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《普通高中数学课程标准-2017年版》中教学与评价案例选解
【案例1】传令兵问题
题目:有一支队伍长
L
m,以速度
v
匀速前进。排尾的传令兵因传达命令赶赴排头,到
达排头后立即返回,往返速度不变。回答下列问题:
(1)如果传令兵行进的速度为整个队伍行进速度的2倍,求传令兵回到排尾时所走的
路程;
(2)如果传令兵回到排尾时,全队正好前进了
L
m,求传令兵行走的路程。
【解析】(1)设传令兵从排尾到排头所需时间为
t
1
,返回到排尾所需时间为
t
2
,则
?
2v?t
1
?L+v?t
1
L
L
,解得
t
1
?
,
t
2
?
?<
br>2v?t?L?v?t
3v
v
22
?
所以传令兵往返共用时间
为
t?t
1
?t
2
?
LL4L
4L8
??
,往返路程为
2v??L
。
v3v3v
3v3
(2)设传
令兵的行进速度为
v
?
,传令兵从排尾到排头所需时间为
t
1
,返回到排尾所需时间
为
t
2
,则
?
?
v?
?t
1
?L+v?t
1
L
L
,解得
t
1
?
,
t
2
?
v<
br>?
?v
v
?
?v
?
v
?
?t
2
?L?v?t
2
LL2v
?
L
??
22
v
?
?vv
?
?vv
?
?v
所以传令
兵从排尾刻排头所需时间为
t?t
1
?t
2
?
队伍一共走的
时间为
t?
L
,所以有
v
2v
?
LL
22
??
,即
=
v?2v?v?v?0
,解得
v
?
?(2?1)v
22
v
?
?vv
所以传令兵往返
路程为
v
?
?t?(1?2)v?
【案例2】距离问题:
L
?(1?2)L
v
题目1.在数轴上,对坐标分别为
x
1
和
x
2
的两点
A
和
B
,如果定
义数轴上两
点间的“距离”
d(A,B)?x
1
?x
2
回答下面的问题:
(1)已知数轴两点
A
,
B
的坐标分别为
?3
和
2
,点
C
是数轴上任意一点,
则
d
?
A,C
?
?d
?
B,C
?
的最小值为
(2)设
A
和
B
两点的坐标分别为
?3
和2,点<
br>C
满足
第1页
d(A,B)?d
?
A,C<
br>?
?d
?
B,C
?
,则点
C
的坐标取值范围是
【解析】设
点C的坐标为
x
,则
(1)
d
?A,C
?
?d
?
B,C
?
=|x+3|?|x?2|<
br>
当
x??3
时,
d
?
A,C
?
?d
?
B,C
?
=?(x+3)?(2?x)??2
x?1??2??(3)?1?5
;
当
?3?x?2
时,
d
?
A,C
?
?d
?
B,C
?
=(x+3)?(2?x)?5
;
当
x?2
时,
d
?
A,C
?
?d
?
B,C
?
=
(x+3)?(x?2)?2x+1?2?2+1?5
。
所以
d
?
A,C
?
?d
?
B,C
?
?5
,当仅当
?
3?x?2
时取等号
从而,
d
?
A,C
?
?d<
br>?
B,C
?
的最小值为
5
说明:从上面解答可以看
出
d
?
A,C
?
?d
?
B,C
?
?d
?
A,B
?
(2)由(1)知:当且仅当当
?3?x?2
时,
d
?
A
,C
?
?d
?
B,C
?
=|x+3|?|x?2|=(x+
3)?(2?x)?5
,所以则点
C
的坐标取值范
围是
[?3,2]
题目2.对于平面内两点
A
(
x
1
,
y
1
)和
B
(
x
2
,
y
2
),定义两点间“直角距离”
为
d(A,B)?
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
,
(1)已知平面内两点的坐标分别为
A(1,2)
,
B(3,6)
,若点C
是平面任意一
点,则
d
?
A,C
?
?d?
B,C
?
的最小值为
(2)已知平面
内两点的坐标分别为
A(1,2)
,
B(3,6)
,若点
C
满足
d(A,B)?d
?
A,C
?
?d
?
B,C<
br>?
,则点
C
的构成的图形的面积是
【解析】设
点
C
的坐标为
C(x,y)
,则
(1
)
d
?
A,C
?
?|x?1|?|y?2|
,
d<
br>?
B,C
?
?|x?3|?|y?6|
由
案例2的1中解答易知:
|x?1|?|x?3?|x|(?1?)x(?
?
,当且仅当
3)
1?x?3
时取等号
第2页
|y?2|?|y?6|?|(y?2)?(y?6)|?4
,当且仅当
2?y?6
时取等号
所以有
d
?
A,C
?
?d
?
B,C
?
?(|x?1|?|x
?3|)?(|y?2|+|y?6|)?6
,当且仅当
?
?
1?x?2?
2?y?6
时取等号,
从而
d
?
A,C
?<
br>?d
?
B,C
?
的最小值为
6
(2)由(
1)可得
d
?
A,C
?
?d
?
B,C
?<
br>?6
,而
d(A,B)?|1?3|?|2?6|?6
,所以
?
1?x?2
时取等号。
d
?
A,C
?
?d
?
B,C
?
?d(A,B)
,
当且仅当
?2?y?6
?
?
1?x?2
从而
?
的点
C(x,y)
构成长为1,宽为4的矩形,其面积为4
?
2?y?6
说明:平面上的
“直角距离”一定有结论:
d
?
A,C
?
?d
?
B,C
?
?d(A,B)
【案例3】四棱锥中的平行问题
题目1:如图18,在四棱锥
P?ABCD的底面
ABCD
中,
ABDC
,
AD
与
BC<
br>不平
行,
(1)若平面
PAB
与平面
PCD
的交线
为直线
l
,则直线
l
一定过
点
,并且直线
l
与直线
AB
的位置关系为
(2)
若平面
PAD
与平面
PBC
的交线为直线
m
,则
m
与直线
BC
的位置关系为
题目2:在四棱锥
P
?ABCD
的底面
ABCD
中,所有侧棱长为
2
,底面是长方形并且
AB?2
,
AD?3
,则平面
PAB
与平面
PCD
所夹的锐二面角为
【答案】1.(1)
P
,平行 (2)相交
2.
60
度
【解析】1.(1)因为平面
PAB
与
平面
PCD
相交于
P
点,所以
它
们有且只有一条过
P
点的直线,而平面
PAB
与平面
PCD
的交线
为直线l
,从而直线
l
过点
P
因为
ABDC
,
AB?
平面
PCD
,
CD?平面
PCD
,所以
AB
平面
PCD
;又因
为平
面
PAB
经过直线
AB
,与平面
PCD
的交线为直线
l
,所以
lAB
m?
平面
ABCD
,(2)若
直线
mBC
,因为
AB?
平面
ABCD
,所以
m<
br>平面
ABCD
;
而平面
PAD
经过直线
m
,
与平面
ABCD
的交线为直线
AD
,所以
mAD
,又因为<
br>mBC
,所以
ADBC
,与已知
AD
与
BC
不平行矛盾。而直线
m
与
BC
在平面
PBC
,
所以
直线
m
与直线
BC
相交
2.设平面
PAB
与平面
PCD
的交线为
l
,由1(1)可得
lABDC
第3页
分别取
AB
、因为
?PAB
与?PCD
是正三角形,所以
PE?AB
,
CD
的中点
E
、
F
,
PF?CD
,所
以
PE?l
,
PF?l
。所以
?EPF
就是平面
P
AB
与平面
PCD
所夹的二面
角的平面角
正三角形
?PA
B
与
?PCD
的边长是
2
,所以
PE?PF?3
,而
EF?3
,所以
?EPF
是等边三角形,
?EPF=60
故平面
PAB
与平面
PCD
所夹的锐二面角为
60
【案例4】包装彩绳
题目:春节期间,佳怡去探望奶奶,她到商店买了一盒点心,为
了美观起见,售货员对
点心盒做了一个捆扎(如图21(1)),并在角上配了一个花结.售货员说,这
样的捆扎不仅
漂亮,而且比一般的十字捆扎方式(如图21(2))包装更节省彩绳。你同意这种说法吗
?
请给出你的理由。(注:长方体点心盒的长、宽、高为17厘米、12厘米、3厘米)
图21 点心盒的两种包装
1.若按图(1)捆扎,彩绳的最短长度为 厘米
2.若按图(2)捆扎,彩绳的最短长度为 厘米
从而,我们可以知道,售货员的说法 (填写“正确”或“不正确”)
【解
析】设长方体点心盒子的长、宽、高分别
为
x
,
y
,
z,
依据图21(1)的捆扎方式,可以想象将长方体
盒子展开在一个平面上,则彩绳的平
面展开图是一
条由
A
到
A
的折线;在“扎紧”的情况下,彩绳的平面展开图是一条
A
到
A
的线段,记为
A?A?
(如
图22),这时用绳最短,绳长记作
l
1
,
l
1?|A
?
A
??
|?(2x?2z)
2
?(2y?2z
)
2
?(34?6)
2
?(24?6)
2
?50
厘
米
第4页
依据图21(2)的捆扎方式,把彩绳的长度记作
l
2
,因为长方体的每个面上的那一段
绳都与相交的棱垂直,所以
l
2
?2x?2y?4z?34?24?12?70
厘米
因此,图21(1)所示的捆扎方式节省材料,
从而售货员的说法正确
【案例5】影子问题
题目:如图27,广场上有一盏路灯挂在高10
m
的电线杆上,记电线杆的底部为
A
。把路灯看作一
个点光源,身高1.5
m的女孩站在离
A
点5 m的点
B
处。回答下面的问题:
(1)若女孩以5
m为半径绕着电线杆走一个圆圈,人影扫过的是什么图形,求这个图
形的面积;
(2)若女孩向点
A
前行4 m到达点
D
,然后从点
D出发,沿着以
BD
为对角线的正方形
走一圈,画出女孩走一圈时头顶影子的轨迹,
说明轨迹的形状。
【解析】(1)如图28所示,
S
为路灯位置,
C
为女孩头顶部,女孩的影子为线段
BP
。
女孩绕着电线杆走一个圆圈,人影扫过的是
一个环形。
已知
SA
=10 m,
AB
=5
m,
BC
=1.5 m。设
BP
=
x
,则由
BC<
br>∥
SA
,得
解得
x
=
BPBC
?
A
PSA
,即
x
?0.15
,
x?5
152775
2
222
π
≈30.166(m
2
)。 。因此环形面积为π(
AP<
br>-
AB
)=[(
x
+5)-5]=
17289
(2)如图29,女孩头顶运动的轨迹是以
CE
为对角线的正方形(
CE
与
BD
平行且相等),
第5页
且该正方形平行于地面,则在
点光源
S
的投射下,投影应与原图形相似,因此女孩头顶影子
的轨迹也是一个正方形。
第6页