高中数学会考复习提纲

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06年高中数学会考复习提纲4（第二册下B）
第九章 直线 平面 简单的几何体
1、 平面的性质：
?
A
l
B
公理1：如果有一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，
那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线。
（两平面相交，只有一条交线）< br>P?
?
?
?
?
?
?
?
?l
且
P?l

公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面。(强调“不共线”)
（三个推论：1、直线和直线外一点，2、两条相交直线，3、两条平行直线，确定一个平面）
空间图形的平面表示方法：斜二测画法（水平长不变，竖直长减半）
2、 两条直线的位置关系：平行，相交，异面：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线
（1）、异面直线判断方法：①定义，
②判定：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个 平面不经过此点的直线是异面直线．（两在两不在）
（2）、两条直线垂直：两条异面直线所成的角是直角，这两条直线互相垂直．
垂直相交（共面）、异面垂直，都叫两条直线互相垂直．
α
（3）、空间平行直线：公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行。
3、直线与平面的位置关系： 直线在平面内








P




直线在平面外 直线与平面相交，记作
a∩
α
=A

直线与平面平
?

行
a
，记作
a
A
a

P

?
?
a∩
α
=A

z
β
l

α
a
a
α
A
?
P ?
?
?
?
l
?
,l?
?
,
?
?
?
?m
?
lm
??
ab
a
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,m?
?
,且lm
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l
?
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D
a


m
B

A
O
A
1
α

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B
t)OA
E
tOB
a
t?
b?0
a

ab
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b
?
?R
OP?OA?ta
OP?OA?tAB?(1??< br>y
2
C
O
1
OP?(OA?OB)
ab
p
ab
?p?xa?yb
x,y?R
MP?xMA?yMBOP?OMx
?xMA?yMB
2
OP?xOA?yOB?zOC
x?y?z?1
abc
p
{p|p?xa?yb?zc,
　x
,y,z?R}
p?xa?yb?zc
abcabcabc
aa
a?b?|a||b|cos?a, b?|a|
2
?a?a
ae
?
?
a?n?0
a?e ?|a|cos?a,e?
a
?
b
?a?b?0
a?(a
1
,a
2
,a
3
),b?(b
1
,b
2,b
3
)
n?(x,y,z)
?
{i,j,k}
??
b?n?0
1

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i?
j?
k?
i?1
2
j?1
k?1
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i? k?0
2
2
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1
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1
,a
2
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2
,a
3
?b
3
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j?k?0
a?(a
1
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2
,a
3
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1
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,b
3
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O
a?b?((a
1
?b
1
,a
2
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2
,a
3< br>?b
3
)
A
?
a
aa
P
?a?
?
?(a
1
,a
2
,a
3
)?(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)
?
?R
a
b?a
1
?
?b
1
,a
2
?
?
b
2
,a
3
?
?
b
3
1
?
2
?
3
?
?
?
1

?
n
b
1
b
2
b
3
A


B
O
?
2

B
‘

?

A O
A

b
a?b?a?b?0?a1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?0a?b
?
?

a
1
b
1< br>?a
2
b
2
?a
3
C
b

3
ab

abab
B
a
A’

O
A
O’
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?a?a
2
1
2
2
2
3
b?b?b
2
1
2
2< br>2
3
abab
a
1
b
1
?a
2b
2
?a
3
b
3
a?a?a
2
12
2
2
3
b?b?b
2
1
2
2
2
3
A(x
1
,y
1
,z
1
)
B’
?
B(x
2
,y
2
,z
2
)
AB?(x
2
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1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
)
(
x
1
?x
2
y
1
?y
2
z
1
?z
2
,,)
222
d
A、B
?(x
2
?x
1
)
2?(y
1
?y
2
)
2
?(z
1
?z< br>2
)
2
cos
?
?cos
?
1
?c os
?
2
0?
?
?
OM?
1
(OA?OB )
2
?
2
0?
?
?
?
2
0??
?
?
0?
?
?
?
2
0?
?
?
?
?
0?
?
?
?
a
b
Oa'
a
b'
b
a'b'
a
b
?
?(0, ]
cos
?
?cos
?
1
?cos
?
2< br>2
2
sin
?
?|sin(??OP,AP?)|
?|cos ?OP,AP?|?|cos?n,AP?|?
2
|n||PA|
三垂线定理及其逆定 理作二面角的平面角，再解直角三角形；
求法一：向量法：二面角的两个半平面的法向量所成的角（或其补角）
n
1
和n
2
分别为平面和的法向量，记二面角
?
?l?
?
的大小 为，
则
?
?
|n?PA|
用
??n
1
, n
2
?
或
?
?
?
??n
1
,n< br>2
?
(依据两平面法向量的方向而定)
|?|cos?n
1
,n
2
?|
=
|n
1
?n
2
|
，
|n
1
||n
2
|
|n
1
?n
2
|
?

n
1

n
2

总有
|cos
?
?

A
若该二面角为锐二面角 则
?
?arccos
|n
1
||n
2
|
l

?

A

n
P
‘

若二面角
?
?l?
?
为钝二面角则
?
?
?
?arccos
11、距离（满足最小值原理）
|n
1
?n
2
|
O
B
?
< br>|n
1
||n
2
|
（1）、点到平面的距离：一点到它在平面 内的正射影的距离；
求法一：解直角三角形；求法二：等积法，利用体积相等；
求法三：向量法：如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，
平面的法向量为n,过点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的角为，
2

O

A

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则点P到平面 的距离
d?|PO|?|PA|sin
?
?|PA|
|n?PA||n?PA |
?

|n||PA||n|
（2）、直线到平行平面的距离：直线上任一点 到与它平行的平面的距离；求法：转化为点到平面的距离求。
（3）、两个平行平面的距离：两个平行平面的共垂线段的长度；求法：转化为点到平面的距离来求。
（4）、异面直线的距离：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分；（公垂线是唯一的，必须垂直 相交）
求法一：解直角三角形；求法二：异面直线上任意两点的距离公式：
l?d?m?n? 2mncos
?

求法三：向量法：先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上两点的连线在公共法向量上
2222
的射影长。设E、F分别是两异面直线上的点，
n
是公共法向量，则异面直线之间的距离
n
d?
EF?n
12、棱柱
（1）、定义：有两个面互相平行，其余相邻两个面的交线互相平行的多面体叫棱柱。
斜棱柱（侧棱不垂直底面）——直棱柱（侧棱垂直底面）——正棱柱（底面是正多边形的直棱柱） （2）、性质：①、棱柱的侧面是平行四边形，所有侧棱都相等；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。
②、棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形。
（3）、平行六面体——直平行六面体——长方体——正方体，平行六面体
?
四棱柱
①、平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；
②、长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和；
l?a?b?c

③、正方体的对角线长
l?
13、棱锥
（1）、定义：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫棱锥；
P
底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥。
A
S
1
h
1
V
1
h
1
?
2
,?3
；中截面。 （2）、性质：①、棱锥被平行于底面的平面所截，则
S
2
h
2
V
2
h
2
②、正棱锥各侧棱相等，斜高相等，各侧面 是全等的等腰三角形；
③、正棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成直角三角形，
高、侧棱和侧棱在底面的射影组成直角三角形。
3
A
B
23
2222
c

b

a

3a
，正方体的面对角线可构成一个正四面体（如图）。
O
B
‘

C
C
O

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14、正多面体：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同的棱数。
正多边形
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
顶点数V
4
8
6
20
12
面 数F
4
6
8
12
20
棱 数E
6
12
12
30
20
以各面的中心为顶点的正多面体
四
八
六
二十
十二
欧拉公式：V+F-E=2
15、球：
（1）、定义：与顶点的距离等于或小于定长的点的集合叫球体；
与顶点的距离等于定长的点的集合叫球面；
（2）、性质：①、截圆：一个平面截一个球面，截面是一个圆面；
P
圆心是球心在圆面上的射影，
r?
O
R
d

r

O
‘

R?d
22

；
N
O
B
‘

过球心的截圆叫大圆，过球面上任意两点的大圆有一个或无数个；
不过球心的截圆叫小圆。平行于赤道的小圆叫纬线或纬圆。
T
②、纬度：纬线上 一点的球半径与赤道面所成的线面角的度数；
图中：
?AOC,?BOA
都是纬度；常 用
?OAO??AOC

经度： 以南北轴SN为棱的二面角的度数；
图中 ：
?TOD,?TOC
都是经度；常用经度差
?COD??AOB

'
A
O
D

C
S
（3）、两点的 球面距离：经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，是球面上两点的最短连线的长度。
求法：球心角的弧度数乘以球半径，即
l?
?
?R
。
（4 ）、球的体积公式：
V?
41
?　R
3
，球的表面积公式：
S?4
?　R
2
，柱体
V?s?h
，锥体
V?s?h

33
第十章 排列 组合 二项式定理
1、计数原理：分类计数原理（加法原理）
N?m
1
?m
2
?
分步计数原理（乘法原理）
N?m
1
?m
2< br>?
?m
n
.（每步都能完成）
?m
n
. （多步才能完成）
2、 排列：（1）定义：从n个不同元素中取出m（n≤m）个元素，按照一定的顺序排成一列，与顺序有关。
（2）、排列数公式：
A
n
=
n(n?1)?(n?m?1)
=
4
m< br>n！
*
.(
n
，
m
∈N，且
m?n
)．
(n?m)！

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（3）、全排列：n个 不同元素全部取出的一个排列；
A
n
?n!
；
A
n
?nA
n?1
nnn?1
nn?1n
；
nA
n
?A
n?1
?A
n

（4）、价乘：正整数1到n的连乘积；
n!?n(n?1)(n?2)???3?2?1?n?(n?1)!
；0！=1
3、组合：（1）定义：从n个不同元素中取出m（n≤m）个元素，并成一组，与顺序无关；
（组合完成了排列的第一步：
A
n
m
n
mmm
。
?C
n
?A
m
）
n！
A
n
mn(n?1)
?
(n?m?1)
0
*
（2）、组合数公式： < br>C
=
m
==(
n
，
m
∈N，且
m? n
)；
C
n
?1
；
m！?(n?m)！
1?2?
?
?m
A
m
（3）组合数的两个性质：
C
n
=
C
n
m
n?m
；
C
n
+
C
n
m
m?1
rrrrr?1
m
=
C
n?1
；例如
C
r
?C
r?1
?C
r?2
??? C
n
?C
n?1
.
n0n1n?12n?22rn?rrnn
4、二项式定理 ：（1）、定理：
(a? b)?C
n
a?C
n
ab?C
n
ab?
?
?C
n
ab?
?
?C
n
b

例：(1?x)
n
?1?C
n
x?C
n
x
2
???C
n
x
r
???C
n
x
n
；熟练 公式的顺用和逆用。
rn?rr
（2）、二项展开式的通项公式（第
r
+1 项）：
T
r?1
?C
n
ab
(r?0，

1，2?，n)
，处理常数项等有关的问题。
12rn
（3）、二项式系数：①、定义 ：二项展开式中的系数
C
n
(r
?
0,1,2,
?
,n)
叫二项式系数；
②、性质：对称性：
C
n
m
rr
=C
n
n－m
；
，直线
r?
是函数
f(r)?
C
n
(r
?
0,1,2,
?
,n)的对称轴；

n
2
n?1
2
n?1
2
）
n
2
增减性与最大值：（当n为偶数时，中间一项最大：
C
n
；当n为奇数时，中 间两项最大：
C
n
?C
n
各
二项式系数和：
Cn
０
+C
n
1
+C
n
2
+ C
n
3
+ C
n
4
+…+C
n
r
+…+C
n
n
=2
n

（表示含n个元素的集合的所有子集的个数）。
奇数项二项式系数的和＝偶数项二项式系数的 和：
C
n
+C
n
+C
n
+ C
n
+…＝C
n
+C
n
+C
n
+ C
n
+…=2
０２４６１３５７n -1

n23n
（4） 、多项式各项系数（赋值法）：
f(x)?(ax?b)?a
0
?a
1
x?a
2
x?a
3
x???a
n
x
，则
a
0
?f(0)
，
n
各项系数和：
a
0
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
?f(1 )
，另外
a
0
?a
1
?a
2
?a
3
?
?
?(?1)a
n
?f(?1)

偶数项系数 和：
a
0
?a
2
?a
4
???

第十一章：概率：
f(1)?f(?1)f(1)?f(?1)
，奇数项系数和：< br>a
1
?a
3
?a
5
???

22
1、概率（范围）：必然事件： P(A)=1，不可能事件： P(A)=0，随机事件： 02、等可能性事件的概率：
P(A)?
m
.
n
3、互斥事 件有一个发生的概率：互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
n< br>个互斥事件分别发生的概率的和：P(A
1
＋A
2
＋…＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋…＋P(A
n
)．
P(AB?AB?AB)?1?P(AB)
“至少有一个发生”：
P(AB?AB?A B)?1?P(AB)
， “至多有一个发生”
对立事件：事件A、B不可能同时发生，但A、 B中必然有一个发生；即A、B对立：P（A）+ P(B)＝１
4、独立事件同时发生的概率：独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B)= P(A)·P(B).
5

v1.0 可编辑可修改
n个独立事件同时发生的概率 P(A
1
· A
2
·…· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·…· P(A
n
)．
kkn?k
n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率< br>P
n
(k)?C
n
P(1?P).

6