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普通高中数学课程标准实验稿

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 12:23
tags:普通高中数学课程标准

高中数学记忆-高中数学选修是什么课程

2020年10月7日发(作者:单印章)


普通高中数学课程标准(实验稿)
普通高中数学课程标准研制组
2002年11月
第一部分 前言
数学是研究空间形式和数量关系的科学,也是研 究模式与秩序的科学。数学是描述、
探索自然和社会规律的科学语言和研究工具,数学科学是自然科学、 技术科学等科学的基
础,并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。数学的应用 越来
越广泛,正在不断地渗透到社会生活的方方面面,它与计算机技术的结合在许多方面直接
为 社会创造价值,推动着社会生产力的发展。数学在形成人类理性思维和促进个人智力发
展的过程中发挥着 独特的、不可替代的作用。数学是人类文化的重要组成部分,数学素质
已成为公民所必须具备的一种基本 素质。

数学教育应该体现数学的价值和特点,并把当今数学发展所体现的理念适当地反映到< br>新的高中数学课程中。

一、课程性质

高中数学课程是义务教育后普 通高级中学的一门主要课程。它是参加社会生产、处理
日常生活的基础,也是学习高中物理、化学、技术 等课程和进一步学习的基础,对于认识
数学的科学和文化价值,形成理性思维、发展智力,培养学生的创 新意识和应用意识有积
极作用。

高中数学课程有助于培养学生抽取事物的数、形属 性的敏锐意识,利用抽象模式、结
构研究事物的思维方式,借助符号和逻辑系统进行严密演绎的探索习性 ;可以对学生进行


美感熏陶,培养学生的审美意识;为学生的终生发展,形成科学的世界 观、价值观奠定基
础,对提高全民族素质具有重要作用。

二、课程的基本理念

通过国际比较,剖析我国数学教育发展的历史与现状,从时代需 求、国民素质、个性
发展、全球意识等各个方面综合思考,形成了《普通高中数学课程标准》(以下简称 《标准》)
的基本理念。

1.构建共同基础,提供发展平台

高中教育属于基础教育。高中数学课程应具有基础性,它包括两方面的含义:一.在义
务教育阶段之后, 为我国公民适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础,使他们
获得更高的数学素养;二.为进入 高一级学校的学生提供必要的数学准备。高中数学课程由
必修课程和选修课程组成,必修课程应当满足所 有学生共同的数学需求;为有不同需求的
学生提供了选修课程,它仍然应是学生发展所需要的基础性数学 课程。

2.提供多样课程,适应个性选择

与义务教育阶段不同,高中数学 课程应具有多样性与选择性,使不同的学生在数学上
得到不同的发展。

《标准》应为 学生提供多层次、多种类的选择,以促进学生的个性发展和对未来人生
规划的思考。《标准》应为学生提 供选择和发展的空间,学生可以在适当的指导下进行自主
选择,初步选择以后还可以进行适当的转换、调 整。同时,高中数学课程也应给学校和教
师留有一定的选择空间,他们可以根据自身的条件和学生的基本 需求,制定课程发展计划,
不断地丰富和完善供学生选择的课程。


3.有利于形成积极主动、勇于探索的学习方式

学生对数学概念、结 论、技能的学习不应只限于接受、记忆、模仿和练习,《标准》还
提倡自主探索、动手实践、合作交流、 阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥
学生学习的主观能动性,使学生的学习过程成为在教师 引导下的“再创造”过程。同时,
《标准》设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动,进一步为学生 形成积极主动的、多
样的学习方式创造有利的条件,以激发学生的数学学习兴趣,鼓励学生在学习过程中 ,养
成独立思考、积极探索的习惯,发展创新意识。

4.有利于提高学生的数学思维能力

提高学生的数学思维能力是数学教育的基本目标 之一。人们在学习数学和运用数学解
决问题时,不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、 抽象概括、符号表示、
运算求解、演绎证明、反思建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现 ,它们
有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式做出思考和判断,数学思维能力在形成理性思维
能力中发挥着独特的作用,有助于学生不迷信权威、不感情用事、不含糊马虎。《标准》自
始至终力求体 现有利于提高学生数学思维能力这一基本理念。

5.发展学生的数学应用意识
20世纪下半叶以来,数学应用的巨大发展是数学发展的显着特征之一。当今知识经济
时代,数学正 在从幕后走向台前,数学和计算机技术的结合使得数学能够在许多方面直接
为社会创造价值,同时,也为 数学发展开拓了广阔的前景。我国的数学教育(包括大学数
学教育)在很长一段时间里对于数学与实际的 联系未能给予充分的重视,因此,高中数学
在数学应用和联系实际方面需要大力加强。近几年来,我国大 学、中学数学建模的实践表
明,开展数学应用的教学活动符合社会需要,有利于激发学生学习数学的兴趣 ,有利于增


强学生的应用意识。高中数学课程应提供一些基本内容的实际背景,反映数学 的应用价值,
开展“数学建模”的学习活动,设立数学应用的专题课程。《标准》力求使学生体验数学在
解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系,感受数学的实用价值,促进
学生逐 步形成和发展数学应用意识,提高实践能力。

6.用发展的眼光认识“双基”
我国数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统,新世纪的高
中数学课程应发 扬这种传统。与此同时,随着时代的发展,特别是数学的广泛应用和现代
信息技术的发展对社会各个领域 的影响,数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本
技能和能力的内涵,形成符合时代要求的新的“ 双基”。例如,为了适应信息时代发展的需
要,高中数学课程应增加算法的内容,把最基本的数据处理、 统计知识作为新的数学基础
知识和基本技能。同时,应删减繁琐计算、人为技巧化的难题和枝微末节的内 容。

7.返璞归真,注意适度的形式化

形式化是数学的基本特征之一。 在数学教学中,学习形式化的表达是一项基本要求。
但是,数学教学不能过度地形式化,否则会将生动活 泼的数学思维活动淹没在形式化的海
洋里。数学的现代发展也表明,全盘形式化是不可能的。因此,数学 教学应该“返璞归真”,
根据不同教学内容的要求,努力揭示数学的本质。数学课程“要讲推理,更要讲 道理”,通
过典型例子的分析和学生自主探索活动,使学生理解数学概念、结论的形成过程,体会蕴涵在其中的思想方法,追寻数学发展的历史足迹,把数学的学术形态转化为学生易于接受
的教育形态 。

8.体现数学的文化价值

数学是人类文化的重要组成部分,不同的民族 有不同的数学传统。数学课程应适当介


绍数学的历史、应用和发展趋势;数学对推动社会 发展的作用;数学的社会需求;社会发
展对数学发展的推动作用;数学科学的思想体系;数学的美学价值 ;数学家的创新精神。
数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用;逐步形成正确的数学观。 为此,
《标准》提倡在高中数学课程内容中体现数学的文化价值,并在适当的内容中提出对“数
学文化” 的学习要求,设立“数学史选讲”、“现实社会中的数学”等专题选修课程。

9.注重信息技术与数学课程的整合

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、 数学教学、数学学习等产生深刻的影
响。《标准》提倡实现信息技术与课程内容的有机整合,注意把算法 融入到数学课程的各个
相关部分。提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容,尽可能使用 科学型
计算器、各种数学教育技术平台,加强数学教学与信息技术的结合。鼓励学生运用计算机、
计算器等进行探索和发现。。

10.建立合理、科学的评价机制

数学 课程的重大改变必将引起评价体系的深刻变化,评价改革应当与数学课程改革同
步进行,包括评价理念、 评价体制、评价内容、评价形式的改革。评价应在公平、公正的
原则下,既要关注学生学习的结果,也要 关注他们学习的过程;既要关注学生数学学习的
水平,也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度 的变化。评价应建立多元化的目
标,关注学生个性与潜能的发展。例如,过程性评价应关注对学生理解数 学概念、数学思
想等过程的评价,关注对学生提出、分析、解决问题等过程的评价,特别对于数学建模、
数学探究等学习活动,建立相应的过程评价内容和方法。

评价的改革是这次基础教育 改革的重要组成部分,应进一步解放思想,创建适合高中
课程改革需要的新的评价制度。


三、课程设计思路

在《标准》制定的过程中,力求将数学课程改革的 基本理念与课程框架设计、课程内
容确定、课程实施建议有机地结合起来。

高中数学课程框架

1.课程框架

高中数学课程由6个系列课程构 成,分别是A,B,C,D,E,F系列。A,B,C系列由若
干个模块组成,每个模块2个学分(36 学时);D,E,F系列由专题组成,每个专题1学分(18
学时),每2个专题组成1个模块。

课程结构如图所示:


注:上图中 代表模块; 代表专题,其中2个专题组成1个模块。

?
6个系列的高中数学课程分为必修课程和选修课程两部分。

2.必修课程

必修课程是每个学生都必须学习的数学内容,包括 A
1
, A
2
, A
3
,A
4
,A
5
五个模块。

A
1
:集合、函数概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幂函数);

A
2
:空间几何初步、解析几何初步;

A
3
:算法初步、统计、概率;


A
4
:基本初等函数II(三角函数)、解三角形、数列;

A
5
:平面向量、三角恒等变换、不等式。

3.选修课程

对于选修课程,学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择。选修课程由B,
C,D ,E,F系列课程组成。

◆B系列课程:由B
1
,B
2
两个模块组成。

B
1
:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用;

B
2
:统计案例、推理与证明、数系扩充与复数的引入、框图。

◆C系列课程:由C1,C2,C3三个模块组成。

C
1
:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何;

C
2
:导数及其应用、数系的扩充与复数的引入;

C
3
:计数原理、统计、概率。

◆D系列课程(文化系列课程):由D1,D2,D3,D4等4个专题组成。

D
1
:数学史选讲;

D
2
:现实社会中的数学;

D
3
:中学数学思想方法;


D
4
:数学问题集锦。

◆E系列课程(应用系列课程):由E1,E2,E3,E4等4个专题组成。

E
1
:优选法与实验设计;

E
2
:统筹法与图论;

E
3
:风险与决策;

E
4
:数字电路设计与代数运算。

◆F系列课程(拓展系列课程) :由F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8,F9,F10等10
个专题组成。

F
1
:几何证明; F
2
:不等式;

F
3
:参数方程与极坐标; F
4
:矩阵与变换;

F
5
:数列与差分; F
6
:尺规作图与数域扩充;

F
7
:欧拉公式与闭曲面分类; F
8
:初等数论初步;

F
9
:对称变换与群; F
10
:球面几何与非欧几何。

4.关于课程设置的说明

◆课程设置的原则与意图

必修课程内容确定的原则是:满足未来公民的基本数学需求 ;为学生进一步的学习提
供必要的数学准备。


选修课程内容确定的原 则是:为学生进一步学习、获得较高数学修养奠定基础;满足
学生的兴趣和对未来发展的愿望。

B系列课程是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的,C系列课程则
是为那些 希望在理工、经济等方面发展的学生设置的。B,C系列是选修课中的基础性内容。

D系列课 程是数学文化系列课程。是为扩展学生的数学视野,提高学生对数学文化价
值的认识,并借此向社会普及 数学科学而设计的。E,F系列选修课程是为对数学有兴趣和
希望进一步提高数学素养的学生设计的,所 涉及的内容都是数学的基础性内容。D,E,F
系列课程中的专题今后还将逐步地予以扩充。对于D,E ,F系列课程,学生可根据自己的
兴趣、志向自由选择。

◆设置了数学建模、数学探究、数学文化内容

具体要求如下:

高 中数学课程要求把数学探究、数学建模的思想渗透在各模块内容之中,并在高中阶
段至少安排一次数学建 模、一次数学探究活动。高中数学课程要求把数学文化内容与各模
块的内容有机结合。

◆模块的逻辑顺序

(1)A系列课程是B,C系列课程的基础。D,E,F 系列课程不依赖于其他系列的课程,
可以与其他系列课程同时开设,这些专题的开设可以不考虑先后顺序 。

(2)A系列课程中,A
1
是A
2
,A
3
,A
4
和A
5
的基础,A
2
,A
3
,A
4
和A
5
的开设可以不考虑
先后顺序;


(3)在A系列课程的基础上,可分别学习B,C两个系列的课程。B系列课程 依B
1

B
2
顺序开设。C系列课程中,C
1
是 C
2
和C
3
的基础,C
2
和C
3
的开设可 以不考虑先后顺序。

◆课程资源的建设与开发

学校应首先保证A,B,C 系列课程的开设和质量。对于D,E,F系列课程中的专题,
在满足学生基本选择需求的前提下,可以根 据学校自身的情况逐步丰富和完善,教师也可
以自身的条件制定在开设课程方面个人发展计划。鼓励学校 开放办学,开发校外课程资源。

学生的6种最基本的选择和课程组合的基本建议

学生的志向与自身条件不同,不同高校、不同专业对学生数学方面的要求也不同,甚
至 同一专业对学生数学方面的要求也不一定相同。据此,学生可以选择不同的课程组合。
课程组合的基本建 议如下:

(1)学生完成10学分的必修课,即可达到高中毕业的最低数学要求。他们 还可以任意
选修其它的数学课程。

(2)学生完成10学分的必修课,在选修 课程中任选1个模块获得2学分,即可达到高职、
艺术、体育类的高等院校的数学要求。

(3)学生完成10学分的必修课,在选修课程中选修B
1
,B
2,获得4学分,在其他选修课
程中选修1个模块获得2学分,总共取得16个学分,即可达到人文社 会科学类高等院校的数
学要求。

(4)对数学有兴趣、并希望获得较高数学素 养的学生,可在(3)的基础上,在E,F
系列中选修2个模块获得4学分,总共取得20个学分,经过 考试可成为升学或其他需要的
依据和参考。


(5)学生完成1 0学分的必修课,在选修课程中选修C
1
,C
2
,C
3
,获 得6学分,在其他选
修系列课程中选修1个模块(两个专题)获得2学分,另外在E,F系列中选修1个 模块(两个
专题)获得2学分,总共取得20个学分,即可达到理工、经济类高等院校的数学要求。
(6)对数学有兴趣、并希望获得较高数学素养的学生,可在(5)的基础上,再在E,F
系列中选修2个模块(4个专题)获得4学分,总共取得24个学分,经过考试可成为升学或其
他需要的依据和参考。

课程的组合具有一定的灵活性,不同的组合可以相互转换。 学生做出选择之后,可以
根据自己的意愿和条件向学校申请调整,经过测试获得相应的学分即可转换。

《标准》中使用的主要行为动词

本《标准》的目标要求包括知识技能、过 程与方法、情感态度价值观三个方面,所涉
及的行为动词水平大致分类如下。

目标领域

水 平

行为动词

了解,体会,知道,感知,认识,初步
知道了解模
知识与技能

仿

求(简单的)

了解,初步体会,初步学会,初步理解,


描述,描绘,说明,表达,表述,表示,
刻画,解释,推测,想象,理解,归纳,理解独立操作

总结,抽象(出),提取,比较,对比,
识别,判定,判断,会求 ,能,运用,
初步应用,(简单的)应用,初步讨论

掌握应用迁掌握,导出,分析,推导,证明,研究,


讨论,选择,决策,解决问题

经历,观察,感知,操作,查阅,借助
(工具 ),模仿,分析实例,设计(问卷、
装置),收集(数据),回顾,复习,梳
过程与方法


理,整理,合作,参与,试验,交流,
分析(实例),发现,尝试,研究,探索 ,
探究,解决(问题)

感受,认识,了解,初步体会,体会(价
反应认同

值),

情感态度与价值


获得,提高,增强,形成,养成,树立,
领悟内化

发挥(想象力),发展,

第二部分 课程目标


高中数学课程的总目标是: 在9年义务教育数学课程的基础上,使学生获得作为未来< br>公民所必要的数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要。

具体目标如下:

1.获得必要的数学基础知识和基本技能理解基本的数学概念、数学结论的本质,了 解
它们产生的背景、应用和在后继学习中的作用,体会其中的数学思想和方法;

2.提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力;

3.在 以上基本能力基础上,初步形成数学地提出、分析和解决问题的能力,数学表达
和交流的能力,逐步地发 展独立获取数学知识的能力;

4.发展数学应用意识和创新意识力求对现实世界中蕴涵的一些 数学模式做出思考和判
断;

5.提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的钻研精神和科学态度;
6.具有一定的数学视野,初步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值,逐步形成
批判性的思维 习惯,崇尚数学的理性精神,从而进一步树立辩证唯物主义世界观。

第三部分 内容标准

一、必修课程

必修课程是整个高中数学课程基础,包括 5个模块,共10学分,是所有学生都要学习
的内容。它的内容的确定遵循两个原则:一是满足未来公民 的基本数学需求,二是为学生
进一步的学习提供必要的数学准备。


5个模块的内容为:

A
1
:集合、函数概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幂函数);

A
2
:空间几何初步、平面解析几何初步;

A
3
:算法、统计、概率;

A
4
:基本初等函数II(三角函数)、解三角形、数列;

A
5
:平面向量、三角恒等变换、不等式。

A1是学习这五个模块 的基础,其他各个模块的教学顺序,以及数学知识之间的局部交
叉,应考虑数学知识的内在联系,视实际 教学情况,可以进行合理的调整与安排。

必修课程的呈现力求展现由具体到抽象的过程,努力 体现数学知识中蕴涵的基本思想
方法,体现数学知识的发生过程和实际应用,而不在技巧、难度上做过高 的要求,要保证
基本知识的掌握与基本技能的形成。

A
1

在本模块中,学生将学习集合、函数概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、
幂函数)。

集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的,集合语言是现代数学的基本语言,使用
集合 语言,可以简洁、准确地表达数学的一些内容。高中数学课程只将集合作为一种语言
来学习,学生将学会 使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象,发展运用数学语言进
行交流的能力。


函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之 间的
依赖关系,同时还用集合与对应的语言来刻画函数,函数的思想方法将贯穿于高中数学课
程 的始终。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数,结合实际问题,感受
运用函数概念建立 模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性,初步运用
函数思想理解和处理现实生活和社 会中的简单问题。学生还将学习利用函数的性质求方程
的近似解,体会函数与方程的有机联系。

内容与要求

1.集合(4课时)

(1)集合的含义与表示

①通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系。

②针对不同的具体问题,能 选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)
加以描述。

③会用集合语言对已经学习过的某些数学对象加以描述,感受集合语言的意义和作用。

(2)集合间的基本关系

①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。

②在具体情境中,了解全集与空集的含义。

(3)集合的基本运算

①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。


②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集。

③能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。

2.函数概念与基本初等函数I(32课时)

(1)函数

①通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此
基 础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了
解构成函数的要素 ,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。

②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表
示函数。

③通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用。

④通过已 学过的函数特别是二次函数,理解这些函数的单调性、最大(小)值及其几
何意义;知道奇偶性的含义。

⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质(参看例1)。

(2)指数函数

①通过具体实例(如:细胞的分裂,考古中所用的C
14< br>的衰减,药物在人体内残留量的
变化),了解指数函数模型的实际背景,体会引入有理指数幂的必 要性。

②理解有理指数幂的含义,知道实数指数幂的意义,掌握幂的运算。

③理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探

< p>
索并理解指数函数的单调性与特殊点。

④在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型(参看例2)。

(3)对数函数

①理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化 成自然(常用)
对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。

②通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概
念,体会对数函数是 一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图
象,探索并了解对数函数的单调性与 特殊点。

③知道指数函数
y
=
a
x
和 对数函数
y
=log
a
x
互为反函数。(
a
>1,
a
≠1)

(4)幂函数

通过实例,了解幂函数的概念;结合函数
y=x,y=x
2
,
y=x
3
,
y=x
-1
,
y=x
12

的图象,了解
它们的变化情况。

(5)函数与方程

①结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的
零 点与方程根的联系。

②根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的 近似解,了解这种方
法是求方程近似解的常用方法。

(6)函数模型及其应用


①利用计算工具,对比指数函数、对数函数 以及幂函数增长差异;结合实例体会直线
上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函
数等),了解函数模型的广泛应用。

(7)实习作业

根据某个主题,收 集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物
(开普勒、伽里略、笛卡尔、牛顿、 莱布尼兹等)的有关资料或现实生活中的函数实例,
采取小组合作的方式写一篇有关函数概念形成、发展 或应用的文章,在班级中进行交流。
有关要求参见数学文化的要求。

说明与建议

1.集合是一个不加定义的概念,教学中应结合学生的生活经验和已有知 识,列举丰富
的实例,使学生理解集合的含义。学习集合语言最好的方法是使用,在教学中要创设使学< br>生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会,以便学生在实际使用中逐渐熟悉“自然语
言”、“ 集合语言”、“图形语言” 各自的特点,进行相互转换并掌握集合语言。在关于集合
之间的关系和运算 的教学中,使用Venn图是重要的。

2.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助 学生理解函数的本质。函数概念
的引入,一般有两种方法,一种方法是:先学习映射,再学习函数;另一 种方法是:通过
具体实例,体会数集之间的对应,即函数。考虑到多数高中学生的认知特点,为了有助于
他们在对函数概念本质的理解,建议采用后一种方式,从学生已掌握的具体函数和对函数
的描述 性定义入手,引导学生联系自己的生活经历和实际问题,尝试列举各种各样的函数,
构建函数的一般概念 。再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究,加深学生对函数


概念的理解。

3.在教学中,应强调对于函数概念本质的理解,避免在求函数定义域、值域及讨论函
数性 质时出现过于繁琐的技巧训练,避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。

4.指数幂的教 学,应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上,结合实例,引
入有理指数幂及其运算性质,然后 借助“用有理数逼近无理数”的思想,直观地描述实数
指数幂的意义及其运算性质,可以让学生利用计算 器或计算机的实际操作,感受这一“逼
近”过程。

5.反函数的处理,只要求以具体 函数为例进行解释,例如可通过比较同底的指数函数
和对数函数,说明指数函数
y
=< br>a
x
和对数函数
y
=log
a
x
(a>1, a≠1)互为反函数。淡化对反函
数的形式化定义,不要求一般地讨论反函数的定义,也不要求求已知函 数的反函数。

6.在函数应用的教学中,教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化 规律的
基本数学模型,体验指数函数、对数函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中
的作用。

7.应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题,如利用计算器、计算 机
画出指数函数、对数函数等的图象,探索、比较它们的变化规律,研究函数的性质,求方
程的 近似解等。

参考案例

例1 如图,直线
l
和圆
c
,当
l

l
0
开始在平面上绕点
O匀速旋转(旋转角度不超过90
o

时,它扫过的圆内阴影部分的面积
S
是时间
t
的函数,它的图象大致是( )。

例2 家用 电器(如冰箱等)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层。臭氧含



Q< br>呈指数函数型变化,满足关系式
Q?Q
0
e
?0.0025t
,其中
Q
0
是臭氧的初始量。

(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少?

(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失?

A
2

在本模块中,学生将学习空间几何初步、平面解析几何初步。

几何学是研究现实世界 中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直
观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等 方法认识和探索几何图形与空间性质。三维空
间是人类生存的现实空间,认识空间图形,培养和发展学生 的几何直觉、运用图形语言进
行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力是高中阶段数学必修课 程的一个基本
要求。在空间几何初步部分,学生将先从对空间几何体的整体观察入手,认识空间图形;< br>再以长方体等为载体,直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;最后对有关平行、垂
直的性质 与判定用数学语言进行严格的表述,并对某些结论进行论证。学生还将了解一些
简单几何体的表面积与体 积的计算方法。

平面解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一,其本质是用代数方法研究 图形的几
何性质,体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中,学生将在平面直角坐标系中建立
直线和圆的代数方程,运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系,并了解空间
直角坐标系。 体会数形结合的思想,初步形成用代数方法解决几何问题的能力。

内容与要求

1.空间几何初步(18课时)


(1)空间几何体

①利用实物模型、计算机软件观察大量立体图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合
体 的结构特征,并能运用这些特征描绘现实生活中简单物体的结构。

②能画出简单立体 图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的视图,会
用材料将上述的视图复原为立体模型, 并会用斜二侧法画出它们的直观图。

③通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画 出的视图与直观图,了解立体图形的
不同表示形式。

④完成实习作业,如画 出校舍某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,
尺寸、线条等不作严格要求)。

⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。

(2)点、线、面之间的位置关系

① 借助长方体模型,在直观认识和理解 空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出
空间线、面位置关系的定义,并了解如下公理。

公理:

◆如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。

◆过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

◆如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

◆平行于同一条直线的两条直线平行。


◆空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

②以空间几 何的上述定义和公理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认
识和理解空间中线面平行、垂直 的有关性质与判定。

通过直观感知、操作确认,归纳出以下判定定理:

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。

◆ 一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明:

◆一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

◆两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

◆垂直于同一个平面的两条直线平行。

◆两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

2.平面解析几何初步(18课时)

(1)直线与方程


①在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素。

②理解直线 的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两
点的直线的斜率计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

④根据确定直线位 置的几何量,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及
一般式),体会斜截式与一次函数的关 系。

⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。

⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。

(2)圆与方程

①回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方
程。

②能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

(3)在平面解析几何的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想。

(4)空间直角坐标系

①通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性 ,了解空间直角坐标系,会用空
间直角坐标系刻画点的位置。


②通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两
点间的距离公式。< br>
说明与建议

1.空间几何教学的重点是帮助学生逐步形成空间想象 能力。本部分内容的设计遵循从
整体到局部、具体到抽象的原则,教师应提供丰富的实物模型或利用计算 机软件呈现的空
间几何体,帮助学生认识空间几何体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单
物体的结构。应在义务教育阶段有关三视图学习的基础上,帮助学生运用平行投影与中心
投影, 进一步掌握在平面上表示立体图形的方法和技能。(参看例1)

2.几何教学应注意引导学生 通过对实际模型的认识,将自然语言转化为图形语言和符
号语言。教师可以将长方体内的点、线、面关系 作为载体,使学生在直观感知的基础上,
认识空间中点、线、面之间的位置关系;通过对图形的观察、实 验和说理,使学生进一步
了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法,学会准确地使用数学语言表述几 何对象的
位置关系,并能解决一些简单的推理论证及应用问题。(参看例2)

3.空 间几何的教学中,要求对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行逻辑论证;对
相应的判定定理只要求直 观感知、操作确认,在选修课程C系列中将用向量方法加以论证。

4.有条件的学校应在教学 过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形,提高学生的
几何直觉,为几何证明的教学提供生动的支持 。教师可以指导和帮助学生运用空间几何知
识选择课题,进行探究。

5.在 平面解析几何的教学中,教师应帮助学生经历如下的过程:首先将几何问题代数
化,用代数的语言描述几 何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问
题;分析代数结果的几何含义,最终解决 几何问题。这种思想应贯穿于平面解析几何教学


的始终,帮助学生不断地体会“数形结合 ”的思想方法。

参考案例

例1 如图是一个奖杯的三视图,请你画出它的直观图,并求出这个奖杯的体积。

例2 观察自己的教室,说出观察到的点、线、面之间的位置关系,并说明理由。

A
3

在本模块中,学生将学习算法、统计、概率。

算法 是数学的重要组成部分,是计算理论、计算机理论和技术的基础。随着现代信息
技术飞速发展,算法在科 学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生
活的许多方面,算法思想已经成为现代人 应具备的一种数学素养。需要特别指出的是,中
国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中,学生 将在义务教育阶段初步感受算法
思想的基础上,结合对具体数学实例的分析,体验程序框图在解决问题中 的作用;通过模
仿、操作、探索,学习设计程序框图表达解决问题的过程;体会算法的基本思想以及算法
的重要性和有效性,发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力。

现代社会 是信息化的社会,人们常常需要收集数据,根据所获得的数据提取有价值的
信息,并作出合理的决策。统 计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它可以为
人们制定决策提供依据。随机现象在日常生活 中随处可见,概率是研究随机现象规律的学
科,它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题 的模型,同时为统计学的发
展提供了理论基础。因此,统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必 备常识。在
本模块中,学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上,通过实际问题情境,学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法,体会用样本估计总体及其特征的思想;通

过解决实际问题,较为系统地经历数据收集与处理的全过程,体会统计思维与确定性思维
的差异。学 生将结合具体实例,学习概率的某些基本性质和简单的概率模型,加深对随机
现象的理解,能通过实验、 计算器(机)模拟估计简单随机事件发生的概率。

内容与要求

1.算法(12课时)

(1)算法的含义、程序框图

①通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如:二元一次方程组求解等问题),体会
算法的思想,了解算 法的含义。

②通过模仿、操作、探索,经历设计程序框图表达解决问题的过程。在具 体问题的解
决过程中(如:三元一次方程组求解等问题),理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、< br>条件分支、循环。

(2)基本算法语句

经历将具体问题的 程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语句——输入
语句、输出语句、赋值语句、条件语句 、循环语句,体会算法的基本思想。

(3)通过阅读中国古代数学中的算法案例,体 会中国古代数学对世界数学发展的贡献,
增强民族自豪感。

2.统计(16课时)

(1)随机抽样


①能从现实世界或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。

②结合具体问题情境,理解随机抽样的必要性和重要性。

③在参与解决统计问题的过 程中,学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;通过
对实例的分析,了解分层抽样和系统抽样方法。

④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。

(2)用样本估计总体

①通过实例体会分布的意义和作用,在表示样本数据的过程中 ,学会列频率分布表、
画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图(参看例1)。

②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据标准差。

③能根据实际 问题的需求合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平
均数、标准差),并作出合理的解 释。

④在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,会用样本的频率分布估计总体分布、用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分
布和数字特 征的随机性。

⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实 际问题;能通
过对数据的分析为合理的决策提供一些依据,认识统计的作用,体会统计思维与确定性思< br>维的差异。

⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识,了解新闻媒介、广告等公布的 数据可能
带来的误导。


(3)变量的相关性

①通 过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变
量间的相关关系。

②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程,知道最小二乘法的思想,能根
据给出 的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

3.概率(8课时)

(1)在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,进一步了解概率
的意义以及频率与概率的区别。

(2)通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式。

(3)通过实例,理解古典概 型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含
的基本事件数及事件发生的概率。
< br>(4)了解随机数的意义,能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计
概率,初步 体会几何概型的意义(参看例2)。

(5)通过阅读材料,了解人类认识随机现象的过程。

说明与建议

1.算法在高中数学课程中是一个新的内容,其思想是非常重要的。但算法并不神秘,
例如运用消元法 解二元一次方程组、求最大公因数等的过程就是一种算法。为了有条理地、
清晰地表达算法,往往需要将 解决问题的过程整理成程序框图;为了能在计算机上实现,
还需要将自然语言或程序框图翻译成计算机语 言。本模块重要的是使学生体会算法的思想,


提高逻辑思维能力。不应将此部分内容简单 处理成程序语言的学习和程序设计。

2.算法教学必须通过实例进行,使学生在解决具体问题 的过程中学习一些基本逻辑结
构和语句。有条件的地方,应鼓励学生尽可能上机尝试。

3.算法除作为本模块的内容之外,应该在其他有关内容中注意渗透算法思想,鼓励学
生尽可能地运用 算法解决相关问题。

4.教师应引导学生体会统计的作用和基本思想,统计的特征是通过部分 的数据来推测
全体数据的性质。学生应体会统计思维与确定性思维的差异,注意到统计结果的随机性,< br>统计推断是有可能犯错误的。

5.统计是为了从数据中提取信息,教学时应引 导学生根据实际问题的需求选择不同的
方法合理地选取样本,并从样本数据中提取需要的数字特征。不应 把统计处理成数字运算
和画图表。对统计中的概念(如“总体”、“样本”等)应结合具体问题进行描述 性说明,
不应追求严格的形式化定义。

6.统计教学必须通过案例来进行。 教学中应通过对一些典型案例的处理,使学生经历
较为系统的数据处理全过程,在此过程中学习一些数据 处理的方法,并运用所学知识、方
法去解决实际问题。例如在学习线性相关的内容时,教师可以鼓励学生 探索用多种方法确
定线性回归直线。在此基础上,教师可以引导学生体会最小二乘法的思想,根据给出的 公
式求线性回归方程。对感兴趣的学生,教师可以鼓励他们尝试推导线性回归方程。(参看例
3 )

7.概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。教师应通过日常生活中的大量实例,鼓励学生动手试验,正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性,
并尝试澄清 日常生活遇到的一些错误认识。(如:“中奖率为11000的彩票,买1000张


一定 中奖。”

8.古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征:实验结果的有限性和每 一
个实验结果出现的等可能性。让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型。教学中不要
把重 点放在“如何计数”上。

9.应鼓励学生尽可能运用计算器、计算机来处理数据、进 行模拟活动,更好地体会统
计思想和概率的意义。例如,可以利用计算器产生随机数来模拟掷硬币的试验 等。

参考案例

例1 下面某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的比较图:

甲 乙

0 8

52 1 346

54 2 368

976611 3 389

94 4

0 5 1

根据上图对两名运动员的成绩进行比较。

(甲运动员的得分情 况是大致对称的,中位数是36;乙运动员的得分情况除一个特殊


得分外,也大致对称, 中位数是26。因此甲运动员发挥比较稳
分比乙好。)

定,总体得
例2 在所示的图中随机撒一大把豆子,(可以利用计算器、
拟这一过程),计算落在圆中的豆子数与 落在正方形中的豆子数
估计圆周率的值,并初步体会几何概型的意义。

计算机模
之比由此
例3 下表是某小卖部6天卖出的热茶的杯数与当天气温的对比表:

气温(℃)

杯数

26

20

18

24

13

34

10

38

4

50

-1

64

(1)将上表中的数据制成散点图。

(2)你能从散点图中发现温度与饮料杯数近似成什么关系吗?

(3)如果近似成线性关系的话,请画出一条直线来近似地表示这种线性关系。


(4)如果某天的气温是-5 ℃时,预测这天小卖部卖出热茶的杯数。

(当运用直线近似表示温度与杯数的关系时,学生可能选择能反映直线变化的两个点,
例如(4,50),(18,24)确定一条直线;也可以取一条直线,使得直线一侧和另一侧点的
个数 基本相同;还可能多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距
的算术平均值,作为 所求直线的斜率、截距。)

A
4

在本模块中,学生将学习三角函数、解三角形、数列。

三角函数是基本初等函数,它 是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中
具有重要的作用。在本模块中,学生将通过实例, 学习三角函数及其基本性质,体会三角
函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。

学生将在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形
中的边长与角度之 间的数量关系,并认识到运用它们可以解决一些与测量和计算有关的实
际问题。

数列 作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本的数学模型。在本模块中,学生将
通过对日常生活中大量实 际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,探索
并掌握它们的一些基本数量关系,感受这 两种数列模型的广泛应用,并利用它们解决一些
实际问题。

内容与要求

1.三角函数(14课时)


(1)任意角、弧度

了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化。

(2)三角函数

①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。

②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式, 能画出
y
=sin
x
,
y
=cos
x
,
y
=tan
x
的图象,了解三角函数的周期性。

③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2 π],正切函数在[-π2,π2]上的性质
(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等)。

④理解同角三角函数的基本关系式:sin
2
x
+cos
2x
=1,sin
x
cos
x
=tan
x


⑤结合具体实例,了解
y
=
A
si n(
?x
+
?
)的实际意义;能借助计算器或计算机画出
y
=
A
sin

?x
+
?
)的图象,观察
A
,?,?对函数图象变化的影响。

⑥会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角 函数是描述周期变化现象的重要函
数模型。

2.解三角形(8课时)
(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决
一些简单的三 角形度量问题。

(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和计算有关 的实际问
题。


3.数列(12课时)

(1)数列的概念和简单表示法

通过日常生活中的实例,了解数列的概念和几种简 单的表示方法(列表、图象、通项
公式),了解数列是一种特殊函数。

(2)等差数列、等比数列

①通过实例,理解等差数列、等比数列的概念。

②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式。

③能在具体的问题 情境中,发现数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相
应的问题。(参见例1)

④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。

说明与建议

1.在三角函数的教学中,教师应根据学生的生活经验,创设丰富的情境,使学生体会
三角函数 的模型作用。如:通过单摆、弹簧振子、圆上一点的运动,以及音乐、波浪、潮
汐、四季变化等实例,使 学生感受周期现象的广泛存在,认识周期现象的变化规律,明确
三角函数是刻画周期现象的重要模型,发 展运用三角函数描述周期现象的能力。(参见例2)

2.在三角函数的教学中,应发挥单位圆 的作用。单位圆可以帮助学生直观地认识任意
角,理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系 式,以及三角函数的图象和基
本性质。借助单位圆的直观,教师可以引导学生自主地探索三角函数的有关 性质,培养他
们分析问题和解决问题的能力。


3.提醒学生重视学科 之间的联系与综合,在学习其他学科的相关内容(如单摆运动、
波的传播、交流电)时,注意运用三角函 数来分析和理解。

4.弧度是学生比较难接受的概念,教学中应使学生体会弧度也是一种度量 角的单位(圆
周的12π)。随着后继课程的学习,他们将会逐步理解这一概念,在此不必深究。

5.解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用,引导
学生 认识它们是解决测量问题的一种方法,而不必在恒等变形上做过于繁琐的训练。

6.等差数列 和等比数列有着广泛的应用,教学中应重视通过具体实例(如:教育贷款、
购房贷款、放射性物质的衰变 、人口增长等),使学生理解这两种数列模型的作用,培养学
生从实际问题中抽象出数列模型的能力。< br>
7.在数列的教学中,应保证基本技能的训练,引导学生通过必要的练习,掌握数列中
各量之间的基本关系。但训练时,要控制难度和复杂程度。

8.在本模块的教学中,应鼓励学 生使用计算器和计算机探索和解决问题。例如,求三
角函数值,计算测量问题,分析
y
=Asin(?
x
+?)中参数变化对函数的影响等。在三角函数、
解三角形、数列相 应的内容中可以插入数学探究或数学建模活动。

参考案例

例1 教育储蓄的收益与比较

要求学生收集有关本地区教育储蓄的信息,思考以下问题。

(1)依教育储蓄的方式,每月存50元,连续存3年,到期(3年)或6年时一次可
支取本息共多少元?


(2)依教育储蓄的方式,每月存a元,连续存 3年,到期(3年)或6年时一次可支
取本息共多少钱?

(3)依教育储蓄 的方式,每月存50元,连续存3年,到期(3年)时一次可支取本
息比同档次的“零存整取”多收益多 少元?

(4)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元,每月应存入多少元?

(5)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a万元,每月应存入多少元?

(6)依 教育储蓄的方式,原打算每月存100元,连续存6年,可是到4年时,学生需
要提前支取全部本息,一 次可支取本息共多少元?

(7)依教育储蓄的方式,原打算每月存a元,连续存6年 ,可是到b年时,学生需要
提前支取全部本息,一次可支取本息共多少元?

(8)开放题:不用教育储蓄的方式, 而用其他的储蓄形式, 以每月可存100元, 6年
后使用为例, 探讨以现行的利率标准可能的最大收益, 将得到的结果与教育储蓄比较。

例2海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮,一般地早潮叫潮,晚潮
叫 汐。在通常的情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋。下面
是某港口在某季节 每天的时间与水深关系表:

时刻

水深(米)

时刻

水深(米)

时刻

水深(米)

0:00

5.0

9:00

2.5

18:00

5.0


3:00

7.5

12:00

5.0

21:00

2.5

6:00

5.0

15:00

7.5

24:00

5.0

(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关 系。给出整点时的
水深的近似数值。

(2)一条货船的吃水深度(船底与水 面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5
米的安全间隙(船底与洋底的距离)?该船何时能进入 港口?在港口能呆多久?

(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2: 00开始卸货,吃水深
度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较 深的水域?

A
5

在本模块中,学生将学习平面向量、三角恒等变换、不等式。

向量是近代数学中重要 和基本的数学概念之一,它是沟通代数与几何的一种工具,有
着极其丰富的实际背景。在本模块中,学生 将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及
其运算的意义,能用向量语言和方法表述和解决数学和物理 中的一些问题,发展运算能力
和解决实际问题的能力。

三角恒等变换在三角函数学习 中有一定的作用,有利于发展学生的推理能力和运算能
力。在本模块中,学生将运用向量的方法推导基本 的三角恒等变换公式,由此出发导出其
它的三角恒等变换公式,并能运用这些公式进行简单恒等变换。< br>
不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系,是数学研究的重要内容。建立不

< p>
等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。在本模块中,学生将通过具体情境,
感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)对于刻画不等关
系的意义和价值 ;掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题;能用二
元一次不等式组表示平面区域, 并尝试解决一些简单的二元线性规划问题;认识基本不等
式及其简单应用;体会不等式、方程及函数之间 的联系。

内容与要求

1.平面向量(12课时)

(1)平面向量的实际背景及基本概念

通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背 景,理解平面向量和向量相等的含义,
理解向量的几何表示。

(2)向量的线性运算

① 通过实例,掌握向量加减法的运算,并理解其几何意义。

② 通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义。

③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义。

(3)平面向量的基本定理及坐标表示

① 了解平面向量的基本定理及其意义,能将平面向量表示为坐标轴上单位向量的线性
组合。

② 会用有序实数对表示平面向量。


③ 会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算。

④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

(4)平面向量的数量积

① 通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

② 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。

③ 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

④ 能运用数量积表示两向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

(5)向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题 与一些其他的实际问题的过
程,体会向量是一种处理几何等问题的工具,发展运算能力和解决实际问题的 能力。

2.三角恒等变换(8课时)

(1)经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作
用。

(2)能从两角差的余弦公式导出并会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角
的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。

(3)能运用上述公式进行简单的 恒等变换(包括尝试导出积化和差、和差化积、半角
公式,但不要求记忆)。


3.不等式(16课时)

(1)不等关系

通过具 体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)
的实际背景。

(2)一元二次不等式

①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。

②通过函数图象了解一元二次不等式与函数、方程的联系。

③会解一元二次不等式,尝试设计求解给定的一元二次不等式的程序框图。

(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题

①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组。(参看例1)

③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。(参看例2)

(4)基本不等式:
ab?
a?b

a,b≥
0)

2
①探索并了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的最大(小)问题。(参看例3、例4)


说明与建议

1.向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手,物理 背景就是力、速度、加速度等
概念,几何背景就是有向线段。了解这些物理背景和几何背景,对于他们理 解向量概念和
运用向量解决实际问题都是十分重要的。教师还可以引导学生运用向量解决一些物理和几< br>何问题。如利用向量计算力沿某方向所做的功,利用向量解决平面内两条直线平行与垂直
的位置关 系等问题。

2.在三角恒等变换的教学中,可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余 弦公
式,并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切
公 式。并鼓励学生独立探索和讨论交流,尝试推导积化和差、和差化积、半角公式,以此
作为三角恒等变换 的基本训练。

3.一元二次不等式教学中,应注重使学生了解一元二次不等式的实际背景。求 解一元
二次不等式,首先应求出相应方程的根,然后根据相应函数的图象求出不等式的解;也可
以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。

4.不等式有丰富的 实际背景,是刻画区域的重要工具。刻画区域是解决线性规划问题
的一个基本步骤,教学中可以从实际背 景引入二元一次不等式组。

5.优化是解决实际问题的一种基本思想,线性规划是优化的具体 模型之一。在本模块
内容的教学中,教师应引导学生体会线性规划的基本思想,借助几何直观解决一些简 单的
线性规划问题,但不必引入很多名词。

参考案例

例1 医生嘱咐某个病人每餐至少要摄入55克蛋白质和125克维生素C。某午餐提供


肉片和 蔬菜,在1克的肉片中含235毫克的蛋白质,不含维生素C;在1克的蔬菜中含33
毫克的蛋白质和1 00毫克的维生素C。设计出符合医生要求的营养配餐。

(假设需要
x
克肉 片,
y
克蔬菜,则如上问题可用不等式组来表示

235
x
+33
y
≥55000,

100
y
≥125000。 其中
x
≥0,
y
≥0

在平面直角坐标系中表示出上述不等式组,即
个平面区域。)

得到一
例2 海建是一个咖啡生产供应公司,本月该
库中有4000千克的精品豆和2000千克的普通豆。< br>与某咖啡屋签署了生产消费合同,每月向咖啡屋供
公司仓
该公司
应5000千克的咖啡原料,以制成极品咖啡和普通咖啡。极品咖啡完全由精品豆研制而成,而普通
咖啡则是由 极品豆和普通豆混合制成的。假如每千克极品咖啡的价格为98元,每千克普通
咖啡的价格为64元,那 么海建公司应该如何安排生产才能获得最大收益?

例3 如图,设矩形ABCD(AB> AD)的周长为24,把它关于AC折起,AB折过来以后交
DC于点P,设AB=
x
,求△ADP的最大面积及相应的
x
值。

例4 某工厂建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800 m,深度为3 m。如果池底每
1 m
2
的造价为150元,池壁每1 m
2
的造价为120元,怎样设计水池能 使总造价最低,最低
总造价是多少元?

3


二、选修课程

B,C系列课程

在完成 必修课程学习的基础上,对于希望进一步学习数学的学生,可以根据自己的兴
趣和需求,选择学习B、C 系列课程。

B系列课程是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的,包含2个模块 ,
共4学分。C系列课程则是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的,包含3个模块,
共 6学分。

B系列课程2个模块的内容分别为:

B1:常用逻辑用语,圆锥曲线与方程,导数及其应用。

B2:统计案例,推理和证明,数系扩充与复数的引入,框图。

C系列课程3个模块的内容分别为:

C1:常用逻辑用语,圆锥曲线与方程,空间向量与立体几何。

C2:导数及其应用,数系的扩充与复数的引入。

C3:计数原理,统计,概率。

在B、C系列的课程中,有一部分内容及要求是相同 的,如常用逻辑用语、统计案例、
数系扩充与复数等;有一部分内容基本相同,但要求不同,如导数及其 应用、圆锥曲线与
方程;还有一些不同的内容,B系列中安排了推理和证明、框图等内容,C系列安排了 空间
向量与立体几何、计数原理、离散随机变量及其分布等内容。


对 于希望在人文、社会科学方面发展的学生,考虑到其兴趣和需求的不同、学时的限
制,在B系列安排了“ 推理和证明”和“框图”两部分内容。这既可以加强学生对逻辑思
维的认识和训练,也有助于学生今后的 工作。对于选择C系列的学生,由于在他们学习的
很多内容中涉及了推理和证明,强调了推理和证明的基 本方法和基本训练,所以没有安排
“推理与证明”和“框图”的内容。

B系列课程

B
1

本模块中,学生将学习常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

正确地使用 逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流,
还是从事各项工作,都需要正确 地运用逻辑用语表达自己的思想。在本模块中,学生将在
义务教育阶段的基础上,学习常用逻辑用语,体 会逻辑用语在表述和论证中的作用,利用
这些逻辑用语准确地表达数学内容,更好地进行交流。

在必修课程学习解析几何内容的基础上,在本模块中,学生将学习圆锥曲线与方程,
了解圆锥曲 线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现
实世界和解决实际问题中的 作用,进一步体会数形结合的思想。

微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展及广泛应 用,开创了向近代数学过渡
的新时期,它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。导数的概念是微积 分的核心概
念之一,它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中,学生将通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数的含义,体会导数的思想及
其内涵;应 用导数探索函数的单调、极值等性质及其在实际中的应用,感受导数在解决数
学问题和实际问题中的作用 ,体会微积分的产生对人类文化发展的价值和作用。


内容与要求

1.常用逻辑用语(8课时)

(1)命题及其关系

①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。

②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系。

(2)简单的逻辑联结词

通过数学实例,了解“或”、“且”、“非”的含义。

(3)全称量词与存在量词

①通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义。

②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

2.圆锥曲线与方程(12课时)
< br>(1)了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作
用。

(2)经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单性
质。

(3)了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的有关性质。

(4)通过圆锥曲线的学习,体会数形结合的思想。


(5)了解圆锥曲线的简单应用。

3.导数及其应用(16课时)

(1)导数概念及其几何意义

① 通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡 到瞬时变化率的过程,了解导数
概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵。 (参见例1、例2)

②通过函数图象直观地理解导数的几何意义——切线。

(2)导数的运算

① 能根据导数定义,求函数
y
=c,< br>y
=
x

y
=
x
2
的导数。

② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

③ 会使用导数公式表。(见附录)

(3)导数在研究函数中的应用

① 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究
函数的单 调性,会求不超过3次的多项式函数的单调区间。

② 结合函数的图象,了解函数在某点取得 极值的必要条件和充分条件;会用导数求不
超过3次的多项式函数的极大值、极小值,以及在给定区间上 不超过3次的多项式函数的
最大值、最小值。

(4)生活中的优化问题举例。


如:使用利润最大、用料最省、效率最高等优 化问题,体会导数在解决实际问题中的
作用。(参看例3)

(5)数学文化

收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分 的建立
在人类文化发展中的意义和价值。有关要求见数学文化的要求。

说明与建议

1.在常用逻辑用语教学中,应特别注意以下几个问题:
(1)这里考虑的命题是指条件和结论比较明显的命题,对“命题的逆命题、否命题与
逆否命题”只 要求做一般性了解,重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分
条件、充要条件。

(2)对逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义,只要求通过数学实例加以了解,帮助
学生 正确地表述相关的数学内容。

(3)对于量词,重在理解它们的含义,不要追求它们的形式化定义。

(4)注意引 导学生在使用常用逻辑用语的过程中,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出
现的逻辑错误,体会运用常用逻 辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语
的机械记忆和抽象解释,不要求使用真值表。< br>
2.在引入圆锥曲线时,应通过丰富的实例,如:行星运行轨道,抛物运动轨迹,探照
灯的镜面等,使学生了解圆锥曲线的背景与应用。

3.教师也应向学生展示平面截圆锥得到椭 圆的过程,使学生加深对圆锥曲线的理解。


有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用 ,利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲
线。(参见例4)

4.教师可以向学生展 现圆锥曲线在实际中的应用,例如,投掷铅球的运行轨迹,卫星
的运行轨迹等。

5. 本模块中,导数的概念不是在定义极限的基础上给出,而是通过实际背景和具体应
用的实例引入的。教学 中,可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数
应用的实例,引导学生经历由平均变化 率到瞬时变化率的过程,知道瞬时变化率就是导数。
通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用, 体会导数的思想及其内涵。这样处理
的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。

6.在教学中,要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习,而忽视它的思想和价值。应使学生认识到,任何事物的变化率都可以用导数来描述。

参考案例

例1(平均变化率) 国家环保局在规定的排污达标的日期前,对甲、乙两家企业进
行检查,其连续检测结果如下图所示。 试问那个企业治污效果好。(其中
W
表示治污量)

(在
t
0
处,虽然
W
1
(t
0
)?W
2
(t
0
)
,然而
[W
1
(t
0
)?W1
(t
0
??t)](??t)?

[W
2
( t
0
)?W
2
(t
0
??t)](??t)
,所以 说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大,因此企
业甲比企业乙略好一筹)。

例2 我们知道,当运动员从10米高台跳水时,从腾空到进入水面的过程中,不同时
刻的速 度是不同的。假设t秒后运动员相对地面的高度为:
H(t)??4.9t
2
?6.5 t?10
,在2


秒时运动员的速度(瞬时速度)为多少?

(解:该运动员在2秒到2.1秒(记为[2,2.1]的平均速度为

H(2.1)?H(2)2.041?3.4
???13.59


2.1?20.1
同样,可以计算出[2,2.01],[2,2.001],……的平均速度,也可以 计算出[1.99,
2],[1.999,2],……的平均速度。

时间

间隔

平均速度


时间

间隔

平均速度

[2,2.1]

0.1

-13.59


[1.9,2]

0.1

-12.61

[2,2.01]

0.01

-13.149


[1.99,2]

0.01

-13.051

[2,2.001]

0.001

-13.1049


[1.999,2]

0.001

-13.0951

[2,2.0001]

0.0001

-13.1004
9


[1.9999,2]

0.0001

-13.09951

[2,2.00001]

0.0000-13.1000
1

49


[1.99999,2]

0.00001

-13.099951

……

……

……


……

……

……
< /p>


由此可以看出,当时间间隔越来越小时,平均速度趋
常数,这一常数(13.1) 就可作为该运动员在2秒时的
于一个
速度。

例3 有一边长为
a
的正方形铁片,铁片的四角截
边长为
x
的小正方形,然后作成一方盒。

去四个
(1) 试把方盒的容积
V
表示
x
的函数。

(2) 求
x
多大时,作成方盒的容积
V
最大。

例4 如图,用 一个平面去截圆锥,这个平面与圆锥的交线是一个椭圆。在圆锥内做
大小两个球分别与圆锥和截面相切。 那么,截面与两个球的切点恰是椭圆的两个焦点。

B
2

在本模块中,学生将学习统计案例、推理和证明、数系扩充及复数的引入、框图。

学 生将在必修课程学习统计的基础上,通过对典型案例的讨论,了解和使用一些常用
的统计方法,进一步体 会运用统计方法解决实际问题的基本思想,认识统计方法在决策中
的作用。

“推理和 证明”是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。
推理一般包括合情推理和演 绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、
公理、定理等)、实验和实践的结果,以 及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,
归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的 过程中,合情推理具有猜测和发现
结论、探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养。演绎推理是根 据已有的事实和正
确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新的结论的推理过程 ,有
助于学生避免出现逻辑错误,提高逻辑思维能力。合情推理和演绎推理之间联系紧密、相

< p>
辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明,数学结论的正确性必须通过逻辑证明
来 保证,即在前提正确的基础上,通过正确使用演绎推理得出结论。在本模块中,学生将
通过对已学知识的 回顾,进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异;体
会数学证明的特点,了解数学证明 的基本方法,包括直接证明的方法(如分析法、综合法)
和间接证明的方法(如反证法),感受逻辑证明 在数学以及日常生活中的作用,养成言之有
理、论证有据的习惯。

框图是表示一个系 统各部分和各环节之间关系的图示,它的作用在于能够清晰地表达
比较复杂的系统各部分之间的关系。框 图已经广泛应用于算法、计算机程序设计、工序流
程的表述、设计方案的比较等方面,也是表示数学计算 与证明过程中主要逻辑步骤的工具,
并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式。在本 模块中,学生将学习
用“流程图”、“结构图”刻画数学问题以及其他问题的解决过程;并在学习过程中 ,体验
用框图表示数学问题解决过程以及事物发生、发展过程的优越性,提高抽象概括能力和逻
辑思维能力,从而能清晰地表达和交流思想。

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程, 同时体现了数学发生发展的客观需求
和背景,复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充。在本模块中, 学生将在问题情境中
了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性,学习复数的一些基本知识,体会数系扩 充中
人类理性思维的作用。

内容与要求

1.统计案例(12课时)

通过典型案例,学习下列一些常见的统计方法,并能初步应用这些方法解决一些实际
问题。


① 通过对典型案例(如“肺癌与吸烟有关吗”)的探究,了解独立性检验(只要求 2
×2列联表)的基本思想、方法及初步应用。

②通过对典型案例(如“质 量控制”、“新药是否有效”)的探究,了解实际推断原理和
假设检验的基本思想、方法及初步应用。( 参看例1)

③通过对典型案例(如 “昆虫分类” )的探究,了解聚类分析的基本思想、方法及
其初步应用。

④通过对典型案例(如 “学习成绩与学习时间的关系”)的探究,了解回归的基本思
想、方法及其初步应用。

2.推理和证明(10课时)

(1)合情推理与演绎推理

① 结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比
等进行简单的推理,体 会并认识合情推理在数学发现中的作用。(参见例2、例3)

②结合已学过的数学实例和生活 中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的
基本模式,并能运用它们进行一些简单推理。

③通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

(2)直接证明与间接证明

①结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基 本方法:分析法和综合法;了解
分析法和综合法的思考过程、特点。


②结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法:反证法;了解反证法的
思考过程、特点。< br>
(3)数学文化

①通过介绍“四色问题”和吴文俊在计算机自动推理领域作 出的贡献,体会计算机在
数学证明中的作用。(参见例4)

②通过对实例的分析 (如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣
言》、牛顿三定律),体会公理化思想 。

3.框图(6课时)

(1)流程图

①通过具体实例,进一步认识程序框图。

②通过具体实例,了解工序流程图(即统筹图)(参见例5、例6)。

③能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用。

(2)结构图

①通过实例,了解结构图;运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息。

②结合做出的结构图与他人进行交流,体会结构图在揭示事物之间联系中的作用。

4.数系的扩充与复数的引入(6课时)

(1)在问题情境中了解数系的扩充过程 ,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运


算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用 ,感受人类理性思维的作用以及数与现实世
界的联系。

(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

(3)了解复数的代数表示法和三角表示法及其几何意义。

(4)能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加减运算的几何意义。

说明与建议

1.统计案例的教学中,应鼓励学生经历数据处理的过程,培养他们对数 据的直观感觉,
认识统计方法的特点(如统计推断可能犯错误,估计结果的随机性),体会统计方法应用 的
广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会,可结合数学建模的活动,选择1个案例,
要 求学生亲自实践。对于统计案例内容,只要求学生了解几种统计方法的基本思想及其初
步应用,对于其理 论基础不作要求,避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。

2.教学中,应鼓励学生使用 计算器、计算机等现代技术手段来处理数据,并运用一些
常见的统计软件解决实际问题。
3.教学中应通过实例,引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论,并用演绎
推理确认所得 结论的正确性或者用反例推翻错误的猜想,教学的重点在于通过具体实例理
解合情推理与演绎推理,而不 追求对概念的抽象表述。

4.本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结 。在教学中,应通
过实例,引导学生认识各种证明方法的特点,体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜 作
过高的要求。


5.框图的教学,应从分析实例入手,引导 学生运用框图表示数学计算与证明过程中的
主要思路与步骤、实际问题中的工序流程、某一数学知识系统 的结构关系等。使学生在运
用框图的过程中理解流程图和结构图的特征,掌握框图的用法,体验用框图表 示解决问题
过程的优越性。

6.在复数概念与运算的教学中,应注意避免繁琐的计算 与技巧训练。对于感兴趣的学
生,可以安排一些引申的内容,如求x
3
=1的根、介绍 代数学基本定理等。

参考案例

例1 某地区羊患某种病的概率是0. 25,且每头羊患病与否是彼此独立的。今研制一种
新的预防药,任选12头羊做实验,结果这12头羊 服用此药后均未患病。问此药是否有效。

(初看起来,会认为这药一定有效,因为服药的羊均 未患病。但细想一下,会有问题,
因为大部分羊不服药也不会患病,患病的羊只占
1
左 右。这12头羊都未患病,未必是药的
4
作用。分析这问题的一个自然想法是:若药无效,随机 抽取12头羊都不患病的可能性大不
大。若这件事发生的概率很小,几乎不会发生,那么现在我们这几头 羊都未患病,应该是
药的效果,即药有效。

现假设药无效,在此假设下令
X
表示任取12头羊中患病的头数,则
X
服从
n?12,p?0?25
的二项分布。即:

k
P(X?k)?C
12
0?25
k< br>0?75
12?k

k?
0,1,…,12

12头羊都不生病的概率是

这个概率很小,该事件几乎不会发生,但现在它确实发生 了,说明我们的假设不对,


药是有效的。

这里的分析思想有些象反证 法,但并不相同。给定假设后,我们发现,一个概率很小
几乎不会发生的事件却发生了,从而否定我们的 “假设”。

应该指出的是,当我们作出判断“药是有效的”时,是可能犯错误的。犯错误的概 率
是0.032。也就是说,我们有近97%的把握认为药是有效的。)

例2 探求凸多面体的面、顶点、棱之间的数量关系。(欧拉公式的发现)

例3 平面上的圆与空间中的球的类比

平面几何中的概念

空间几何中的类似概念





圆的切线

球的切面

圆的弦

球的截面圆

圆周长

球的表面积

圆面积

球的体积

圆的性质

球的性质


圆心与弦(非直径)中点的连球心与截面圆(不经过圆心的
线垂直于弦.

小截面圆)圆心的连线垂直于
截面圆.

与圆心距离相等的两弦相等;与 球心距离相等的两个截面圆
与圆心距离不等的两弦不等,相等;与球心距离不等的两个
距圆心较 近的弦较长。

截面圆不等,距球心较近的截
面圆较大。

……

……

例4 四色问题简介

1852年 ,英国业余数学家费朗西斯·格斯里在为英国分郡地图着色时,发现了一个看
似简单但他却无法回答的问 题:为任何地图着色,并使任何两个有公共边界的区域的颜色
都不同,那么,最少需要多少种颜色?
后来,他求教于当时着名的数学家摩根,摩根不能回答这个问题。但是他证明了,任
何地 图上不会有这样的五个国家存在,其中每一个国家都和其余四个相邻。他同时进行猜
想:画在纸上的任何 地图只用四种颜色就能使具有相同边界的国家染有不同的颜色,这就
是所谓的四色问题。

1878年,英国数学家凯莱正式向伦敦数学会提出了这个问题。

1879年,一位 叫肯普的英国律师宣布证明了四色猜想。但11年后,一位叫希伍德的


青年人指出了肯普 的证明中有严重错误。但他运用肯普的方法证明了五色定理(即对任何
地图着色五种颜色总是足够的)。

到1968年,数学家已解决了除平面和球面以外的所有曲面上的地图着色问题。

经过许多数学家的努力,把四色问题归结为近两千种情况下的证明。但是靠人工一个
一个地完成 判断和证明是不可能的。

终于在1976年,三位美国数学家阿沛、哈肯和摩尔借助于当时先 进的计算机,花了
1200小时,作了近100亿个逻辑判断,才最终证明了四色问题。

例5 零件加工过程的流程图

在零件加工的过程中要对零件是否合格进行检验,以生 产出符合规格的零件。其检验
分三步:即检验,返修检验和最后检验。结果为符合要求的成品和不符合要 求的废品。流
程图如下:


例6 数学建模过程的流程图



C系列课程

C
1


生将 学
本模块中,学
习常用逻辑用


语,圆锥曲线与方程,空间向量与立体几 何。

正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流,还是从事各项工作,都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维。在本模块中,学生将在
义务教育阶 段的基础上,学习常用逻辑用语,体会逻辑用语在表述和论证中的作用,利用
这些逻辑用语准确地表达数 学内容,从而更好地进行交流。

在必修阶段学习解析几何内容的基础上,在本模块中 ,学生将学习圆锥曲线与方程,
了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆 锥曲线在刻画现
实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的
对应关系,进一步体会数形结合的思想。

用空间向量处理立体几何问题,提供了新的 几何视角。空间向量的引入,为解决三维
空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 在本模块中,学生将在学
习平面向量的基础上,把平面向量及其运算推广到空间,运用空间向量解决有关 直线、平
面位置关系的问题,体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一步发展空间观念。

内容与要求

1.常用逻辑用语(8课时)

(1)命题及其关系

① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。

② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系。

(2)简单的逻辑联结词


通过数学实例,了解“或”、“且”、“非”逻辑联结词的含义。

(3)全称量词与存在量词

① 通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义。

② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

2.圆锥曲线与方程(16课时)

(1)圆锥曲线

① 了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作
用。

② 经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、
几何图形及简单性 质。

③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质。

④ 能用坐标法解决一些 与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关
系)和实际问题。

⑤ 通过圆锥曲线的学习,体会数形结合的思想。

(2) 曲线与方程

结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步感受数形结
合 的基本思想。


3.空间向量与立体几何(12课时)

(1)空间向量及其运算

①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

②了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,能将空间向量表示为坐
标轴上单位 向量的线性组合,掌握空间向量的坐标表示。

③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

④掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

(2)空间向量的应用

①理解直线的方向向量与平面的法向量。

②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。

③能用向量方法证明有关 线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)。(参看例1、
例2、例3)

④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何
问题中的作用。
说明与建议

1.在常用逻辑用语教学中,应特别注意以下几个问题:

(1)这里考虑的命题是指条件和结论比较明显的命题,对“命题的逆命题、否命题与

< br>逆否命题”只要求做一般性了解,重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分
条件、充 要条件。

(2)对逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义,只要求通过数学实例加以了解 ,帮助
学生正确地表述相关的数学内容。

(3)对于量词,重在理解它们的含义,不要追求它们的形式化定义。

(4)注意引 导学生在使用常用逻辑用语的过程中,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出
现的逻辑错误,体会运用常用逻 辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语
的机械记忆和抽象解释,不要求使用真值表。< br>
2.在引入圆锥曲线时,应通过丰富的实例,如:行星运行轨道,抛物运动轨迹,探照
灯的镜面等,使学生了解圆锥曲线的背景与应用。

教师也应向学生展示平面截圆锥得 到椭圆的过程,使学生加深对圆锥曲线的理解。有
条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用,利用计算 机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。
(参见例4)

3.教师可以向学生展现圆锥曲线 在实际中的应用,例如,投掷铅球的运行轨迹,卫星
的运行轨迹等。

4.曲线与方程 的教学应以学习过的曲线为主,注重使学生体会曲线与方程的对应关系,
感受数形结合的基本思想。对于 感兴趣的学生,教师也可以引导学生了解圆锥曲线的离心
率与统一方程。有条件的学校应充分发挥现代教 育技术的作用,通过一些软件向学生演示
方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响,使学生进一步理 解曲线与方程的关系。

5.空间向量的教学应引导学生运用类比的方法,经历向量及其运算由 平面向空间推广


的过程。教学过程中应注意维数增加所带来的影响。

6.在教学中,可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决空间
几何问题。

参考案例

例1 已知直三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,
?ACB?90
?

?BAC?30
?

BC?1

AA
1
?6

M
是棱
CC
1
的中点,证明:
AB
1
?A
1
M


例2 已知矩形
ABCD
和矩形
ADEF
垂直,以
AD
为公共边,但它们不在同一平面上。

M

N
分别在对角线
BD

AE
上,且
BM?13BD

AN?13AE
。证明:
MN
∥平

CDE
.

例3已知单位正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1

E

F
分别
B
1
C
1

C
1
D
1的中点。试求:

是棱

AD
1

EF
所成角;

② AF与平面BEB
1
所成角;

③ 二面角C
1
-DB-B
1
的大小。

例4 如图 ,用一个平面去截圆锥,在圆锥内有大小两个球分别与圆锥和截面相切。
那么,这个平面与圆锥的交线是 一个椭圆,平面与两个球的切点是椭圆的两个焦点。

C
2

在本模块中,学生将学习导数及其应用、数系的扩充与复数的引入。


微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的
新时期,为研究变 量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一,
它有极其丰富的实际背景和广泛 的应用。在本模块中,学生将通过大量实例,经历由平均
变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解 导数概念,了解导数在研究函数的单调性、
极值等性质中的作用,初步了解定积分的概念,为以后进一步 学习微积分打下基础。通过
该模块的学习,学生将体会导数的思想及其丰富内涵,感受导数在解决实际问 题中的作用,
了解微积分的文化价值。

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程 ,同时体现了数学发生发展的客观需求
和背景,复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充。在本模块中 ,学生将在问题情境中
了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性,学习复数的一些基本知识,体会数系 扩充中
人类理性思维的作用。

内容与要求

1.导数及其应用(24课时)

(1)导数概念及其几何意义

① 通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概
念的实际 背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵。(参看例1、例2)

②通过函数图象直观地理解导数的几何意义——切线。

(2)导数的运算

① 能根据导数定义求函数
y=c,y=x,y=x
2< br>,y=x
3
,y=1x,y=√x
的导数。


② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,< br>能求简单的复合函数(仅限于形如f(
ax+b
))的导数。

③ 会使用导数公式表。(见附录)

(3)导数在研究函数中的应用

① 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究
函数的单 调性,会求不超过三次的多项式多项式函数的单调区间。

② 结合函数的图象,了解函数在 某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不
超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区 间上不超过三次的多项式函数最大值、
最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
(4)生活中的优化问题举例。

如:使用利润最大、用料最省、效率 最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的
作用。(参看例3)

(5)定积分与微积分基本定理

①通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等), 从问题情境中了解定积分的实际背
景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念。< br>
② 通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分
基本定理的含义。

(6)数学文化


收集有关微积 分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立
在人类文化发展中的意义和价值。 有关要求见数学文化的要求。

2.数系的扩充与复数的引入(6课时)

(1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算
规则、方程理论) 在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界
的联系。

(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

(3)了解复数的代数表示法和三角表示法及其几何意义。

(4)能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加减运算的几何意义。

3.数学探究(6课时)

数学探究的主题可以是:格点与面积,导数在函数作图、方程近似求 解以及不等式证
明等方面的应用等。具体要求参见数学探究的要求。

说明与建议

1.本模块中,导数的概念不是在定义极限的基础上给出,而是通过实际 背景和具体应
用的实例引入的。教学中,可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数< br>应用的实例,引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,知道瞬时变化率就是导数。
通过感 受导数在研究函数和解决实际问题中的作用,体会导数的思想及其内涵。这样处理
的目的是帮助学生直观 理解导数的背景、思想和作用。

2.在教学中,要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤 来学习,而忽视它的思想和价值。


应使学生认识到,任何事物的变化率都可以用导数来描 述。

3.教师应引导学生在解决具体问题的过程中,将研究函数的导数方法与初等方法作比< br>较,以体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

4.在复数概念与运算的教 学中,应注意避免繁琐的计算与技巧训练。对于感兴趣的学
生,可以安排一些引申的内容,如求x
3
=1的根、介绍代数学基本定理等。

参考案例

例1 国家环保局在规定的治污达标的日期前,对甲、乙两家企业进行检查,其连续检
测结果如下图所示。 试问那个企业治污效果好。(其中
W
表示治污量)

(在
t
0
处,虽然
W
1
(t
0
)?W
2
(t0
)
,然而
[W
1
(t
0
)?W
1< br>(t
0
??t)](??t)?

[W
2
(t
0
)?W
2
(t
0
??t)](??t)
,所以说在单位 时间里企业甲比企业乙的平均治污率大,因此企
业甲比企业乙略好一筹)。

例2 我们知道,当运动员从10米高台跳水时,从腾空到进入水面的过程中,不同时
刻的速度是不同的。假设 t秒后运动员相对地面的高度为:
H(t)??4.9t
2
?6.5t?10
,在2
秒时运动员的速度(瞬时速度)为多少?

(解:该运动员在2秒到2.1秒(记为[2,2.1]的平均速度为

H(2.1)?H(2)2.041?3.4
???13.59


2.1?20.1
同样,可以计算出[2,2.01],[2,2.001],……的平均速度,也可以 计算出[1.99,
2],[1.999,2],……的平均速度。


时间

间隔

平均速度


时间

间隔

平均速度

[2,2.1]

0.1

-13.59


[1.9,2]

0.1

-12.61

[2,2.01]

0.01

-13.149


[1.99,2]

0.01

-13.051

[2,2.001]

0.001

-13.1049


[1.999,2]

0.001

-13.0951

[2,2.0001]

0.0001

-13.1004
9


[1.9999,2]

0.0001

-13.09951

[2,2.00001]

0.0000-13.1000
1

49


[1.99999,2]

0.00001

-13.099951

……

……

……


……

……

……

由此可以看出,当时间间隔越来越小时,平均速度趋于一个常数,这一常数(1 3.1)就
可作为该运动员在2秒时的速度。

例3 有一边长为
a
的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长为
x
的小正方形,然后
作成一方盒。

(1)试把方盒的容积
V
表示
x
的函数。

(2)求
x
多大时,作成方盒的容积
V
最大。


C
3

在本模块中,学生将学习计数原理、统计、概率。

计数问题是数学中的重要研究对象 之一,为解决很多实际问题提供了思想和工具。在
本模块中,学生将学习计数基本原理、排列、组合、二 项式定理及其应用,了解计数与现
实生活的联系,会解决简单的计数问题。应避免繁琐的、技巧性过高的 问题。

学生将在必修课程学习概率的基础上,学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方< br>差等内容,初步学会描述和分析某些随机现象的方法,并能用所学知识解决一些简单的实
际问题, 进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点,初步形成用随机观念观
察、分析问题的意识。< br>
学生将在必修课程学习统计的基础上,通过对典型案例的讨论,了解和使用一些常用
的 统计方法,进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想,认识统计方法在决策中
的作用。

内容与要求

1.计数原理(14课时)

(1)分步计数原理、分类计数原理

通过实例,总结出分步计数原理、分类计数原理 ;能根据具体问题的特征,选择分类
计数原理或分步计数原理解决一些简单的实际问题。

(2)排列与组合

通过实例,理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公 式、组合数公式,


并能解决简单的实际问题。

(3)二项式定理

能用计数原理证明二项式定理(参看例1); 会用二项式定理解决与二项展开式有关
的简单问题。

2.统计与概率(22课时)

(1)概率

①在对 具体问题的分析中,理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识
分布列对于刻画随机现象的 重要性。

②通过实例(如彩票抽奖),理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单 的应用。(参
看例2)

③在具体情境中,了解条件概率和两个事件相互独立的概念, 理解n次独立重复试验
的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题。(参看例3)

④通过实例,理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型
随 机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题。(参看例4)

⑤通过实际问题,借助 直观(如实际问题的直方图),认识正态分布曲线的特点及曲线
所表示的意义。

(2)统计案例

通过典型案例,学习下列一些常见的统计方法,并能初步应 用这些方法解决一些实际


问题。

① 通过对典型案例(如“肺癌 与吸烟有关吗”)的探究,了解独立性检验(只要求2
×2列联表)的基本思想、方法及初步应用。
②通过对典型案例(如“质量控制”、“新药是否有效”)的探究,了解实际推断原理和
假设检验的基本思想、方法及初步应用(参看例5)。

③通过对典型案例(如 “昆虫分类” )的探究,了解聚类分析的基本思想、方法及
其初步应用。

④通过对典型案例(如 “学习成绩与学习时间的关系”)的探究,了解回归的基本思
想、方法及其初步应用。

说明与建议

1.分类计数和分步计数是处理计数问题的两种基本思想方法。教学中, 应引导学生根
据计数原理分析、处理问题,而不应机械地套用公式。同时,在这部分教学中,应避免繁< br>琐的、技巧性过高的问题。

2.研究一个随机现象,就是要了解它所有可能出现的结果 和每一个结果出现的概率,
分布列正是描述了离散随机变量取值的概率规律,二项分布和超几何分布是两 个应用广泛
的概率模型,要求通过实例引入这两个概率模型,不追求形式化的描述。教学中,应引导学生能利用所学知识解决一些实际问题。

3.统计案例的教学中,应鼓励学生经历数据处 理的过程,培养他们对数据的直观感觉,
认识统计方法的特点(如统计推断可能犯错误,估计结果的随机 性),体会统计方法应用的
广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会,可结合数学建模的活动,选 择1个案例,


要求学生亲自实践。对于统计案例内容,只要求学生了解几种统计方法的基 本思想及其初
步应用,对于其理论基础不做要求,避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。

4.教学中,应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据,并运用一些
常见的统 计软件解决实际问题。

5.可以在二项式定理中介绍我国古代成就“杨辉三角”,在统计案例 中介绍所学统计
方法在社会生活中的广泛应用,以丰富学生对数学文化价值的认识。

参考案例

例1 二项式定理的证明。

(a?b)
n
n
个(
a+b
)相乘,每个(
a+b
)在相乘时,有 两种选择,贡献
a

b
,由分
步计数原理可知展开式共有2
n
项(包括同类项),其中每一项都是
a
k
b
n-k
的形式 ,
k
=0,1,……,
n
;对于每一项
a
k
bn-k
,它是由
k
个(
a+b
)贡献了
a
,< br>n-k
个(
a+b
)贡献了
b
得到的,它出现
的次数 相当于从
n
个(
a+b
)中取
k
个a的组合数
C< br>n
k
,将它们合并同类项,就得二项展开
式,这就是二项式定理。

例2 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏。在一个口袋中装有10个红球,20个
白球 ,这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出5个球,摸到4个红球的就中一等
奖。求获一等奖的概 率。

(从30个球中摸出5个球的组合数为:C
30
5
=142506;

那么,P(一等奖)= C
10
4
C
30-10
5-4
C
30
5
=4200142506≈0.029。

如果令X表示摸 出红球的个数,则X服从N=30,M=5,n=10,m=4的超几何分布,那么


P(X=m)= C
n
m
C
N-n
M-m
C
N
M
。)

例3 将一枚均匀硬币随机掷100次,相当于重复做了100次试验,每次有两个可能的
结果(出现正面,不 出现正面),出现正面的概率为12。

如果令
X
为硬币正面出现的次数,则
X
服从
n?100,p?
111
kk
P(X?k)?C100
()
k
(1?)
100?k
?C
100
()
100


222
1
的二项分布,那么
2
由此可以得到:“随机掷1 00次硬币正好出现50次正面”概率为
50
1
100
P(X?50)?C< br>100
()?0?08

2
(学生在学习概率时会有一种误解,认为既 然出现正面的概率为12,那么掷100次
硬币出现50次正面是必然的,或者这个事件发生的概率应该 很大。但计算表明这概率只有
8%左右。)

例4 据气象预报,某地区下个月有小 洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01。
设工地上有一台大型设备,为保护设备有以下三种 方案。

方案1:运走设备,此时需花费3800元。

方案2:建一保护围 墙,需花费2000元。但围墙无法防止大洪水,当大洪水来临,设
备受损,损失费为60000元。< br>
方案3:不采取措施,希望不发生洪水。此时大洪水来临损失60000元,小洪水来临损失10000元。

试比较哪一种方案好。


例5 某地 区羊患某种病的概率是0.25,且每头羊患病与否是彼此独立的。今研制一种
新的预防药,任选12头 羊做实验,结果这12头羊服用此药后均未患病。问此药是否有效。

(初看起来,会认为这药 一定有效,因为服药的羊均未患病。但细想一下,会有问题,
因为大部分羊不服药也不会患病,患病的羊 只占
1
左右。这12头羊都未患病,未必是药的
4
作用。分析这问题的一个自 然想法是:若药无效,随机抽取12头羊都不患病的可能性大不
大。若这件事发生的概率很小,几乎不会 发生,那么现在我们这几头羊都未患病,应该是
药的效果,即药有效。

现假设药无效 ,在此假设下令
X
表示任取12头羊中患病的头数,则
X
服从
n?1 2,p?0?25
的二项分布。即:

k
P(X?k)?C
120?25
k
0?75
12?k

k?
0,1,…,12

12头羊都不生病的概率是

这个 概率很小,该事件几乎不会发生,但现在它确实发生了,说明我们的假设不对,药是
有效的。

这里的分析思想有些像反证法,但并不完全相同。给定假设后,我们发现,一个概率
很小几乎不 会发生的事件却发生了,从而否定我们的“假设”。

应该指出的是,当我们作出判断“药是有 效的”时,是可能犯错误的。犯错误的概率
是0.032。也就是说,我们有近97%的把握认为药是有 效的。)

D,E,F系列课程

D,E,F系列选修课程分别由若干专题组成,每个专题1学分。


D 系列课程(文化系列课程)的专题包括:数学史选讲、数学与社会、中学数学思想
方法、数学问题集锦等 。E系列课程(应用系列课程)包括:优选法、统筹法、风险与决
策、数字电路设计与代数运算等。F系 列课程(拓展系列课程)包括:几何证明、不等式、
参数方程与摆线、矩阵与变换、数列与差分、图论初 步、球面几何与欧拉公式、整除与孙
子定理、对称与群、分形的构造与探索等。

D, E,F系列选修课程的素材极为丰富,上述内容只是其中的一部分,随着课程的发
展,这些内容将进一步 拓展、丰富和完善。

D,E,F系列选修课程是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的 学生开设的,
所涉及的内容都是基础性的数学内容。不仅应鼓励那些希望在理工、经济等方面发展的学< br>生积极选修,同时也应鼓励那些希望在人文社会科学方面发展的学生选修这些课程。

D系列课程是文化系列课程。本系列课程的目标是扩展学生的数学视野,以比较浅显
的方式介绍数学史、 数学的应用、数学的思想方法和一些数学问题,提高学生对数学文化
价值的认识。数学史选讲专题旨在通 过介绍数学发展历史中的重要事件和人物,使学生体
会数学对人类思想进步和社会发展的影响,体会社会 发展对数学发展的推动作用。现实社
会中的数学专题旨在通过现实社会中生动、丰富的实例,展现数学在 社会中的广泛应用,
使学生感受到数学无处不在。中学数学思想方法专题旨在以中学数学知识和问题为载 体,
使学生学习与中学数学内容密切相关的、常用的、重要的数学思想方法,加深学生对数学
的 认识和理解。数学问题集锦专题是通过一些有趣味的数学问题,提高学生对数学的兴趣。
所有内容的呈现 方式,都应当深入浅出、生动活泼、图文并茂。

E系列课程是应用系列课程。数学的应用非常 广泛,本系列课程只选择了部分数学应
用的专题。优选法、统筹法是我国着名数学家华罗庚在20世纪6 0年代提出并推广的具有
广泛意义的重要数学方法,这些方法与人们的日常生活和工作有密切的联系。随 着社会的


发展,风险问题已经成为现代社会中人们必须面对的问题,树立风险意识,并初 步掌握这
方面的知识,将提高人们的生活质量。数字电路设计在计算机的发展中有重要的作用,而
代数的思想和方法是数字电路设计的基础。E系列课程旨在通过展现一些数学应用的典型
事例,使学生 掌握一些数学的思想方法,体会数学的作用,发展应用意识。

F系列课程是拓展系列课程。这 部分内容是高中数学课程中一些内容的延伸。本系列
课程的目的是,在其他课程的基础上为学生奠定进一 步学习和发展的基础,帮助学生进一
步加深对一些重要数学思想和方法的理解和掌握。

对于D,E,F系列选修课程的学习,应提倡多样化的学习方式,可以是教师讲授,也
可以是在教师指 导下学生自主探索学习,还应鼓励学生独立的阅读、写读书报告等。力求
使学生切身体会“做数学是学习 数学的最好方法”,独立思考是做数学的核心。在教学中,
应鼓励学生学会提出问题,善于提出问题、思 考问题、解决问题,这是提高数学素养的重
要途径。

D系列课程

本系列课程包括数学史选讲、现实社会中的数学、中学数学思想方法、数学问题集锦
等专题。

数学史选讲

数学史对于比较全面了解和深刻认识数学本身,全面了解整个人类文明的 发展具有重
要意义。在本专题中,学生将通过生动、丰富的事例,概略地了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果,初步了解数学产生与发展的过程,体会数学对人类文明发
展的作用, 提高学习数学的兴趣,加深对数学的理解,感受数学家的严谨态度和锲而不舍
的探索精神。


内容与要求

1.早期算术与几何——计数与测量

◆纸草书中记录的数学(古代埃及)。

◆ 泥板书中记录的数学(两河流域)。

◆ 中国《周髀算经》、勾股定理(赵爽的图)。

◆ 十进位值制的发展。

2.古希腊数学

◆ 毕达哥拉斯多边形数,从勾股定理到勾股数,不可公度问题。

◆ 欧几里得与《几何原本 》,演绎逻辑系统,第五公设问题,尺规作图,公理化思
想对近代科学的深远影响。

◆ 阿基米德的工作:求积法。

3.中国古代数学瑰宝

◆《九章算术》中的数学(方程术、加减消元法、正负数)。

◆大衍求一术(孙子定理)。

◆中国古代数学家介绍。

4.平面解析几何的产生——数与形的结合


◆ 函数与曲线。

◆ 笛卡尔方法论的意义。

5.微积分的产生——划时代的成就

6.近代数学两巨星——欧拉与高斯

◆ 欧拉的数学直觉(欧拉公式)。

◆ 高斯时代的特点(数学严密化)。

7.千古谜题——伽罗瓦的解答

◆ 从阿贝尔到伽罗瓦(一个中学生数学家)。

◆ 几何作图三大难题。

◆ 近世代数的产生。

8.康托的集合论——对无限的思考

◆ 无限集合与势。

◆ 罗素悖论与数学基础(哥德尔不完备定理)。

9.随机思想的发展

◆ 概率论溯源。

◆ 近代统计学的缘起。


10.算法思想的历程

◆ 算法的历史背景。

◆ 计算机科学中的算法。

11.中国现代数学的发展

◆ 现代中国数学家发奋拼搏,赶超世界数学先进水平的光辉历程。

说明与建议

1.本专题不必追求数学发展历史的系统性和完整性,通过学生喜闻乐见的语言与生动
有趣的事例呈现 内容,使学生体会数学发展的轨迹和重要思想。本专题的内容安排与教学
可以采取多种形式,既可以由古 到今,追寻数学发展的历史;也可以从现实的、学生熟悉
的数学问题出发,追根溯源,回眸数学发展中的 重要事件和人物。例如,可以从“我们现
在有多少种记数方法”出发,追溯历史上的记数法(巴比伦的6 0进位、英国的12 进位、
计算机的二进位以及合理的10进位、二进位与中国的八卦)。又如,可以 从学生熟悉的π
入手,漫谈祖冲之的成果,用随机数方法计算π,介绍古希腊和中国古代如何对待无理数 、
目前计算机可以算π到小数点后多少位等问题。

2.以上所提供的内容仅仅是一种 选择,本专题内容的安排与教学可以根据具体情况,
作适当调整。内容应突出所蕴涵的思想性,突出数学 发展的轨迹、科学发展的轨迹,突出
数学家刻苦钻研的科学精神;要符合学生的接受水平,呈现应图文并 茂、丰富多彩,引起
学生的兴趣。

3.教学方式应灵活多样,可采取讲故事、讨论交 流、查阅资料、撰写报告等方式进行。
教师应鼓励学生对数学发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件与 人物,写出自己的研究


报告。

现实社会中的数学问题
数学是一门应用广泛的科学。数学不仅是自然科学、人文社会科学研究的有力工具,
而且为自然科学 、人文社会科学的研究提供了方法论的指导,促进了自然科学的重大发现。
由于计算机的出现,数学已不 仅是一门科学,还是一种普遍适用的技术,从日常的管理到
大型的工程设计,从对原子的研究到对宇宙的 探索等无不受惠于数学技术,数学技术直接
促进了社会的发展。另外,数学在日常生活中的应用也日益广 泛,人们常常利用数学的知
识、思想与方法去分析和解决日常生活中的一些问题。如今,数学几乎渗透到 社会的每一
个领域,数学与现实社会的关系日益密切,数学的作用日益凸现。

通过本 专题的学习,学生将认识数学的广泛应用,体会数学对社会发展的促进作用,
社会发展对数学发展的推动 作用,感受到数学无处不在,对每个人都有用,每个人都可以
用。

内容与要求

1.日常社会生活中的数学举例

(1)彩票中奖与概率。

(2)产品验收与抽样。

(3)风险大小与概率。

(4)广告中的数据与可靠性。

(5)商标设计与几何图形。


(6)超市里的购买清单与矩阵。

(7)销售打折中的数学。

(8)试验田的安排与优化。

(9)代表名额分配与数学悖论。

(10)楼梯开关与数学。

(11)喷水的重叠面积与最值。

(12)艺术中的数学。

2.数学与社会发展

(1)电视与数学(信息论和数据压缩)。

(2)密码与数学(黑客攻击)。

(3)乘飞机与数学(控制论)。

(4)CT扫描(拉东变换)。

(5)国际关系(军事科学)与数学。

(6)金融危机与金融数学。

(7)流水线的数学模型。

(8)分形的构造与探索。


说明与建议

1.以上 所提供的内容仅仅是一种选择,本专题内容的编写与教学可以根据具体情况,
作适当调整。
< br>2.对于日常生活中的数学实例的教学,教师应该充分利用学生已有的生活经验及数学
知识,引导 他们分析日常生活中的问题,并尝试运用所学知识加以解决,提高他们应用数
学的意识。教师还可以根据 学生的实际情况,选择某些案例作较详细讨论,鼓励学生独立
地或相互合作地提出解决方案。

3.数学与社会发展的一些内容涉及到数学与科学技术等领域的有关知识,所以应主要
通过科普 介绍、学生阅读、叙述真实故事等方式进行教学,对相关专业知识不宜展开,以
免给学生的学习造成困难 。

4.通过师生之间、学生之间的探索、讨论,并在查阅有关资料的基础上,鼓励学生自己总结数学在自然科学、科学技术、社会与日常生活中的作用,并尝试写出自己对这种作
用的认识。

5.内容的选取应该注意实用、有趣,符合学生的接受水平。由于本部分内容涉及到现
代科学的发展,因此教材应采用直观,形象、简洁的语言,避免引入过多的专业术语。例
子既要尽可能 真实, 又必须浅显易懂。

6.教材呈现方式应多样化。如通过故事,设立问题情境,提供资 料来源让学生自己收
集素材等,生动有趣地呈现内容,提高学生的学习兴趣。部分专题应该具有可操作性 ,能
够让学生尝试完成。


中学数学思想方法

数学 思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略。数学思想方法是以具体数学内
容为载体,是学习数学的 指导思想和普遍适用的方法。

在以往的数学学习中,学生已对数学思想方法有所体会和运用, 通过本专题的学习,
学生将较系统地理解中学数学思想方法,加深对数学知识的理解;通过揭示知识间的 内在
联系,不断提高对数学整体的认识;逐步养成良好的数学地思考问题的方式和习惯,提高
思 维水平;把知识的学习与能力的培养、智力的发展有机地统一起来,更有利于终身学习
和发展;最终达到 学会学习和提高自身数学素养的目的。

本专题的内容分为三个层次:一是一般科学方法在数学 中的运用,如:观察、实验、
分析、综合、归纳、类比等思想方法。二是数学中常用的数学思想方法,如 :数形结合的
思想方法;符号化、形式化的思想方法;分类的思想方法;数学证明方法;化归的思想方< br>法等。三是中学数学课程中涉及的各种特有的数学思想方法,如:变量、函数、映射的思
想方法; 几何变换的思想方法;统计的思想方法、算法的思想等。

内容与要求

1. 通过对已学知识的回顾总结,以及新的数学内容的学习活动,初步掌握观察、实验、
分析、综合、归纳、 类比等思想方法。

2.通过对已学知识的反思回顾、提炼概括和对新问题解决的探究,掌握数 形结合的思
想方法;初步理解符号化、形式化、分类、数学建模、公理化等数学思想方法在数学中的意义和作用。理解证明的意义和作用,掌握基本的数学证明方法。认识和理解化归是数学
解决问题的 基本思想方法,通过从现实物体到几何图形,从数、式的发展等内容,初步理
解抽象是数学化活动的一般 方法。


3.通过对已学知识的反思回顾和新内容的学习,认识和理解变量、函 数、映射的思想
方法;几何中的平移、旋转、反射、相似等变换的思想方法,统计的思想方法,概率中必
然与偶然之间的辩证关系;极限的思想方法,有限与无限的辩证关系和算法的思想。

说明与建议

1.以上列举的是中学常用的思想方法,教师可以根据实际情况进行调整与补充。

2 .数学的基本知识和数学思想方法是数学知识体系的两个不同层次,它们是相互联系、
相互依存且协同发 展的。数学知识既是运用数学思想方法解决问题的依据,又是解决问题
的结果。数学思想方法是通过数学 知识体现出来的。因此,教师在教学中应把握好两者之
间的有机联系和区别。

3.在 学生对数学思想方法有一定体验的基础上,通过对已学内容的回顾和新内容的学
习,可以使学生进一步领 悟其中的思想方法,提升对相关的数学思想方法的认识。例如,
可以以各类方程、不等式的求解为线索, 介绍化归的思想方法;通过回忆平面解析几何的
内容及从数转化为形、从形转化为数的问题解决中介绍数 形结合的思想方法。

4.教师应鼓励学生参与到学习活动中,通过自己的思考体会相应的数学 思想方法。教
学时可采用阅读、小组合作讨论和主题报告会等形式进行。

5.结合本 专题的内容和学习特点,教师应注意引导学生养成勤于思考的学习习惯,学
会提炼概括、归纳总结的学习 方法,最终达到提高洞察事物、寻求联系、解决问题的思维
品质和各种能力。

6.要 以恰当的素材为载体编写中学数学思想方法的专题,体现相应的数学思想方法,
并且要尽可能避免简单的 “帽子+例子”的现象。内容与素材应尽可能的丰富多样,不要作


成单纯的解题研究。专 题内容要符合学生的接受水平,可结合数学史料和数学家的发现创
造过程,应体现数学思想方法的形成和 发展过程。

7.评价学生对数学思想方法的理解和掌握,可以通过师生之间、学生之间的交流 、探
索、提炼和概括等学习活动进行,关注学生对数学思想方法在数学学习和问题解决中的作
用 、意义的认识。

数学问题集锦

数学是一门古老、又常新的学科,问题是促 进数学发展的源泉和动力。从古至今,有
着极其丰富的、有趣的数学问题,这些问题中孕育着深刻而丰富 的数学思想,随着对这些
问题的探索和深入,产生了一个又一个新的数学分支,推动了数学的发展及其在 其他领域
的应用。

本专题将通过一些有趣的数学问题,丰富学生对数学的情感,体会 其中蕴涵的数学思
想方法,增强数学学习的兴趣。

参考选题

1.素数问题

2.二进制与计算机

3.黄金分割引出的数学问题

4.与极限有关的问题

5.有关方程的问题


6.关于圆周率——π

7.拓扑学的产生(哥尼斯堡七桥问题——一笔画、绳结问题、莫比乌斯带与克莱因瓶)

8.对称——近世代数学

9.多边形剖分问题

10.三大不可能的作图问题——数域扩充

11.分形

12.天的可靠性

说明与建议

1.以上所提供的内容仅仅是一种 选择,本专题内容的编写与教学可以根据具体情况,
作适当调整。

2.对于数学问题 的教学,教师应该充分利用学生已有的生活经验及数学知识,通过具
体问题的背景介绍,引导学生尝试探 索,并给予适当的指导,引导学生通过独立思考、合
作交流等形式进行本专题的学习。不要将此专题的教 学变成解题的教学。

3.数学问题往往孕育着数学思想方法,通过本专题的学习力求激发学生 学习数学的兴
趣,丰富学生对数学的情感,并通过学生的尝试活动体会其中蕴涵的数学思想方法。

4.内容的选取应该注意趣味性、符合学生的接受水平、体现数学的文化价值。由于本
部分 内容涉及到数学的分支及其发展,因此本专题内容的编写应直观、形象,避免引入过
多的专业术语。


E系列课程

本系列课程包括优选法、统筹法、风险与决策、数 字电路设计与代数运算等专题。下
面提供优选法、统筹法两个专题的具体要求和建议。

优选法

优选问题在日常生活和生产经营中经常出现。“优选法”自60年代在着名数 学家华罗
庚亲自组织推广以来,在全国各行各业得到了广泛的应用,取得了大量的成果。
优化方法是数学研究中的重要领域之一。随着信息技术的高速发展,优化方法的应用
越来越广泛,优 化思想已渗透到社会生活的方方面面。因此,高中数学课程中引入“优选
法”,使学生通过丰富生动的案 例,了解基本的优化思想,掌握简单的优化方法是非常必要
的,也是可行的。

学生通过“优选法”案例的学习,将在以下方面得到提高:

----产生学习数学的兴趣,树立学好数学的信心;

----开阔视野,认识数学的应用价值和社会价值;

----了解基本的优化思想、掌握简单的优化方法,体会理论与实践相结合的重要性;

----运用所学知识分析问题、解决问题的能力;

----完成一系列有生活背景的练习题和上机操作,发展实践能力。

内容与要求

1.“优选法”教学将通过丰富生动的生活案例引出一些优选问题,为解决这些问题提

< br>出一系列优选方法。学生将结合具体实例加深对优选问题、优选方法的理解;通过对具体
问题的分 析,初步掌握优选的思想和性质以及简单的优化方法;在可操作的实际问题情境
中能通过练习,提高解决 优化问题的能力。

2.学习本课程所需要的知识基础:函数、集合、不等式、分数、几何等。

3.重点学习单因素、单峰函数的优选方法,涉及一点多因素、多峰函数的优选方法,
介绍一些扩展的优化问题和方法,拓展学生的视野。具体来说,可以涉及以下内容:

(1)优选问题案例;

(2)优选法的基本概念和思想;

(3)对分法案例;

(4)分数法案例;

(5)黄金分割法(0.618法)案例;

(6)瞎子爬山法案例;

(7)多因素优选问题简介。

统筹法

统筹法是1964年由我国着名数学 家华罗庚教授提出的,是一种统筹兼顾、全面安排一
次性独特工作任务的科学管理方法。在现代项目管理 理论中,统筹法是最重要的基本方法
之一。美国的阿波罗登月计划、海湾战争后科威特油田的灭火、我国 的三峡工程,都应用
了统筹法。维修一台设备、盖一栋房屋、开发一个新软件,也都要用到统筹法。


设置本课程的目的,是将图与网络的基本概念,结合统筹法案例,作为一个新的知 识
引入到高中数学课程中,帮助学生开阔眼界,了解一种新的思维模式,并学习一套能够系
统分 析和处理大量实际问题的有效方法。

学生通过案例的学习,将在以下方面得到提高:

——产生学习数学的兴趣,树立学好数学的信心;

——开阔视野,认识数学的应用价值和社会价值;

——了解基本的统筹思想、掌握简单的统筹方法;

——运用所学知识分析问题、解决问题的能力。

内容与要求

1.“统筹法 ”教学将通过丰富生动的生活案例引出一些统筹问题,为解决这些问题提
出图、网络等概念。学生将结合 具体实例加深对统筹思想和方法的理解,并尝试解决一些
简单的具有实际背景的问题。

2.可以涉及以下内容:

(1)统筹问题,统筹法的基本概念;

(2)统筹图实例,统筹图的绘制方法;

(3)工作分解结构;

(4)CPM(确定型时间参数);


(5)PERT(非确定型时间参数);

(6)编制项目计划;

(7)项目时间管理问题;

(8)项目成本管理问题;

(9)时间——成本优化问题。

F系列课程

本系列课程包括几何 证明、不等式、参数方程与摆线、矩阵与变换、数列与差分、图
论初步、球面几何与欧拉公式、整除与孙 子定理、对称与群、分形的构造与探索等专题。
下面提供几何证明、参数方程与摆线、矩阵与变换、数列 与差分、整除与孙子定理、分形
的构造与探索6个专题的具体要求和建议。

几何证明

几何证明有助于培养学生的逻辑推理能力,在几何证明的过程中,不仅是逻 辑演绎的
程序,它还包含着大量的观察、变换、探索、发现的创造性过程。本专题从复习相似图形
的性质入手,证明一些反映圆与直线关系的重要定理,并通过对圆锥曲线性质的进一步探
索,提高学生 几何直观的能力和运用综合几何方法处理解决问题的能力 。

内容与要求

1.复习相似三角形的定义与性质,了解平行切割定理,证明直角三角形射影定理。

2.证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。


3.证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
< br>4.了解平行投影的含义,通过圆柱与平面的位置关系,体会平行投影;证明平面与圆
柱面的截线 是椭圆(特殊情形是圆)。

5.展示平面截圆锥面的情景,体会下面定理:

定理:在空间中,取直线
l
为轴,直线
l


l
相 交于
O
点,其夹角为
α

l

围绕
l
转得到以
O
为顶点,
l

为母线的圆锥面,任取平面π ,若它与轴
l
交角为
β
(π与
l
平行,

β
=0),则:

(1)
β

α
,平面π与圆锥的交线为椭圆;

(2)
β

α
,平面π与圆锥的交线为抛物线;

(3)
β

α
,平面π与圆锥的交线为双曲线。

6.利用Dandelin双球(这两个球位于圆锥的内部,
于平面π的上方,一个位于平面的下方,并 且与平面π
均相切)证明上述定理(1)情况。

一个位
及圆锥
7. 试证明以下结果:①在6中,一个Dandelin球与圆锥
面的交线为一个圆,并与圆锥的底面平行, 记这个圆所在平面为π

;②如果平面π与平面
π

的交线为
m
,在5(1)中椭圆上任取一点
A
,该Dandelin球与平面π的切点为
F
,则点
A
到点
F
的距离与点
A
到直线
m
的距离比是小于1的常数
e
。(称点F为这个椭圆的焦点,
直线
m< br>为椭圆的准线,常数
e
为离心率。)

8.探索定理中(3)的证明, 体会当
β
无限接近
α
时平面π的极限结果。


说明与建议

本专题的编写与教学,都应力求深入浅出。Dandel in两球的证明方法中,孕涵着丰富
的数学思想方法,有助于学生体会直观思维在解决问题中的作用,提 高学生综合运用几何
知识解决问题的能力。教学时,教师应鼓励学生独立思考,主动尝试、探索,必要时 要给
予适当的指导,并应鼓励学生写出课题报告,尽可能清晰地表达自己的思考过程与论证过
程 。

教师也可以利用现代计算机技术,动态地展现Dandelin两球的方法,以帮助学生进 行
直观思维。

参数方程与摆线

物理学中的物体运动方程,在数 学上就是参数方程。参数方程对于解决实际问题具有重
要意义。本专题将介绍参数方程的基本概念,给出 参数方程的一个重要实例——摆线。摆
线是一类十分重要的曲线,可以分为平摆线、圆摆线、渐开线三大 类。我们常见的大部分
曲线都可以看成是摆线的特例,如星形线、心脏线、阿基米德螺线、玫瑰线等等。 摆线也
是很有用的一类曲线,如最速降线就是平摆线;工厂中常用的齿轮通常是渐开线或圆摆线;
公共汽车的两折门利用了星形线的原理。再如像收割机、翻土机等许多农业机械和工厂中
的车床等,大 都采用的是摆线原理。而且,摆线在天文中也有重要应用,行星相对地球的轨
迹、月亮相对太阳的轨迹都 可以看作是摆线。

本专题主要内容是参数方程与摆线,摆线可以利用向量方法通过参数方程表 示出。因
此本专题可以看成是“解析几何初步”“平面向量”“三角函数”等内容的综合应用和进
一步深化。本专题首先介绍了曲线的一般表示方法,阐述了坐标系的类型和曲线方程的表
现形式。这些 内容是“解析几何初步”等内容的补充和完善,也是摆线内容的必备基础。


通过对本专题 的学习,学生将掌握参数方程的基本概念,了解曲线的表现形式,体会从实
际问题中抽象出数学问题的过 程,培养探究数学问题的兴趣和能力。通过对天体轨道方程
的学习和对摆线应用的了解,学生将体会到数 学在实际中的应用价值,提高应用意识和实
践能力。通过对摆线的探索,学生将树立辨证统一的观点,提 高数学抽象能力,发展创新
精神。

内容与要求

1. 参数方程

(1)坐标与曲线方程

(2)曲线的一般方程

——隐式方程;

——参数方程;

——参数化与隐式化简介。

(3)特殊的参数方程

(4)参数方程的参数变换

①回顾直角坐标系的概念, 回顾(显式)曲线方程实例,比如抛物线
y
=
x
2
等。
< br>②给出曲线的显式、隐式和参数方程的定义,说明显式方程是隐式方程的特例,并通
过实例(如圆 等),指出隐式方程和参数方程才是曲线的一般方程,介绍隐式方程和参数方
程各自的优缺点,说明参数 化与隐式化的作用。通过参数变换举例说明,同一曲线可以利


用不同的参数来建立不同形 式的参数方程,并指出常用的参数形式(如时间、转角和弧长等
等)。

③特殊参数方程举例,参数变换简介。

2. 平摆线与圆的渐开线

(1)平摆线(“圆”在“直线”上滚动)

——标准平摆线;

——变幅平摆线;

——平摆线的用途。

(2)渐开线 (“直线”在“圆” 上滚动)

——标准渐开线;

——变幅渐开线;

——渐开线的用途。

①介绍标准平摆线的实际 背景(如前进中的自行车,车轮上偶然所粘的糖纸在空中画出
的曲线,就是标准平摆线),利用平面向量 方法建立标准平摆线参数方程。

②介绍变幅平摆线的实际背景(如前进中的自行车,车轮幅条 上一点或车轮气嘴在空中
画出的曲线,就是短幅平摆线; 如在火车前进时,紧扣在铁轨上的车轮的外边沿上的一点
在空中画出的曲线就是长幅平摆线)。 指出若 考虑幅长变化,则可以将标准平摆线推广为
变幅平摆线。变幅平摆线可作为学生作业或探究题材,要求学 生建立平摆线的一般方程。


③指出渐开线的几何意义及渐开线与平摆线的对应 性质,利用平面向量方法建立标准
渐开线的参数方程。可将变幅渐开线的内容作为学生作业或探究素材, 要求学生建立渐开
线的一般方程。对渐开线与平摆线对应关系的探究,也可作为小科研活动的课题。
④介绍平摆线与渐开线的用途,如最速降线就是平摆线,齿轮的咬合可以利用渐开线
等等 。这些应用的数学证明可以作为阅读材料给出。“探究最速降线的用途”等题材,可
以作为小科研活动的 课题。

3. 圆摆线的概念

(1)外摆线 (两圆外切,“动圆”在“静圆”上滚动)

(2)内摆线 (两圆内切,“小圆”在“大圆”内滚动)

(3)环摆线 (两圆内切,“大圆”在“小圆”外滚动,类似呼啦圈的转动)

(4)圆摆线的对偶关系

①给出外摆线的定义,直接导出变幅外摆线的一般方程。讨 论具体的外摆线(如心脏
线等),尝试通过改变两圆半径比和改变幅长,构造和探索各种外摆线。

②给出内摆线与环摆线的定义,指出外摆线、内摆线与环摆线的概念是依据生成方式
给出的 。利用图示法说明外摆线的一般方程,也适用于内摆线与环摆线,因此是圆摆线的
一种统一方程(圆摆线 统一方程Ⅰ——以转角为参数)。

③利用统一方程,讨论和探索具体的圆摆线(如星形线、玫 瑰线都是内摆线,心脏线可
以用环摆线表示等),尝试通过改变两圆半径比和改变幅长,构造和探索各种 圆摆线。直角
坐标系与极坐标系下,特殊曲线的不同表示可以作为学生的探究课题。


④利用圆摆线的统一方程,通过代数变换导出对偶方程与对偶关系,举例说明对偶关
系的 几何意义。进而说明内摆线的对偶还是内摆线,外摆线与环摆线互相对偶。有条件的
学校可以利用计算机 来动态演示对偶现象。

4. 圆摆线与天体运行轨道

(1)理想模型——天体运行方程

(2)等效形式——天体轨道方程 (同转轨道、异转轨道)

(3)方程的统一性质(圆摆线统一方程Ⅱ——以时间为参数)

——分类对应 (由天体角速度决定:外摆线、内摆线、环摆线);

——变幅关系 (由天体线速度决定:标准、长幅、短幅)。

(4)方程的对偶性质

——对偶方程的表现形式;

——对偶关系 (内摆线与内摆线对偶,外摆线与环摆线对偶)。

①给出太阳、地球、月亮系统的理想模型, 指导学生导出月亮的运动方程,即天体运
行方程。并介绍地心说、日心说和开普勒的椭圆轨道模型。
②利用曲线参数变换,通过简化天体运行方程,给出天体轨道方程。并根据方程性质,
给 出天体轨道方程的分类。

③介绍天体轨道方程的统一性,说明天体轨道方程就是摆线的统一方 程;给出其与内
摆线、外摆线、环摆线的对应关系; 并给出具体的对偶关系。圆摆线统一方程Ⅱ的推导 ,


可以作为学生小科研活动的课题。

④让学生观察天体轨道方程的对 称性,推测轨道方程存在对偶表示;借助几何直观及
平行四边形的性质,想象此时对偶模型新的几何形式 。最后,通过代数变换导出对偶方程,
此内容也可作为学生小科研活动的课题。

⑤作 业或可选探究课题:讨论特殊曲线在圆摆线统一方程Ⅱ下的具体表示,观测行星
运动的摆线行为,设计绘 制摆线的机械装置。

附录一:摆线的应用选题

(1)最速降线是平摆线

(2)椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘

(3)圆摆线齿轮与渐开线齿轮

(4)收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计

(5)星形线与公共汽车门

(6)行星运动轨道的探索

这些选题可以作为选读材料,或作为课后探究和数学建模的题材。

附录二:摆线的统一方程

(1)圆摆线的弧长参数统一方程(圆摆线统一方程Ⅲ——以弧长为参数)

(2)摆线(平摆线、圆摆线、渐开线)的统一方程 (大统一方程)


①此处内容可以作为选读材料,或作为课后探究与数学建模的题材。圆摆线(外摆线、
内摆线、环摆线 )的统一方程称为小统一方程,一般摆线(平摆线、圆摆线、渐开线)的统
一方程称为大统一方程。
②圆摆线的统一方程Ⅲ可以由统一方程Ⅰ经简单变换后直接得到。大统一方程可以由
小统 一方程(统一方程Ⅲ)经简单的坐标水平平移而得到。平摆线、渐开线是大统一方程
的极限状态。

说明与建议

(1)参数方程是本专题的主要工具,本专题的核心内容是利用参数 方程学习、探索摆
线的性质和作用。首先要说明曲线的表示方法,介绍坐标系的分类(直角坐标系、极坐 标系)
和曲线方程的三种形式,解释它们的关系。这也是对以前所学内容的补充。

( 2)关注学生对已有的平面向量、三角函数等知识的运用,鼓励学生自主建立曲线方
程,加强对学生自主 探究方面的训练。以平摆线、渐开线作为摆线的基础,以圆摆线为核
心,以天体运行为应用,以特殊方程 为实例,注重摆线的实际背景,建立摆线的统一方程,
了解摆线的性质,探索摆线的用处。
< br>(3)注意曲线可以通过选择不同的参数,建立不同形式的参数方程,体会不同参数在
建立曲线参 数方程时的作用。圆摆线的三种小统一方程中,小统一方程Ⅱ(即天体轨道方
程)最为优美,在表述曲线 的分类关系、变幅关系和对偶关系时也最为简洁。

(4)可以在学生中成立摆线兴趣小组,组 织学生在数学探究、实际应用、计算机探索
等三个方面展开课外活动。


矩阵与变换

矩阵是研究向量变换的基本工具,有着广泛的应用,许多 数学模型都可以用矩阵来表
示。

本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及 性质、逆矩阵和矩阵的特征向量
等概念,并以变换和映射的观点说明线性方程组解的意义,初步展示矩阵 应用的广泛性。

内容与要求

1.引入二阶矩阵

2.二阶矩阵与平面向量(列向量)的乘法、平面图形的变换

(1)以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。

(2)证明矩阵变换把平面上的直线变成直线,即证明


A(
?
1
?
?
?
2
?
)?
?
1
A?
?
?
2
A
?


????
(3)通过大量具体的矩阵对平面上给定图形(如正方形)的变换,认识到矩阵可表示
如下的线性变换: 恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。

3.变换的复合——二阶方阵的乘法

(1)通过变换的实例,了解矩阵与矩阵的乘法的意义。

(2)通过具体的几何图形变换,说明矩阵乘法不满足交换律。

(3)验证二阶方阵乘法满足结合律。


(4)通过具体的几何图形变换,说明乘法不满足消去律。

4.逆矩阵与二阶行列式

(1)通过具体图形变换,理解逆矩阵的意义;通过具体的投影变换,说明逆矩阵可能
不存在。

(2)会证明逆矩阵的唯一性和 (
AB
)
-1
=
B
-1
A
-1
等简单性质,并了解其在变换中的意义。

(3)了解二阶行列式的定义,会用二阶行列式求逆矩阵。

5.二阶矩阵与二元一次方程组

(1)能用变换与映射的观点认识解方程组的意义。

(2)会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。

(3)会通过具体的系数矩阵,从几何上说明方程组解的存在性,唯一性。

6.变换的不变量

(1)掌握矩阵特征值与特征向量的定义,能从几何变换上说明特征向量的意义。

(2)会求二阶方阵的特征值与特征向量(只要求特征值是二个不同实数的情形)。

7.矩阵的应用

(1)利用矩阵
A
的特征值、特征向量给出
A
?
简单的表示,并能用它来解决一个实
际问题。

n
?
(2)了解矩阵在图论等其他方面的应用。

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