普通高中数学课程标准(2017年版)概率与统计 几何与代数内容的比较

概率与统计内容的比较
??

必修课程
《修订》
主题四统计与概率；统计（数据与基本概念、
抽样、统计图表、用样本估计总体）、概率
（随 机事件与概率、随机事件的独立性）
（18课时）
选修Ｉ主题统计与概率：计数原理概率（ 随
机事件的条件概率、离散型随机变量及其分
布列、正态分布）、统计（成对数据的统计
相关性、一元线性回归模型）（26课时）?
《实验》??
统计（随机抽样、用样本估< br>计总体、变量的相关性）、概
率（随机事件与概率、概率
计算公式、几何概型）
（24课时）???????
选修1-2统计案例（14课
时）、
选修2-3计数原理（14课
时）、
统计与概率（22课时）、
??
限定选修课
程
任意选修课
程
选修ＩＩ：A课程统计与概率（连续 型随机系列4：优选法与试验设计
变量及其分布、二维随机变量及其联合分初步、风险与决策????
布、参数估计、假设检验、二元线性回归模
型）、B课程应用统计（连续型随机变量及
其分布、二维随机变量及其联合分布、参数
估计、假设检验、聚类分析）、C课程社会
调查与数 据分析????





（社会调查概论、化会调查方案设计、??

抽样设计、社会调查数据分析、社会调??
査数据报告、社会调査案例选讲）??

一、概率与统计内容体系编排比较??
我们可以从纵向和横向两个角度对《修订》与《大纲》 中＂概率与统计＂内容结构的设置
做个比较：纵向比较：①《修订》必修课程中＂概率与统计＂相关内容 主要有统计（数据与
基本概念、抽样、统计图表、用样本估计总体）、概率（随机事件与概率、随机事件 的独立
性）組成。选修课程由限定选修课程和任意选修课程组成。其中限定选修课程有计数原理、
概率（随机事件的条件概率、离散型随机变量及其分布列、正态分布）、统计（成对数据间
的相关性、 一元线性回归模型）。其中任意选修课程由A课程统计与概率（连续型隨机变量
及其分布、二维随机变量 及其联合分布、参数估计、假设检验、二元线性回归模型）、B课
程应用统计（连续型随机变量及其分布 、二维随机变量及其联合分布、参数估计、假设检验、
聚类分析、正交设计）、C课程社会调查与数据分 析（社会调查概论、社会调查方案设计、
抽样设计、社会调查数据分析、社会调查数据报告、社会调査案 例选讲）组成。??
②《实验》必修课程中概率与统计相关内容主要由必修课程组成和选修课程组成。 其中必
修课程有数学3统计（随机抽样、用样本估计总体、变量的相关性）、概率（随机事件与概
率、古典概型及概率计算公式、几何概型）。选修课程由限定选修课程和任意选修课程组成。
其中限定 选修课程有选修1-2统计案例（14课时）和选修2-3计数原理（基本计数原理、排

列与姐合、二项式证明）、概率（离散型随机变量、二项分布、直方图）、统计案例组成。任
意选修课程 主要有风险与决策、优选法与试验设计初步组成。
经过比较可知，《实验》与《修订》在＂概率与统计 ＂必修课程内容中均含有统计和
概率相关内容，而选修课程中概率内容只有《修订》和《实验》理科选修 课程中才有。此次
《修订》取消文理分科后，文理科在必修课程和选修课程均要学习概率等相关内容，说 明概
率内容得到了进一步的重视。同时，《修订》在任意选修课程新増加了统计与概率的相关选
修课程。《实验》在任意选修课程尽管也有优选法与试验设计初步、风险与决策这类属于统
计与概率范畴 的内容，但是其旨在培养学生的数学视野。《修订》这一内容更多的是与大学
数理统计类课程相衔接。? ?
除此之外，《实验》中计数原理这一内容是选修2-3的内容，是理科生学习的内容，
文科 生不需要学习这部分內容。而《修订》中这一内容作为选修Ｉ的内容，取消文理文科意
味着文理科巧要学 习这部分内容。横向比较：在《实验》统计部分变量的相关性这一内容为
必修课程，在《修订中》将这一 内容调整为选修Ｉ的内容，同时将必修课程内容中随机事件
的独立性内容调整到选修课程中。《修订》中 选修Ｉ课程中含有统计、概率、计数原理内容，
而《实验》文科选修课程只有统计內容，这样说明文科生 学习概率与统计这一领域内容增多。
二、课时安排比较??
纵向比较：与《实验》相比，《 标准》中课时的变化：必修的课时由24课时减少到18
课时。对于选修课程来说，《实验》文科选修课 时为14课时，理科选修课时为36课时，而
《修巧》选修课时为26课时。可见，＂统计与概率＂内容 部分《修订》选修课程课时比《实
验》文科选修课程课时増多了?口课时，而比《实验》理科选修课程减 少了10课时。??
横向比较：《修订》文理科总课时为44课时，《实验》文科总课时为38课时，
《实验》理科总课时为60课时。??
三、“概率与统计”课程广度变化比较
《修 订》与《实验》相比，统计与概率在课程内容广度有所增加。课程内容广度增加的主要
原因是增加了一些 供不同发展方向学生选择的选修课程如应用统计、社会调查与数据分析，
统计与概率ＩＩ?（二维随机变 量及其联合分布、假设检验、参数估计、正交设计）等内容。
??统计与概率内容不仅在内容设置结构上 有变化，而且在具体要求上也有变化。《修订》
与《实验》相比，课程内容有增有减，其中统计内容广度 增加的内容有：（1）结合实例会用
一元线性回归模型进行预测；（2）掌握一元线性回归模型参数的最 小二乘估计方法；（3）会
使用相关的统计软件；（4）总体，样本，样本量的概念；（5）结合实例， 能用样本估计百分
位数；（6）理解百分位数的统计含义；（7）收集大数据发展资料，撰写论文，阐述 大数据研
究包含的内容、重要结果以及对当代社会发展的作用。这是新时代下人们对数学需求的变化，< br>因此很有必要需要去了解大数据的相关内容。
减少的内容有：（1）通过统计案例内容学习，了 解实际推断原理和假设检验的基本思想、方
法及初步应用；（2）通过统计案例内容学习，了解聚类分析 的基本思想、方法及初步应用；
（3）通过统计案例内容学习，进一步了解回归的基本思想、方法及初步 应用；（4）能从现
实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；（5）系统抽样方法。?? < br>在概率部分，増加的内容有：（1）贝叶斯公式；（2）知道条件概率与独立性的关系；（3）样
本点和有限样本空间的含义；（4）随机事件与样本点的关系。其中减少的内容有：（1）随机
数的意义 ；（2）能用模拟的方法估计概率；（3）体会凡何概型的意义；（4）通过误差模型了
解服从正态分布 的随机变量、均值和方差；（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过
程。?
在＂计数 原理＂部分，内容减少的有：根据问题的特征，选择分类加法原理或分步乘法原理
解决实际问题?

四、“概率与统计”课程内容深度的变化??
统计与概率部分，《修订》在这 一领域课程内容总体深度大于《实验》文科和理科课程内容
深度。在统计与概率各个领域平均内容深度大 于《实验》文科内容平均深度，小于《实验》
巧科内容平均深度。??
统计与概率内容总体深 度增加的原因是《修订》增加了供不同专业学生学习的统计与概
率课程导致相应课程内容深度增加。《修 订》之所以内容平均深度与《实验》发生变化，具
体原因是在各个内容要求要求上发生了变化。?? < br>??在统计部分，同一内容两版课标内容要求处理方式有很大的区别，如《实验》在变量的
相关性 具体内容要求为；（1）＂收集两个有关联变量的数据作出散点图，利用散点图直观认
识变量间的关系＂ 、＂经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。＂?《修订》变
量的相关性要求为：（1）?了 解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据
向量夹角的关系；结合实例，会通过相关系 数比较多组成对数据的相关性。
统计图表的要求；《实验》为＂学会列频率分布表、画频率分布直方图 、频率折线图、
茎叶图，并体会它们的特点＂，而《修订》为能够根据实际问题，理解扇形图、折线图、 频
数直方图、频率直方图等的差异，体会频率直方图在统计中的重要性，能够在不同情境中选
择 恰当的统计图表对数据进行可视化描述。???????
其中概率部分内容深度降低的有：（1）离散 型随机变量的概念由理解降低为了解；（2）
取有限值的离散型随机变量均值不仅要求理解和能计算，并 且能解决一些实际问题降低为理
解和计算；（3）n次独立重复试验的模型由理解降低为了解；（4）超 几何分布由理解降低为
了解，并且超几何分布导出过程也不要求。
内容处理方式不同的有：频 率这一内容在《实验》中要求为＂了解随机事件的不确定性
和频率的稳定性＂、知道概率的意义、频率与 概率的区别，在《修订》中只要求会用频率估
计概率。???
古典概型在《实验》中要求为＂ 理解古典概型及其计算公式，会用列举法计算一些随机
事件所含的基本事件数及事件发生的概率＂，而在 《修巧》中要求为结合古典概型，会利用
乘法公式计算概率；结合古典概型，会利用全概率公式计算概率 ；结合古典概型，利用独立
性计算概率。?
在计数原理中，内容要求降低的有；（１）＂用计 数原理推导排列数公式、?组合数公式，
并能解决简单的实际问题＂降低为＂仅利用计数原理推导排列数 公式、组合数公式＂

五、
2018
年高考试题赏析

?< br>1.
【
2018
全国一卷
3
】某地区经过一年的新农村建设， 农村的经济收入增加了一倍，实现
翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新 农村建设前后农
村的经济收入构成比例，得到如下饼图：


建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是

A
．新农村建设后，种植收入减少

B
．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C
．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D
．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

2.
【
2018
全国二卷
18
】下图是某地区
2000年至
2016
年环境基础设施投资额
y
（单位：亿
元）的折线图 ．


为了预测该地区
2018
年的环境基础设施投资额，建立了< br>y
与时间变量
t
的两个线性回
2，…，17
）建立模型归模型 ．根据
2000
年至
2016
年的数据（时间变量
t
的值依 次为
1，
?
??30.4?13.5t
；
2，…，7
）y
①：根据
2010
年至
2016
年的数据（时间变量
t
的值依次为
1，
?
?99?17.5t
．

建立 模型②：
y
（
1
）分别利用这两个模型，求该地区
2018
年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
本题以环境基础设施投资为背景，采用真实数据，在考查考生的概率统计知识的同时，重点
考查的是概率统计思想方法。试题的设计特点有：1）来源于真实情境，体现了数学与社会
生活的密切联系；2）采用真实数据，增强了试题情境的真实性和可靠性；3）试题没有要求
考生计算求解回归方程，而是直接给出了回归方程，减轻了数值计算的工作量；4）试题给
出两个模型，要求考生分析比较得出结论、阐明理由，体现了开放性。
3.【2018全国三 卷18】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产
任务的两种新的生产方式．为 比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成
两组，每组20人。第一组工人用第一种生 产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工
人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下 茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2） 求40名工人完成生产任务所需时间的中位数
m
，并将完成生产任务所需时间超
过m
和不超过
m
的工人数填入下面的列联表：

超过
m
不超过
m

第一种生产方式
第二种生产方式




（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
2附：
K?
n
?
ad?bc
?
2
?
a? b
??
c?d
??
a?c
??
b?d
?
，
P
?
K
2
≥k
?

0.050

0.010

k

0.001

3.841

6.635

10.828

本题的 第（1）问是开放性设问，考生可以根据茎叶图，从概率、平均数、中位数、分布特
征等角度分析回答问 题，参考答案给出了4 种理由，考生只要答出其中任意一种或者其他
合理的理由均可得分；第（2）问 要求考生计算，第（3）问要求运用严谨的统计方法分析并
得出结论。3问的设计非常完整，层层递进， 逻辑严谨，充分体现了试题的开放性和灵活性
未来概率统计类题目方向为在应用题中减少繁杂运算，采取“重心后移”策略，在题目
中根据 数据特点用合适的统计图表将数据呈现给考生，把考查重点后移到对数据的分析和理
解上，减少考生分析 整理数据的步骤，突出考查对数学思想的理解和运用能力。增加试题和
答案的开放性，鼓励考生从多角度 作答，引导数学教学从培养学生“解题”到“解决问题”，
引导学生从“做题”到“做人做事”素养的提 升。

几何与代数内容的比较

必修课程
《修订》
必修专题三几何与代数：平面向量与应用、
复数、立体几何初步（约44课时）


?选修Ｉ专题二：空间向量与立体几何、平
面解析几何（约44课时）



选修ＩＩ；?A课程（空间几何与代数）、
B课程（空间向量与代数）、 D课程（美与
数学、美术中的数学）

《实验》??
数学2：立体几何初步、平
面解析几何初步（36课时）
数学4：平面向量（12课时）
数学5：解三角形（8课时）
?选修1-1：圆锥曲线与方程
（12课时）
选修2-1；圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何（28课
时）????
选修系列3；欧拉公式与闲
曲面 分类、球面上的几何?
选修系列4；坐标系与参数
方程、几何证明选讲???
限定选修课
程
任意选修课
程
一、几何与代数内容体系编排比较
纵向比较：①《修订》必修课程中＂几何与代数＂相关内容主要有平面向量及应用（向
量概念、 向量运算、平面向量基本定理及坐标表示、向量应用）、复数（复数概念、复数的
运算、复数的；角表示 ）、立体凡何初步（基本立体图形、基本图形位置关系）。选修课程由
限定选修课程和任意选修课程组成 ，其中限定选修课程由空间向量与立体几何（空间直角坐
标系、空间向量及其运算、空间向量基本定理及 坐标表示、空间向量的应用）、平面解析几
何（直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程）组成。任意选 修课程由A课程空间凡何与
代数（空间向量代数、三阶矩阵与行列式、三元一次方程组、空间中的平面与 直线、等距变
换）、B课程空间向量与代数（空间向量代数、三阶矩阵与行列式、三元一次方程组）组成 。
②《实验》必修课程中几何与代数相关内容主要有立体几何初步（空间几何体、基本图形位
置关系）和平面解析几何初步（直线与方程、圆与方程、空间直角坐标系）、平面向量（平
面向量概念、 向量线性运算、平面向量基本定理及坐标表示、向量的数量砍、向量的应用）、
解三角形。《实验》文科 生限定选修课程由选修１－１圆锥曲线与方程（供文科生选择），选
修1-2数系扩充及复数的引入组成 ，理科限定选修课程由选修２－１圆锥曲线与方程和空间
向量与立体几何以及选修2-2数系扩充及复数 的引入组成。其中文理科选择学习的＂数系的
扩充与复数的引入＂内容完全相同。
横向比较： 《修订》与《实验》相比，调整了部分内容的学习顺序。比如平面解析几何部分
的内容是安排在《实验》 的必修课程中，而《修订》中平面解析几何的内容是在选修课程才
开始接触和学习。这样，可缓解必修课 程内容过程过多，难点内容过于集中问题。同时，将
《实验》必修课程中空间直角坐标的内容介绍也统一 安排在《修订》选修Ｉ空间向量与立体
几何中，送样使得空间向量的内容更具有连贯性，学生学习起来更 容易宏观把捏。《实验》
中，空间向量与立体几何这一内容是作为理科生选择学习的内容。此次《修订》 取消文理分
科，意味着空间直角坐标系、空间向量与立体几何这一内容是文理科共同学习的内容。同时，
《修订》将复数的相关内容调整到必修课程中，在调整之前这一内容是《实验》文理科均选
修的 选修课程。这样的做法合理的，因为高中数学必修课程具有基础性的特点，而复数的内
容学生在必修课程 学习更符合学生的认知特点，复数内容知识本身也是具有一定基础性。?
二、课时安排比较?
（1）纵向比较：与《实验》相比，《标准》中课时的变化：必修的课时由56课时减少到44

< br>课时。对于选修课程来说，《实验》文科选修１课时为１６课时，理科选修课时为32课时，
而《 修订》选修课时为44课时。尽管，《修订》与《实验》相比，必修课程课时数有所减少，
但是《修订》 选修课程课时数却比《实验》文、理科课时均要多。说明《修订》与《实验》
几何与代数领域的变化之一 ，减少必修课时，增加选修课时。??
?（2）横向比较：《修订》文理科总课时为88课时，《实验 》文科总课时为88课时，《实验》
理科总课时为98课时。总体来说《修订》几何与代数部分的课时数 来说接近《实验》文科
课时保持相同，但是要低于《实验》理科课时。??
二、课程内容广度变化比较?
总的来说，几何与代数课程整体内容广度要大于《实验》，因为 除了传统的高中数
学内容如平面解析几何、复数、立体几何初步等内容，《修订》还増加了与大学内容相
衔接的几何与代数相关选修课程，如增加将来步入大学学习不同专业的选修课程，主要
有A课程 供部分理工类学生选择的空间几何与代数内容，主要包括：空间量代数、三
阶矩阵与行列式、三元一次方 程组、空间中的平面与直线等内容。以及増加了B课程为
那些进一步学习经济、化学、生物、机械等学生 选择的空间向量与代数，主要有空间向
量代数、三阶矩阵与行列式、三元一次方程组等内容。如果不考虑 《修订》新增加的空
间几何与代数、空间向量与代数内容，《修订》中几何与代数内容与《实验》文科内 容
广度还是增加了，与《实验》理科内容广度相比降低了。?
《修订》立体几何部分增加的内 容有：（1）经历由平面向量的运算和运算规则推广
到空间向量的运算和运算规则的过程；（2）用向量 语言表述直线与直线、直线与平面、
平面与平面的夹角；（3）用向量方法解决点到直线、点到平面、相 互平行的直线、相互
平斤的平面的距离问题，并能描述解决这一问题的流程。
在立体几何部分 减少的内容有：（1）简单空间图形的三视图；（2）识别三视图所表
示的立体模型；（3）会用材料（ 如纸板）制作模型；（4）直观图与视图在空间图形上不
同的表示方式；（5）画某些建筑直观图和视图 ；（6）能用空间向量的数量积判断向量的
共线与垂直。????????
在解析几何部分减 少的有：（1）斜截式与一次函数的关系；（2）在平面解析几何学
习过程中，体会用代数方法处理几何 问题的思想。?
与《实验》理科选修2-1相比，减少的内容有：（1）经历从具体情境中抽象出抛物
线模型的过程；（2）用坐标法解决与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题；（3）在
圆锥 曲线的学习中，进一步体会数形结合的思想；（4）通过学过的曲线及其方程的实例，
了解曲线与方程的 对应关系。?
四、几何与代数课程内容深度上的变化???
《修订》在几何与代数课程内容 总体深度、平均深度上要大于《实验》文、理科相应课
程内容深度，主要是新增加了几何与代数相关选修 课程。除此之外，还有一些相同内容，在
内容深度上也有变化，具体如下：在“几何与代数”内容中，内 容深度提高的有：（1）了解
球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）提高为 知道球、棱柱、
棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，并能用公式解决简单的实际问题；（2）能用向 量方
法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用提高为
能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简
单夹角问题， 并能描述解决这一问题的流程，体会向量方法在研究几何问题中的作用；??
内容要求降低的有：与《 实验》理科相比，抛物线的定义、几何图形和标准方程及几何
性质由掌握降低为了解。??

3.
【
2018
全国二卷
9
】在 长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1中，
AB?BC?1
，
AA
1
?3
，则异面直线
AD
1
与
DB
1
所成角的余弦值为

1
55
2
A
．
B
．
C
．
D
．

5
65
2
2.【20 18全国一卷12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，
则α截此正方体所 得截面面积的最大值为
3
332332
B． C． D． < br>2
434
4.【2018全国三卷3】3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件 的凸出部分叫榫头，
A．
凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木 构件与某一带卯
眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是


7
，
SA
与圆
8
锥底面所成角为
45°
，若
△SAB
的面积为
515
，则该圆锥的侧面积为
___ _______
．

立体几何小题的重点内容——直线与平面的位置关系，重视对学科 主干知识的考查，在
突出考查考生空间想象能力的同时，也考查了考生的运算求解能力和逻辑推理能力。 立体几
何小题的解题过程不需要繁杂的计算，但要求考生有较强的分析问题和解决问题的能力，考
查考生的空间想象能力和空间图形的转化能力。需要考生灵活运用转化思想，抓住问题的本
质特征。这 类试题对提高思维的有效性，培养学生的核心素养发挥了积极的导向作用。
1.
【
2 018
全国二卷
16
】已知圆锥的顶点为
S
，母线
SA，
SB
所成角的余弦值为
1.【2018全国一卷18】如图，四边形
A BCD
为正方形，
E,F
分别为
AD,BC
的中点，以
DF
为折痕把
△DFC
折起，使点
C
到达点
P
的位置， 且
PF?BF
.
（1）证明：平面
PEF?
平面
ABFD
；
（2）求
DP
与平面
ABFD
所成角的正弦值.



?
所在平面3.【2018全国三卷19】如图，边长为2的正方形ABCD
所在的平面与半圆弧
CD

?
上异于
C< br>，
D
的点． 垂直，
M
是
CD
（1）证明：平面AMD⊥
平面
BMC
；
（2）当三棱锥
M?ABC
体 积最大时，求面
MAB
与面
MCD
所成二面角的正弦值．

第一问都主要考查直线与平面平行的判定，垂直的判定，均属简单题型，第二问中对立
体几何知识点的 考查，文科数学和理科数学的重点完全不一样。文科数学重点考查空间几何
体的体积问题，理科数学重点 考查夹角问题，以二面角为主，线面角也会考查，同时还会涉
及到空间几何体的体积问题，相对来说，理 科数学的第二问所考查的点更广。高考均衡考查
理科生的逻辑推理能力和空间想象能力，而对文科生重点 考查空间观念。
2018高考试题解析几何部分
x
2
?y
2?1
的右焦点为
F
，1.【2018全国一卷19】设椭圆
C:
过
F
的直线
l
与
C
交于
A,B
两
2
点，点
M
的坐标为
(2,0)
.
（1）当
l
与
x
轴垂直时，求直线
AM
的方程；
（2）设
O
为坐标原点，证明：
?OMA??OMB
.

2.
【
2018
全国二卷
19
】设抛物线
C：y< br>2
?4x
的焦点为
F
，过
F
且斜率为
k(k ?0)
的直线
l
与
C
交于
A
，
B
两点，
|AB|?8
．

（
1
）求
l
的方程；

（
2
）求 过点
A
，
B
且与
C
的准线相切的圆的方程．


x
2
y
2
?1
交于
A
，
B
两点，线段3.【2018全国三卷20】已知斜率为
k
的直线
l
与椭圆
C：?
43
AB
的中点为
M
?
1，m??
m?0
?
．
（1）证明：
k??
1
；
2
????????????
????
????
（2）设
F
为
C
的右焦点，
P
为
C
上一点，且
FP? FA?FB?0
．证明：
FA
，
FP
，
????
F B
成等差数列，并求该数列的公差．