长春高中数学教学-高中数学上册开学考数学试卷
高数学会考模拟试
题(附答案)
中
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高二数学会考模拟试卷
班级:
姓名:
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个
选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U?
?
1,2,3,4,5,6
,7,8
?
，集合A?
?
2,4,6,8
?
，B?
?
1,2,3,6,7
?
，则
A?(C
U
B)?
（
）
A．
?
2,4,6,8
?
B．
?
1,3,7
?
C．
?
4,8
?
D．
?
2,6
?
2．直线
A．
3x?y?0
的倾斜角为（ ）
??
2
?
B．
C．
633
x?1
的定义域为（ ）
D．
5
?
6
3．函数
y?
A．
?
??,1
?
B．
?
??,1
?
C．
?
1,??
?
D．
?
1,??
?
甲
乙
4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的
6
8
9 0
5
7
8
5
7 9
1 1
3
5
4
2
5
情
况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为
（ ）
A．14、12 B．13、12
C．14、13 D．12、14
5．在边长为1的正方形
ABCD
内随机取一点
P
，则点
P
到点
A
的距离小于1
的概率为（ ）
A．
图
?
?
?
?
B．
1?
C．
D．
1?
4488
6．已知向量
a
与
b
的夹角为
120
o
，且
a?b?1
，则
a－b
等于
（ ）
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A．1 B．
3
C．2
D．3
7．有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示（单位：cm），则该几何体的
表面积为（
）
．．．
A．
12
?
cm
B.
15
?
cm
C.
24
?
cm
2
D.
36
?
cm
2
8.若
a?log
3
π，b?log
7
6，c?log
2
0.8
，则（ ）
A.
a?b?c
?
?
的图像如图3所示，则函数
f(x)
的
9．
已知函数
f(x)?2sin(
?
x?
?
)
?
?<
br>?
?0,
?
?
?
2
y
??
22
5
6
5
6
主视
侧视
俯视
图
B.
b?a?c
C.
c?a?b
D.
b?c?a
解析式是（ ）
10
?
?
?
??
10
A．
f(x)?2s
in
?
?
x?
?
B．
f(x)?2sin
?
x?
?
?
116
?
?
116
?
1
O
11
?
12
x
?
?
?
??
C．
f(x)?2sin
?
?
2x?
?
D．
f(x)?2sin
?
2x?
?
?
6
?
?
6
?
10．一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大
角是
图
最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为（ ）
A．
37
7
1
3
B．
C． D．
8
4
8
4
11.
在等差数列<
br>?
a
n
?
中，
a
2
?a
8
?4
,
则
其前
9
项的和
S
9
等于
( )
A
．
18 B
．
27
C
．
36 D
．
9
?
x?y?1,
?
12.已知实数x,y满足约束条件
?
x?0,
则z=y-x的最
大值为（ ）
?
y?0,
?
A.1 B.0
C.-1 D.-2
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13.
函数
y?2
x
?x
的根所在的区间是（ ）
A．
?
?1,?
?
B．
?
?,0
?
C．
?
0,
?
D．
?
,1
?
14.函数
y?sin||
的周期是（ ）
A．
?
B．
?
C．
2
?
D．
4
?
2
x
2
?
?
1
?
2
?
?
1
?
2
?
?
?
?
1
?
2
?
?
1
?
?
2
?
15.
sin15
o
cos75
o
?cos15o
sin105
o
等于（ ）
A．
0
B．
1
2
C．
3
2
D．
1
16. 过圆
x
2
?y
2
?2x
?4y?4?0
内一点M（3，0）作圆的割线
l
，使它被该圆截
得的线段最
短，则直线
l
的方程是（ ）
A．
x?y?3?0
B．
x?y?3?0
C．
x?4y?3?0
D．
x?4y?3?0
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20
分.
17.圆心为点
?
0,?2
?
，且过点
?
4，1
?
的圆的方程为
．
18.如图4，函数
f
?
x
?
?2
x
，
g
?
x
?
?x
2
，若输入的
x
值
为3，
则输出的
h
?
x
?
的值为
.
开始
输入
f(x)?g(x)
是
f(x)
h(x)?g(x)
h(x)?
输出
结束
否
图
19.若函数
f(x)?4x
2
?kx?
8
在
?
5,8
?
上是单调函数，则
k
的取值范围是
20.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面
上，则这
个球的表面积是
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21.已知两条直线
l
1
:x?(3?m
)y?2,l
2
:mx?2y??8
.
若
l
1
?l
2
，则
m
=
22.样本4,2,1,0，
?2
的标准差是
23.过原
点且倾斜角为
60
0
的直线被圆
x
2
?y
2
?4y?0
所截得的弦长为
三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和
演算步骤.
24．（本小题满分10分）
在△
ABC
中，角
A
，B
，
C
成等差数列．
（1）求角
B
的大小；（2）若
sin
?
A?B
?
?
2
，求
sinA的值．
2
25．已知：
a
、
b
、
c
是同一平面内的三个向量，其中
a
=（1，2）
（Ⅰ）若|
c
|
?25
，且
ca
，求
c<
br>的坐标；
（Ⅱ）若|
b
|=
26．（本小题满分12分）
如图5，在四棱锥
P?ABCD
中
，底面
ABCD
为正方形，
PA?
平面
5
,
且a?2b
与
a?2b
垂直，求
a
与
b
的夹角θ
2
ABCD
，
PA?AB
，点
E
是
PD<
br>的中点．（1）求证：
P
PB
平面
ACE
；（2）若四面体
E?ACD
的体积为
2
，求
AB
的长．
3
E
D
C
图5
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A
B
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27．（本小题满分12分）
某校在高二年级开设了<
br>A
，
B
，
C
三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的
开
展情况进行调查，用分层抽样方
法从
A
，
B
，
C
三
个兴趣小组的人
员中，抽取若干人组成调查小组，
有关数据见下表（单位：人）
（1
）求
x
，
y
的值；（2）若从
A
，
B
两个
兴趣小组抽取的人中选2人作
专题发言，求这2人都来自兴趣小组
B
的概率．
28.
（本小题满分12分）
已知数列
?
a
n
?
是首项为1，公
比为2的等比数列，数列
?
b
n
?
的前
n
项和S
n
?n
2
．
兴趣小组 小组人
数
24
A
36
B
C
48
抽取人
数
x
3
y
?
b<
br>?
（1）求数列
?
a
n
?
与
?
b<
br>n
?
的通项公式；（2）求数列
?
n
?
的前
n
项和．
?
a
n
?
29. （本小题满分12分）
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直线
y?kx?b
与圆
x
2
?y
2
?4
交于
A
、
B
两点，记△
AOB
的面积为
S
（其
中
O
为坐标原点）．
（1）当
k?0
，
0?b?2
时，求
S
的最大值；
（2）当
b?2
，
S?1
时，求实数
k
的值．
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，
满分50分．
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
D B C A
A B C D C
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，
满分20分．
13．
x
2
?
?
y?2
?
?25
（或
x
2
?y
2
?4y?21?0
）
14．9
?
1
?
2
?
15．
?
0,??
?
（或
?
0,??
?
）
16．
?
，
2
??
2
11 12
C
13
14
15
16
B
三、解答题
24．解：（1）在△
ABC
中，
A?B?C?
?
，
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由角
A
，
B
，
C
成等差数列，得
2B?A?C
．
解得
B?
?
3
．
22
2
，即
sin
?
?
?C
?
?
，得
sinC?
．
2
22
（2）方法1：由
sin
?
A?B
?
?
所以
C?
?
4
或
C?
3
?
．
4
由（1）知
B?
所以
sinA?sin
?sin
?
?
3
，所以
C?<
br>?
4
，即
A?
5
?
．
12
5?
?
??
?
?sin
?
?
?
12
?
46
?
?
4
cos
?
6
?cos
?
4
sin
?
6
2321
???
2222
2?6
．
4
?
25. 解（Ⅰ）设
c?(x,y),?|c|?25,?x
2
?y
2
?25,?x
2<
br>?y
2
?20
?ca,a?(1,2),?2x?y?0,?y?2x
……2分
由
y?2x
x?y?20
22
∴
x?2
y?4
或
x??2
y??4
∴
c?(2,4),或c?(?2,?4)
……5分
（Ⅱ）
?(a?2b)?(2a?b),?(a?2b)?(2a?b)?0
……7分
2a?3a?b?2b?0,?2|a|
2
?3a?
b?2|b|
2
?0
……（※）
?|a
|
2
?5,|b|
2
?(
5
2
5
)?,<
br>代入（※）中,
24
22
?2?5?3a?b?2?
55
?0?a?b??
……10分
42
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?|a|?5,|b|?
5a?b
,?cos
?
??
2|a|?|b|
?
5?
5
2
5
2
??1,
26.（1）证明：连接
BD
交
AC
于点
O
，连接
EO
，
因为
ABCD
是正方形，所以点
O
是
BD
的中点．
因为点
E
是
PD
的中点，
所以
EO
是△
DPB
的中位线．
所以
PBPEO
．
因为
EO?
平面
ACE<
br>，
PB?
平面
ACE
，
所以
PBP
平面
ACE
．
（2）解：取
AD
的中点
H
，连接
EH
，
因为点
E
是
PD
的中点，所以
EHPPA
． <
br>因为
PA?
平面
ABCD
，所以
EH?
平面
ABCD
．
设
AB?x
，则
PA?AD?CD?x
，且
EH?
B
A
O
C
H
D
P
E
11
PA?x
．
22
1
所以
V<
br>E?ACD
?S
?ACD
?EH
3
11
???AD?CD?EH
32
1112
?gxgxgx?x
3
?
．
62123
解得
x?2
．
故
AB
的长为2．
27．解：（1）由题意可得，
解得
x?2
，
y?4
．
（2）记从兴趣小组
A
中抽取的2人为
a
1
，
a<
br>2
，从兴趣小组
B
中抽取的3人
为
b
1
，<
br>b
2
，
b
3
，则从兴趣小组
A
，
B
抽取的5人中选2人作专题发言的基
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x3y
??
，
243648
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本事件有
?
a
1
,a
2
?
，
?
a
1
,b
1
?
，
?
a
1
,b
2
?
，
?
a
1
,b
3
?
，?
a
2
,b
1
?
，
?
a
2<
br>,b
2
?
，
?
a
2
,b
3
?
，
?
b
1
,b
2
?
，
?
b
1
,b
3
?
，
?
b
2
,b<
br>3
?
共10种．
设选中的2人都来自兴趣小组
B
的事件为
X
，则
X
包含的基本事件有
?
b
1
,b<
br>2
?
，
?
b
1
,b
3
?
，
?
b
2
,b
3
?
共3种．
所以
P
?
X
?
?
3
．
10
3
．
10
故选中的2人都来自兴趣小组
B
的概率为
28．解：（1）因为数列
?
a
n
?
是首项为1，公比为2的等比数
列，
所以数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?2
n?1
．
因为数列
?
b
n
?<
br>的前
n
项和
S
n
?n
2
．
所以当
n
≥
2
时，
b
n
?S
n
?Sn?1
?n
2
?
?
n?1
?
?2n?1
，
当
n?1
时，
b
1
?S
1
?1?2
?1?1
，
所以数列
?
b
n
?
的通项公式为b
n
?2n?1
．
（2）由（1）可知，
b
n
2n?1
?
n?1
．
a
n
2
2
?
b
?
设数列
?
n
?
的前
n
项和为
T
n
，
?
a
n
?
3572n?32n?1
则
T
n
?1????L?
n?2
?
n?1
，
①
24822
113572n?32n?1
即
T
n
?????L?
n?1
?
n
，
②
22481622
111112n?1
①－②，得
T
n
?1?1????L?
n?2
?
n
224822
?
1
?
1?
??
2
?1?
??
1
1?
2
n?1
?
2n?1<
br>
2
n
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2n?3
，
2
n
2n?3<
br>所以
T
n
?6?
n?1
．
2
?3?
?
b
?
2n?3
故数列
?
n
?
的前
n
项和为
6?
n?1
．
2
?
a
n
?
29.解：（1）当
k?0
时，直线方程为
y?b
，
设点
A
的坐标为
(x
1
，b)
，点
B
的坐标为
(x
2
，b)
，
2
由
x
2
?
b
2
?4
，解得
x
1，2
??4?b
，
所以
AB?x
2
?x
1
?24?b
2
．
1
所以
S?gABgb
2
?b4?b
2
b
2
?4?b
2
≤?2
．
2
当且仅当<
br>b?4?b
2
，即
b?2
时，
S
取得最大值
2
．
（2）设圆心
O
到直线
y?kx?2
的距离为
d
，则
d?
因为圆的半径为
R?2
，
所以
2
k?1
2
．
AB2k
4
．
?R
2
?d
2
?4?
2
?
2
2k
?1
k?1
2k4k
12
于是
S?AB?d???
2
?1
，
22
2k?1
k?1k?1
即
k
2<
br>?4k?1?0
，解得
k?2?3
．
故实数
k
的值
为
2?3
，
2?3
，
?2?3
，
?2?3
．
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