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高考热点7—立体几何要直观感知、强化运算
北京四中 苗金利
一、注意问题
1. 从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟
悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中
解决问题的规律——充 分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平
行(垂直)相互转化的思想，以提高直观感知能力 和空间想象能力．
2. 四个重要定理（欧几里德几何）
(1) 三垂线定理（逆定理）
(2) 线面垂直的判定定理
(3) 面面垂直的性质定理
(4) 线面平行的判定定理
3. 两个重要计算（空间向量）
(1) 角的计算
(2) 点到面的距离计算

二、典型例题

例题1．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图


中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是




cm
3
.












解析：本题考查三视图的空间想象能力与运算求解能力。

还原立体图形是三棱锥。


例题2．正四面体S—ABC中，E、F分别为SA

和BC的中点，求异面直线BE和SF所成角.
【解析】正四面体建立空间直角坐标系一般有两种方法：

【评注】向量法解空间的角和距离问题时，首先要建立一个合适的空
间直角坐标 系.本题在正四面体中建系时法二的建系方式可以降低写坐标
的难度，从而简化问题，如果是四面体的对 棱相等也可以考虑将其置于长
方体中进行建系。此外，正棱锥、直棱柱都可以参照这样的方法建系.某< br>些情况下，选择非直角坐标系也能解决问题，如本题的法三.



例题3．正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D1
中，E、F分别是

棱
A
1
D
1
，
A
1
B
1
的中点，求
BC
1
和面EFBD 所成的角.


【解析】本题关键是找出平面
EFBD
的法向量.







【评注】解法一是利用空间向量求解线面角的常


用方法，具有普适性。而解法二中直接求出点
C
1
在平

面EFBD内射影的方法也是解决存在性问题的一种常

见方法.








例题4.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—

ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，

1

AD?
求平面SCD与平面SBA所成的二面角的正切
2

值.









分析：本题是求无棱二面角问题，采用综合方法必须先作出二面角的
棱，再寻求平面角来求解的 办法.

【评注】用向量的方法求解二面角时，要注意观察所求二面角是锐角
还是钝角.


例题5．如图，在棱长为2的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1


中，M，N分别是棱
A1
B
1
、
A
1
D
1
的中点，求点B到 平面AMN

的距离.










【评注】点面距的求解方法主要是向量的方法，其原理：点 到面的距
离等于点与平面内任意一点组成的向量在平面的法向量方向上的投影的
绝对值.利用综 合法求点面距时，本题中所用的称为“等体积法”（变换
三棱锥的底面，利用三棱锥的体积相等列出关于 点面距的方程）.此外，
还可以利用线面平行将一个点到面的距离转化为另一个点到面的距离.