高中数学会考试卷

高中数学会考试卷
第一卷（选择题共60分）
一、选择题：本大 题共14小题：第（1）—（10）题每小题4分，第（11）-（14）题每小题5分，共60分，
在 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={0，1，2，3，4} ，B={0，2，4，8}，那么A∩B子集的个数是：（）
A、6个B、7个C、8个D、9个
（2）式子4·5的值为：（）
A、45???? B、54
??? C、20?? D、120
（3）已知sinθ=35,sin2θ<0,则tg（θ2）的值是：（）
A、-12B、12C、13D、3
（4）若log
a
(a+1) a
2a<0，则a的取值范围是：（）
A、（0,1)B、(12,1)C、(0,12)D、(1，+∞)
（5）函数f(x)=π2+arcsin2x的反函数是（）
A、f(x)=12sinx,x∈[0,π]?B、f(x)=-12sinx,x∈[0,π]
???C、f(x)=-12cosx,x∈[0,π]D、f(x)=12cosx,x∈[0,π]
-1-1
-1-1
2
（6）复数z=（＋i)(-7-7i)的辐角主值是： （）
4
A、π／12B、11π12C、19π12D、23π12
（7）正 数等比数列a
1
,a
2
,a
8
的公比q≠1,则有：（）
A、a
1
+a
8
>a
4
+a
5
B、a
1
+a
8
4
+a
5
C、a< br>1
+a
8
=a
4
+a
5
D、a
1< br>+a
8
与a
4
+a
5
大小不确定
（8）已 知a、b∈R，条件P：a+b≥2ab、条件Q：
22
，则条件P是条件Q的（）
A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件
-来源网络，仅供个人学习参考

（9）椭圆
离为：（）
的左焦点F
1
，点P在椭圆上，如果线段PF
1
的中点M在Y轴上， 那么P点到右焦点F
2
的距
A、345 B、165 C、3425 D、1625
（10）已知直线l
1
与平面α成π6角，直线l
2
与l
1
成π3角，则l
2
与平面α所成角的范围是：（）
A、[0，π3]B、[π3,π2]C[π6,π2]、D、[0，π2]
（11）已知，b为常数，则a的取值范围是：（）
A、|a|>1B、a∈R且a≠1C、-1＜a≤1D、a=0或a=1
（12）如图，液体从一球 形漏斗漏入一圆柱形烧杯中，开始时漏斗盛满液体，经
知烧杯中的液面上升的速度是一个常量，H是漏斗 中液面下落的距离，则H与下
数关系用图象表示只可能是：（）
过3分钟漏完。已
落时间t(分）的函

3

（13）已 知函数f(x)=-x-x,x
1
、x
2
、x
3
∈R,且x
1
+X
2
>0,X
2
+X
3
>0,X3
+X
1
>0,则f(x
1
)+f(x
2
)+ f(x
3
)的值：（）
A、一定大于零B、一定小于零C、等于零D、正负都有可能
（14）如图，一正方体棱长为3cm， 在每个面正中央有一个入口为正方形的孔
边长为1cm，孔的各棱平行于正方形的孔通过对面，孔的边长 为1cm，孔的各
各棱，则所得几何体的总表面积为（）
A、54cmB、76cmC、72cmD、84cm
二、填空题：本大题共4小题：每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（15 ）已知函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则其面积为
_____________。
（16）直线l与直线y=1,x-y-7=0分别交于P、Q两 点，线段PQ的中点坐标为(-1,1)，那么直线l的斜率
为______________。
（17）设f(x)为偶函数，对于任意x∈R，都有f(2+X)=-2f(2-X)，已知f( -1)=4，那么f(-3)=____________。
（18）等差数列{a
n< br>}中，s
n
是它的前n项之和，且s
6
7
,s< br>7
>s
8
,则：
-来源网络，仅供个人学习参考
+
2222
通过对面，孔的
棱平行于正方体

?????①此数列公差d<0；②s9一定小于s6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定是Sn中最大 值。
???其中正确的是______________（填入序号）。
三、解答题：本大题共6小题：共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（19）（本小题满分10分）解关于x的方程：log
a
x
+2
(2a+3 a-2)=2(a>0且a≠1)。
（20）（本小题满分12分）设△ABC的两个内角A、B 所对的边的
数Z
1
=a+bi,Z
2
=cosA+icosB。若复 数Z1·Z2在复平面上对应的点在虚轴
的形状。
（21）（本小题满分12分）如图， 在正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，各
分别为A C
1
、BB
1
的中点。
?????（1）求证DF为异面直线AC
1
与BB
1
的公垂线段，并求DF的长。
?????（2）求点C
1
到平面AFC的距离。
（22）（本小题满 分12分）某工厂有容量为300吨的水塔一个，每天从早上6时起到晚上10时上供应该
厂生活和生产 用水。已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间t（单位：小时。定义早上6
时t =0）的函数关系为w=100，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时的
长分别为a、b。复
上，试判断△ABC
2xx
棱长都等于a,D、F
进水量增加10吨，若某天水塔原有水100吨，在供水同时打开进水管，问进水量选择第几级，既能保证该厂 用
水（水塔中水不空）又不会使水溢出。
（23）（本小题满分14分）设f(x)是定 义在[-1,1]上的奇函数，且对任意a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，
都有>0。
（1）若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小。
（2）解不等式f(x-)2
（3）记P={x|y=f(x-c)}，Q={x|y=f(x-C)}，且P∩Q=∞，求
（24）（本小题满分14分）已知抛物线x=4(y-1),M是其顶点。
（1）若圆C的圆心C与抛物线的顶点M关于X轴对称，且圆C
C的方程。
2
C的取值范围。
与X轴相切。求圆
（2）过抛物线上任意一点N作圆 C的两条切线，这两条切线与抛物线的准线交于P、Q两点，求|PQ|的取
值范围。
数学（理科）
第一卷（选择题共60分）
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一、选择题：本大题共14小题：第（1）—（10）题每小题4分，第（1 1）-（14）题每小题5分，共60分，
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={0，2，4，8}，那么A∩B子集的个数是：（ ）
A、6个B、7个C、8个D、9个
（2）式子4·5的值为：（）
A、45???? B、54
??? C、20?? D、120
（3）已知sinθ=35,sin2θ<0,则tg（θ2）的值是：（）
A、-12B、12C、13D、3
（4）若log
a
(a+1) a
2a<0，则a的取值范围是：（）
A、（0,1)B、(12,1)C、(0,12)D、(1，+∞)
（5）函数f(x)=π2+arcsin2x的反函数是（）
A、f(x)=12sinx,x∈[0,π]?B、f(x)=-12sinx,x∈[0,π]
???C、f(x)=-12cosx,x∈[0,π]D、f(x)=12cosx,x∈[0,π]
-1-1
-1-1
2
（6）复数z=（＋i)(-7-7i)的辐角主值是： （）
4
A、π／12B、11π12C、19π12D、23π12
（7）正 数等比数列a
1
,a
2
,a
8
的公比q≠1,则有：（）
A、a
1
+a
8
>a
4
+a
5
B、a
1
+a
8
4
+a
5
C、a< br>1
+a
8
=a
4
+a
5
D、a
1< br>+a
8
与a
4
+a
5
大小不确定
（8）已 知a、b∈R，条件P：a+b≥2ab、条件Q：
22
，则条件P是条件Q的（）
A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件
（9）椭圆
离为：（）
的左焦点F
1
，点P在椭圆上，如果线段P F
1
的中点M在Y轴上，那么P点到右焦点F
2
的距
A、345 B、165 C、3425 D、1625
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（10）已知直线l
1
与平面α成π6角，直线l
2
与l
1
成π3角，则l
2
与平面α所成角的范围是：（）
A、[0，π3]B、[π3,π2]C[π6,π2]、D、[0，π2]
（11）已知，b为常数，则a的取值范围是：（）
A、|a|>1B、a∈R且a≠1C、-1＜a≤1D、a=0或a=1
（12）如图，液体从一球 形漏斗漏入一圆柱形烧杯中，开始时漏斗盛满液体，
知烧杯中的液面上升的速度是一个常量，H是漏斗中 液面下落的距离，则H与
数关系用图象表示只可能是：（）
经过3分钟漏完。已
下落时间t(分）的函

3

（13 ）已知函数f(x)=-x-x,x
1
、x
2
、x
3
∈R, 且x
1
+X
2
>0,X
2
+X
3
>0,X
3
+X
1
>0,则f(x
1
)+f(x
2
)+f(x
3
)的值：（）
A、一定大于零B、一定小于零C、等于零D、正负都有可能
（14）如图，一正方体棱长为3cm， 在每个面正中央有一个入口为正方形的孔通过对面，孔的边长为1cm，孔的
各棱平行于正方形的孔通过 对面，孔的边长为1cm，孔的各棱平行于正方体各棱，则所得几何体的总表面积为（）
A、54cmB、76cmC、72cmD、84cm
二、填空题：本大题共4小题：每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（15 ）已知函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭
面积为________ _____。
（16）直线l与直线y=1,x-y-7=0分别交于P、Q两点，线段PQ的中
那么直线l的斜率为______________。
+
2222
的平面图形，则其
点坐标为(-1,1)，
（17） 设f(x)为偶函数，对于任意x∈R，都有f(2+X)=-2f(2-X)，已知f(-1)=4，那么f( -3)=____________。
（18）等差数列{a
n
}中，s
n
是它的前n项之和，且s
6
7
,s
7
>s
8
,则：
?????①此数列公差d<0；②s9一定小于s6；③a7是各项中最 大的一项；④S7一定是Sn中最大值。
???其中正确的是______________（填入序号）。
三、解答题：本大题共6小题：共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（19）（本小题满分10分）解关于x的方程：log
a
x
+2
(2a+3 a-2)=2(a>0且a≠1)。
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2xx

（20）（本小题满分12分）设△ABC的两个内角A 、B所对的边的长分别为a、b。复数Z
1
=a+bi,Z
2
=cosA+i cosB。
若复数Z1·Z2在复平面上对应的点在虚轴上，试判断△ABC的形状。
（ 21）（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，各
分别为AC
1
、BB
1
的中点。
??? ??（1）求证DF为异面直线AC
1
与BB
1
的公垂线段，并求DF的长。
?????（2）求点C
1
到平面AFC的距离。
（22）（本小题满 分12分）某工厂有容量为300吨的水塔一个，每天从早上6时起到晚上10时上供应该
厂生活和生产 用水。已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间t（单位：小时。定义早上6
时t =0）的函数关系为w=100，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以
吨，在供水同时 打
空）又不会使水溢
棱长都等于a,D、F
后每提高一级，每小时的进水量增加10吨 ，若某天水塔原有水100
开进水管，问进水量选择第几级，既能保证该厂用水（水塔中水不
出 。
（23）（本小题满分14分）设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函
∈[-1， 1]，当a+b≠0时，都有>0。
数，且对任意a、b
（1）若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小。
（2）解不等式f(x-)2
（3）记P={x|y=f(x-c)}，Q={x|y=f(x-C)}，且P∩Q=∞，求C的取值范围。
（24）（本小题满分14分）已知抛物线x=4(y-1),M是其顶点。
（1）若圆C的圆心C与抛物线的顶点M关于X轴对称，且圆C与X轴相切。求圆C的方程。
（2 ）过抛物线上任意一点N作圆C的两条切线，这两条切线与抛物线的准线交于P、Q两点，求|PQ|的取
值范围。
试题答案及评分标准
一、CCDBC、DACBD、BDBC
二、15、4π 16、- 17、-8 18、①②④
三、
19、解：设ax=t>0
?则原方程变为log
t+2
(2t+3t-2)=2
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2
2

? ∴2t+3t-2=（t+2）?4分
? 整理得t-t-6=0
? 解得t
1
=3,t
2
=-2?6分
? ∵t>0,∴t
2
=-2舍去
? 当t
1
=3，即a=3时x=log
a
3，?8分
?经检验x=log
a
3是原方程的解?9分
? ∴原方程的解为x=log
a
3?10分
20、解：z1·z2=(a+bi)(cosA+icosB)=(acosA- bcosB)+i(bcosA+acosB)?4分
x
2
222
由题设得
由式及余弦定理
得：a·
22
6分

222
?-b·
22

2
?=0 ?8分
???????整理得：（a-b）(c-a-b)=0?∴a=b或c=a+b满足②式?10分
???????∴ΔABC为等腰三角形或直角三角形?12分

解：（I）在面A C
1
内过D作EG∥AC，交AA
1
于E，交CC
1
21、
于G.
???????????????则E、G分别为AA
1
、CC1
的中点，连结
EF、GF、FC
1




DF为异面直线AC1与BB1的公垂线段4分
?在正三角形EFG中，DF=a????6分
（II）设点C
1
到平面ACF的距离为h.
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?????过A作AH⊥BC交BC于H，则AH为点A到面BC
1
的距离.
????∵V
C1-ACF=
V
A-CC1F
，即S
ΔCC1F< br>·AH=S
ΔACF
·h??8分
??∵S
ΔCC1F
=a ,AH=
2
a,AC=a,CF=AF=a???
???S
ΔACF
=AC·=a
2???
10分
???∴h==a
?????即点C
1
到平面AFC的距离为a???12分
22、解：设进水量选用第n级，在t时刻水塔中的水的存有量为：
???y=100+10nt-10t-100(0＜t≤16)???2分
???要是水塔中水不空不溢，则0＜y≤300
???即
???对一切0＜t≤16恒成立。?????6分

???令
2
=x,x≥
2
???则-10x+10x+1＜n≤20x+10x+1
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???而y
1
= -10x+10x+1=-10(x-
2
)+
2
≤(x≥)???8分 ?????y
2
=20x+10x+1=20(x+
2
)-≥4(x≥) ?????10分
?????∴3＜n≤4?∴n=4选择第4级进水量可满足要求???12分 < br>23、解：（I）对任意x
1
、x
2∈
[-1,1]，当x
1
＜x
2
时，由奇函数的定义和题设不等式得：???3分
???????? ????f(x
2
)-f(x
1
)=f(x
2
)+f(-x
1
)=
????????????即??f(x
2
)＞f(x
1
)???????5分
(x
2-
x
1)
＞0
???????????∴f(x)在[-1,1]上是增函数，而a＞b，∴f(a)＞f(b)???7分
????????(II)由(I)得：-1≤x-＜x-≤1???7分
????????????解得：??-≤x≤即不等式的解??9分
222
??? ??????(III)P={x-1≤x-c≤1=}=[c-1,c+1],Q={-1≤x-c≤1}=[ c-1,c+1]????????????????11分
???????P∩Q=Φ?<=>c+1＜c-1或c+1＜c-1???13分
?????????????解得：c＜-1或c＞2
??????????????的取值范围是c＜-1或c＞2??14分
24、解：(I)抛物线顶点M(0,1)，圆C的圆心(0,-1)，半径r=1。
?????????∴圆的方程为x+(y+1)=1?????4分
???????(II )设N(x
0
,y
0
)，P(a,0)，由题设可知抛物线准线方程为y=0 ，
22
22
-来源网络，仅供个人学习参考

? ??????当直线NP的斜率存在时，则直线NP方程为y=
???????即y
0
x+(a-x
0
)y?-ay
0
=0??????????6分
???????当直线的斜率不存在时，满足上方程，
(x-a)
??????? 因直线NP与圆C相切，所以
???????即(y
0
+2)a-2x
0a-y
0
=0?????????8分
2
=1
?????? ?由y
0
≥1知y
0
2≠0，上面关于a方程两根是P、Q两点横坐标a1
+a
2
=
+
,a
1
a
2
= ，
???????|PQ|=|a
1
-a
2
|==
=而x
0
=4(y
0
-1)
2
????????∴|PQ|==?????10分
?????????????==
=???12分
-来源网络，仅供个人学习参考

∵y
0
≥1，∴0＜≤，∈(0,]
???????∴当=，即y
0
=10时，

|PQ|
max
=
??????????当=，即y
0
= 1时，
|PQ|
max
=
???????∴|PQ|的取值范围是?[,] ?????14分
试题答案及评分标准
一、CCDBC、DACBD、BDBC
二、15、4π 16、- 17、-8 18、①②④
三、
19、解：设ax=t>0
?则原方程变为log
t+2
(2t+3t-2)=2
? ∴2t+3t-2=（t+2）?4分
? 整理得t-t-6=0
? 解得t
1
=3,t
2
=-2?6分
? ∵t>0,∴t
2
=-2舍去
? 当t
1
=3，即a=3时x=log
a
3，?8分
?经检验x=log
a
3是原方程的解?9分
-来源网络，仅供个人学习参考
x
2
222
2

? ∴原方程的解为x=log
a
3?10分
20、解：z1·z2=(a+bi)(cosA+icosB)=(acosA- bcosB)+i(bcosA+acosB)?4分
由题设得
由式及余弦定理得：a·
222
6分

22
?-b·

2
?=0 ?8分
2 2
???????整理得：（a-b）(c-a-b)=0?∴a=b或c=a+b满足②式?10分
???????∴ΔABC为等腰三角形或直角三角形?12分

解：（I）在面A C
1
内过D作EG∥AC，交AA
1
于E，
交CC
1
于G.
???????????????则E、G分别为AA
1
、CC
1
的中点，
连结EF、GF、FC
1



21、

DF为异面直线AC1与
BB1的公垂线段4分
?在正三角形EFG中，DF=a????6分
（II）设点C
1
到平面ACF的距离为h.
?????过A作AH⊥BC交BC于H，则AH为点A到面BC
1
的距离.
????∵V
C1-ACF=
V
A-CC1F
，即S
ΔCC1F< br>·AH=S
ΔACF
·h??8分
??∵S
ΔCC1F
=a ,AH=
2
a,AC=a,CF=AF=a???
-来源网络，仅供个人学习参考

???S
ΔACF
=AC·=a
2???
10分
???∴h==a
?????即点C
1
到平面AFC的距离为a???12分
22、解：设进水量选用第n级，在t时刻水塔中的水的存有量为：
???y=100+10nt-10t-100(0＜t≤16)???2分
???要是水塔中水不空不溢，则0＜y≤300
???即
???对一切0＜t≤16恒成立。?????6分

???令
2
=x,x≥
2
???则-10x+10x+1＜n≤20x+10x+1
???而y
1
=-10x+10x+1=-10(x-
2
)+
2
≤(x≥)??? 8分
?????y
2
=20x+10x+1=20(x+
2
)-≥ 4(x≥)?????10分
-来源网络，仅供个人学习参考

?????∴3＜n≤4?∴n=4选择第4级进水量可满足要求???12分
23、解：（ I）对任意x
1
、x
2∈
[-1,1]，当x
1
＜x
2
时，由奇函数的定义和题设不等式得：???3分
????????????f(x2
)-f(x
1
)=f(x
2
)+f(-x
1
)=
????????????即??f(x
2
)＞f(x
1
)?? ?????5分
(x
2-
x
1)
＞0
???????? ???∴f(x)在[-1,1]上是增函数，而a＞b，∴f(a)＞f(b)???7分
????????(II)由(I)得：-1≤x-＜x-≤1???7分
????????????解得：??-≤x≤即不等式的解??9分
222
??? ??????(III)P={x-1≤x-c≤1=}=[c-1,c+1],Q={-1≤x-c≤1}=[ c-1,c+1]????????????????11分
???????P∩Q=Φ?<=>c+1＜c-1或c+1＜c-1???13分
?????????????解得：c＜-1或c＞2
??????????????的取值范围是c＜-1或c＞2??14分
24、解：(I)抛物线顶点M(0,1)，圆C的圆心(0,-1)，半径r=1。
?????????∴圆的方程为x+(y+1)=1?????4分
???????(II )设N(x
0
,y
0
)，P(a,0)，由题设可知抛物线准线方程为y=0 ，
22
22
???????当直线NP的斜率存在时，则直线NP方程为y=
???????即y
0
x+(a-x
0
)y?-ay
0
= 0??????????6分
???????当直线的斜率不存在时，满足上方程，
(x-a)
???????因直线NP与圆C相切，所以=1
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???????即(y
0
+2)a-2x
0
a-y
0
=0?????????8分
2
???????由y
0
≥1知y
0
2≠0，上面关于a方程两根是 P、Q两点横坐标a
1
+a
2
=
+
,a
1
a
2
=，
???????|PQ|=|a
1
-a
2
|==
=而x
0
=4(y
0
-1)
2
????????∴|PQ|==?????10分
?????????????==
=???12分
∵y
0
≥1，∴0＜≤，∈(0,]

???????∴当=，即 y
0
=10时，
|PQ|
max
=
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??????????当=，即y
0
=1时，
|PQ|
max
=
???????∴|PQ|的取值范围是?[

,] ?????14分
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