的弦，垂足为M（1，1），求四边形E GFH面积的最
大值．
参考答案：
【考点】圆的标准方程．
【分析】（ 1）设P的坐标，写出以OP为直径的圆的方程，与圆方程联立即可求得直线CD
的方程，结合P在直线 y=x﹣5，利用线系方程证明直线CD过定点；
（2）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d< br>1
、d
2
，则且
，代入四边形面积公式，利用基本不等式求得四边形< br>EGFH面积的最大值．
【解答】（1）证明：设P（x
0
，y
0< br>），则
由题意，OCPD四点共圆，且直径是OP，
，
其方程为，即x2
+y
2
﹣x
0
x﹣y
0
y=0，
由，得：x
0
x+y
0
y=5．
∴直线CD的方程为：x
0
x+y
0
y=5．
又，∴，即（2x+y）x
0
﹣10（y+1）=0．

由，得：．
；
．
∴直线CD过定点
（2）解：设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d
1
、d
2
，则
∴
故
当且仅当，即d
1
=d
2
=1时等号成立．
，
．
∴四边形EGFH面积的最大值为8．
21. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为
焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．
，并且以椭圆的
参考答案：
【考点】圆锥曲线的综合．
【分析】求出椭圆 的焦点坐标，可得双曲线的顶点坐标，利用双曲线的焦点到渐近线的距
离为，求出b，可得a，即可求该 双曲线的标准方程．
【解答】解：椭圆的焦点坐标为（±2，0），为双曲线的顶点，
双曲线的焦点到渐近线的距离为
∴a==，
，∴=b=，
∴该双曲线的标准方程为=1．
22. 设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．
参考答案：

【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）对x讨 论，分当x≥4时，当﹣≤x＜4时，当x＜﹣时，分别解一次不
等式，再求并集即可；
（2 ）运用绝对值不等式的性质，求得F（x）=f（x）+3|x﹣4|的最小值，即可得到m的范
围．
【解答】解：（1）当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，
得x＞﹣5，所以x≥4成立；
当﹣≤x＜4时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，
得x＞1，所以1＜x＜4成立；
当x＜﹣时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．
综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；
（2）令F（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|
≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，
当﹣时等号成立．
即有F（x）的最小值为9，
所以m≤9．
即m的取值范围为（﹣∞，9]．