高中数学会考知识点总结_(超级经典)讲课稿

高中数学会考知识点
总结_(超级经典)

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数学学业水平复习知识点

第一章 集合与简易逻辑
1、 集合
（1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。
（2）、集合的表示法：列举法（）、描述法（）、图示法（）；
（3）、集合的分类：有限 集、无限集和空集（记作
?
，
?
是任何集合的子集，是任何非空
集合 的真子集）；
（4）、元素a和集合A之间的关系：a
∈
A
，
或a
?
A；
（5）、常用数集：自然数集：N ；正整数集：N；整数集：Z ；整数：Z；有理数集：Q；
实数集：R。
2、子集
（1）、定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集 ；记作：A
?
B，
注意：A
?
B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ
（2）、性质：①、A?A,
?
?A
；②、若
A?B,B?C
，则
A?C< br>；③、若
A?B,B?A
则
A=B ；
3、真子集
（1）、定义：A是B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于A；记作：
A?B
；
（2）、性质：①、
A?
?
,
?
?A
；②、若A?B,B?C
，则
A?C
；
4、补集
①、定义：记作：
C
U
A?{x|x?U,且x?A}
；
（C
U
A）?A
； ②、性质：
A?C
U
A?< br>?
，A?C
U
A?U，C
U
C
U
A

A
5、交集与并集
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A
B

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（1）、交集：
A?B?{x|x?A且x?B}

性质：①、
A?A?A,A?
?
?
?
②、若
A?B?B
，则
B?A

（2）、并集：
A?B?{x|x?A或x?B}

性质：①、
A?A?A,A?
?
?A
②、若
A?B?B
，则
A?B



6、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）
判别式：△=b
2
-4ac
二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)

A
B
??0

y

O
y
??0


??0

y

的图象


一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根
x
1
x
2
x
O
x
1
=x
2
x
O
x
有两相异实数根
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

{x|x?x
1
,x?x
2
}

有两相等实数根
x
1
?x
2
??
{x|x??
b

2a
没有实数根

R
一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解
“＞”取两边
b
}

2a
集
一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解
{x|x
1
?x?x
2}

?

?

“＜”取中间
集
不等式解集的边界值是相应方程的解
含参数的不等式ax＋b x＋c>0恒成立问题
?
含参不等式ax＋b x＋c>0的解集是R；
其解答分a＝0(验证bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a<0且△<0）两种情况。

第二章 函数
22
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1、映射：按照某种对应法则f ，集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和
它对应，
记作f：A→B，若a?A,b?B
，且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。
2、函数： （1）、定义：设A，B是非空数集，若按某种确定的对应关系f，对于集合A中
的任意一个数x，集合 B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，就称f：A→B为集合A到集
合B的一个函数，记作y=f（ x），
（2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；自变量x的取值范围叫函数的定义域，函数值f（x）的范围叫函数的值域，定义域和值域都要用集合或区间表示；
（3）、函数的表示 法常用：解析法，列表法，图象法（画图象的三个步骤：列表、描点、
连线）；
（4）、区间：满足不等式
a?x?b
的实数x的集合叫闭区间，表示为：[a ，b]
满足不等式
a?x?b
的实数x的集合叫开区间，表示为：（a ，b） < br>满足不等式
a?x?b
或
a?x?b
的实数x的集合叫半开半闭区间， 分别表示为：[a ，b）或
（a ，b]；
（5）、求定义域的一般方法：①、整式：全体实数，例一次函数、二次函数的定义域为
R；
②、分式：分母
?0
，0次幂：底数
?0
，例：
y?
③、偶次根式：被开方式
?0
，例：
y?25?x
2

1
④、对数：真数
?0
，例：
y?log
a
(1?)

x
1

2?|3x|
（6）、求值域的一般方法：①、图象观察法：
y?0.2
|x|

1
②、单调函数：代入求值法：
y?log
2
(3x?1),x?[,3]

3
③、二次函 数：配方法：
y?x
2
?4x,x?[1,5)
，
y??x
2
?2x?2

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x

2x?1
2?sinx
⑤、“对称”分式：分离常数法：
y?
2?sinx
④、“一次”分式：反函数法：
y?
⑥、换元法：
y?x? 1?2x

（7）、求f（x）的一般方法：
①、待定系数法：一次函数f（x）， 且满足
3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17
，求f（x）
11
② 、配凑法：
f(x?)?x
2
?
2
,
求f（x）
x
x
③、换元法：
f(x?1)?x?2x
，求f（x）
④、解方程（方程组）：定义在（-1，0）∪（0，1）的函数f（x）满足
2f(x)?f(x)?
求f（x）
3、函数的单调性：
（1）、定义：区间D上任意两个值
x< br>1
,x
2
，若
x
1
?x
2
时有f(x
1
)?f(x
2
)
，称
f(x)
为D上 增
函数；
若
x
1
?x
2
时有
f(x1
)?f(x
2
)
，称
f(x)
为D上减函数。（一致 为增，不同为减）
（2）、区间D叫函数
f(x)
的单调区间，单调区间
?
定义域；
（3）、判断单调性的一般步骤：①、设，②、作差，③、变形，④、下结论
（4）、复合函数
y?f[h(x)]
的单调性：内外一致为增，内外不同为减； < br>4、反函数：函数
y?f(x)
的反函数为
y?f
?1
1，
x
(
x
)
；函数
y?f(x)
和
y ?f
?1
(x)
互为反函数；
?1
反函数的求法：①、由
y?f(x)
，解出
x?f
出
y?f
?1
?1
(< br>y
)
，②、
x,y
互换，写成
y?f(x)
，③、写
(
x
)
的定义域（即原函数的值域）；
?1
反函数的性质 ：函数
y?f(x)
的定义域、值域分别是其反函数
y?f
函数
y? f(x)
的图象和它的反函数
y?f
?1
(
x
)
的 值域、定义域；
(
x
)
的图象关于直线
y?x
对称； < br>点（a
，
b）关于直线
y?x
的对称点为（b
，
a） ；
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5、指数 及其运算性质：（1）、如果一个数的n次方根等于a（
n?1,n?N
*
），那么这 个数
叫a的n次方根；
n
?
a(a?0)
a
叫根式，当n 为奇数时，
a?a
；当n为偶数时，
a?|a|?
?

? a(a?0)
?
n
n
n
n
m
n
（2）、分 数指数幂：正分数指数幂：
a?a
；负分数指数幂：
a
n
m
?
m
n
?
1
a
m
n

0的正分数指数幂等于1，0的负分数指数幂没有意义（0的负数指数幂没有意义）；
（3） 、运算性质：当
a?0,b?0,r,s?Q
时：
a
r
?a
s
?a
r?s
,(a
r
)
s
?a
rs,(ab)
r
?a
r
b
r
，
r
a?a
；
1
r
6、对数及其运算性质：（1）、定义：如果
a
b
?N(a?0,a?1)
，数b叫以a为底N的对
数，记作
log
a
N
?
b
，其中a叫底数，N叫真数，以10为底叫常用对数：记为lgN，以
e=2.7182828…为底叫自然对数：记为lnN
（2）、性质：①：负数和零没有对 数，②、1的对数等于0：
log
a
1?0
，③、底的对数等于
1：
log
a
a?1
，④、积的对数：
log
a
(MN
)?log
a
M
?log
a
N
， 商的 对数：
log
a
M
?log
a
M?log
a
N
，
N
幂的对数：
log
a
M
n
?< br>n
log
a
M
， 方根的对数：
log
a
n
M?
7、指数函数和对数函数的图象性质
函数
定义


图象
（非奇非
偶）
指数函数
y?a
x
（
a?0且a?1
）
1
log
a
M
，
n
对数函数
y?log
a
x
（
a?0且a?1
）
a>1






1
O
x
y
y=a
x

0
y=a
x
y
a>1

y
y=log
a
x
0
y
x
1
O
O
x
1
x
O
1
y=log
a
x

定义域 （-∞，+∞） （-∞，+∞） （0，+∞） （0，+∞）
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值域 （0，+∞） （0，+∞） （-∞，+∞） （-∞，+∞）
在（0，+∞）
上是减函数
?
?0,x?1
?
x
?
?0,x?1

?
?0,0?x?1
?
性
单调性 在（-∞，+∞） 在（-∞，+∞） 在（0，+∞）



质
函数值
变化
上是增函数
?
?1,x?0
?
a
x
?
?1,x?0

?
?1,x?0
?
上是减函数
?
?1,x?0
?
a
x
?
?1,x?0

?
?1,x?0
?
上是增函数
?
?0,x?1
?
log
a
x
?
?0,x?1

log
a
?
?0,0?x?1
?
图 定 点

图象
?a
0
?1,?
过定点（0，1）
?a
x
?0,?
图象在x轴上方
?log
a
1?0,?
过定点（1，0）
?x?0,?
图象在y轴右边
象
特征
图象
关系

第三章 数列
（一）、数列：（1）、定义：按一定次序排列的一列数叫数列；每个数都叫数列的项；
数列 是特殊的函数：定义域：正整数集
N
?
（或它的有限子集{1，2，3，…，n}），
值域：数列本身，对应法则：数列的通项公式；
（2）、通项公式：数列{
a
n
}的第n项
a
n
与n之间的函数关系式；例：数列1，2，…，n的通项公式
a
n
= n
1，-1，1，-1，…，的通项公式
a
n
=
(?1)
n?1
； 0，1，0，1，0，…，的通项公 式
1?(?1)
n
a
n
?

2
y?ax
的图象与
y?log
a
x
的图象关于直线
y?x对称
（3）、递推公式：已知数列{
a
n
}的第一项，且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间
的关系用一个 公式表示，这个公式叫递推公式；例：数列{
a
n
}：
a
1
?1
，
a
n
?1?
数列{
a
n
}的各项。
（4）、数列的前n项和：
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
； 数 列前n项和与通项的关系：
?
a
1
?S
1
(n?1)
a
n
?
?

S?S(n?2)
n?1
?
n
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1
a
n?1
，求

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（二）、等差数列 ：（1）、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等
于 同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用
字母d表示。
（2）、通项公式：
a
n
?
a
1
?(
n< br>?1)
d
（其中首项是
a
1
，公差是
d
； 整理后是关于n的一次函
数），
（3）、前n项和：1．
S
n
?
二次函数）
（4）、等差 中项：如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项。即：
A?
a?b
2n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
d
（整理后是 关于 2.
S
n
?na
1
?
2
2
n的 没有常数项的
或
2A?a?b

[说明]：在一个等差数列中，从第2项起， 每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前
一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与 其等距离的前后两项的等差中项。
（5）、等差数列的判定方法：
①、定义法：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n?1
?a
n< br>?d
(常数)，则数列
?
a
n
?
是等差数列。 < br>②、等差中项：对于数列
?
a
n
?
，若
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
，则数列
?
a
n
?
是等差数列。
（6）、等差数列的性质：
①、等差数列任意两项间的 关系：如果
a
n
是等差数列的第
n
项，
a
m
是等差数列的第
m
项，
且
m?n
，公差为
d
，则 有
a
n
?a
m
?(n?m)d

②、等差数列?
a
n
?
，若
n?m?p?q
，则
a
n
?a
m
?a
p
?a
q
。
?a
n
?????
a
1
??????
a,a,a,?,a
n?2
,a
n?1
,a
n

?
a
2
?< br>a
n?1
?
a
3
?
a
n?2
???
，如图所示：
1
?
2
?
3
???????
a
2
?a
n?1
也就是：
a
1
?
a
n
③、若数列
?
a
n
?
是等差数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
*
，那么
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2k
成
等差数列。
????????????
S
?
3k
?? ??????????
?a?a???a?a
1
???a
2k
?a< br>2k?1
???a
3k

如下图所示：
a
?
1
??
2
??
3
????
k
?
k?
?????????????
S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k
④、设数列
?
a
n
?是等差数列，
S
奇
是奇数项的和，
S
偶
是偶数项项的和 ，
S
n
是前n项的和，
S
n
?S
奇
?S
偶
则有：前n项的和， 当n为偶 数时，
S
偶
?S
奇
?
n
d
2
，其 中d为公差；
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当n为奇数时，则
S
奇
?S
偶
?a
中
，
项）。
S
奇
?
n?1n?1
a
中
S
偶< br>?a
中
a
22
，（其中
中
是等差数列的中间一
'
⑤、等差数列
?
a
n
?
的前
2n?1
项的和为
S
2n?1
，等差数列
?
b
n
?
的前
2n?1
项的和为
S
2n?1
，则
a
n
S
2n?1
?
'
b
n
S
2n?1
。 < br>（三）、等比数列：（1）、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等
于同一 个常数，
那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示
（
q?0
）。
（2）、通项公式：
a
n
?a
1
q
n?1
（其中：首项是
a
1
，公比是
q
）
na
1
,(q?1)
?
?
（3）、前n项和]
S
n
?
?
a
1
?a
n
q
a1
(1?q
n
)
（推导方法：乘公比，错位相减）
?,(q? 1)
?
1?q
?
1?q
a?aq
a
1
(1 ?q
n
)
(
q?
1)

○
说明：①< br>S
n
?
2
S
n
?
1n
(q?1)< br>
1?q
1?q
3当
q?1
时为常数列，
S< br>n
?na
1
，非0的常数列既是等差数列，也是等比数列
○
（4）、等比中项：
如果在
a
与
b
之间插入一 个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的等比中
项。
也就是，如果是的等比中项，那么
（5）、等比数列的判定方法：
①、定义法：对于 数列
?
a
n
?
，若
a
n?1
?q(q?0 )
，则数列
?
a
n
?
是等比数列。
a
n
Gb
?
aG
，即
G
2
?ab
（或
G??ab
，等比中项有两个）
2
②、等比中项：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n
a
n?2
?a
n? 1
，则数列
?
a
n
?
是等比数列。
（6）、等比数列的性质：
①、等比数列任意两项间的关系：如果
a
n是等比数列的第
n
项，
a
m
是等比数列的第
m
项，
且
m?n
，
公比为
q
，则有
a
n< br>?a
m
q
n?m

②、对于等比数列
?
a< br>n
?
，若
n?m?u?v
，则
a
n
?am
?a
u
?a
v

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1
? a
n
?????
a
??????
,a,?,a
n?2
,a
n?1
,a
n
。如图所示：
a
1
,a?
2
?
3
???????
也就是：
a
1
?
a
n
?
a
2
?
a
n?1
?< br>a
3
?
a
n?2
???
a
2
?a< br>n?1
③、若数列
?
a
n
?
是等比数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
*
，那么
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2 k
成等
比数列。
????????????
S
?
3k????????????
?a?a???a?a
1
???a
2k
?a
2k?1
???a
3k

如下图所示：
a
?
1
??
2
??
3
????
k
?
k ?
?????????????
S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k
（7）、求数列的前n项和的常用方法：分析通项， 寻求解法
1?2?3???n?
n(n?1)
，
1?3?5???(2n ?1)?n
2
，
2
1
n(n?1)(2n?1)

6
1
2
?2
2
?3
2
???n
2
?
①公式法：“差比之和”的数列：
(2?3?5
?1
)?(2?3?5?2
)???(2?3?5
?n
)?

②、并项法：
1?2?3?4???(?1)
n?1
n?

③、裂项相消法：1?
1
1?2
?
1
2?3
?
111
? ????

26(n?1)n
1
3?4
???
1
n ?n?1
?

④、到序相加法：
⑤、错位相减法：“差比之积”的数列：< br>1?2x?3x
2
???nx
n?1
?


第四章 三角函数
1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋 转负角，不做任何
旋转零角；
（2）、与
?
终边相同的角，连同角
?
在内，都可以表示为集合{
?
|
?
?
?
?k?3 60
?
,k?Z
}
（3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合， 始边与x轴的非负半轴重合，角的
终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个 角不属于任何象限。
2、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度 做单位叫弧
度制。
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180
?
（2）、度数与弧度数的换算：
180
?
?
?
弧度，1弧度
?()?57
?
18< br>'

?
y
（3）、弧长公式：
l?|
?
|r
（
?
是角的弧度数）
扇形面积：
S?


11
lr??|
?
|r
2

22
P（x，
r?x
2
?y
2
?0

y）
0
?

x
3、三角函数 （1）、定义：（如图） （2）、各象限的符号：
y
y
y
_
_
yyr
+
+
+
+
sin
?
?　　　tan
?
?　　　sec
?
?　　
rx x
O
x
x
O x
O

_
_
_
_
xxr
+
+
cos
?
?　　 　cot
?
?　　　csc
?
?
ryy
tan
?< br>
cos
?

sin
?

（3）、 特殊角的三角函数值
?
的角
度
0?

30?

45?

60?

90?

120?

135?

150?

180?

270?

360?

5
?

6
?
的弧
度
0

?

6
1

2
3

2
3

3
?

4
2

2
2

2
?

3
3

2
?

2
2
?

3
3

2
3
?

4
2

2
?

3
?

2
2
?

sin
?

cos
?

0

1

0

—
1

2
0

?1

0

—
0

1

0

1

2
3

?
1

2
?3

?
2

?
3

22
?1

0

1

0

tan
?

1

?1

?
3

3
4、同角三角函数基本关系式
sin
?

（１）平方关系： （２）商数关系： （３）倒数关系：
cos
?

sin
2
?
?cos
2
?
?1

tan
?
?
1?tan
2
?
?sec
2
?

cot
?
?
sin
?

tan
?
cot
?
?1

cos
?
tan
?

1
cot
?

cos
?

sin
?
csc
?
?1

sin
?
1?cot
2
?
?csc
2
?

cos
?
sec
?
?1

sec
?

csc
?

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（4）同角三角函数的常见变形：（活用“1”）
①、
sin
2
?
?1?cos
2
?
， < br>sin
?
??1?cos
2
?
；
cos
2< br>?
?1?sin
2
?
，
cos
?
??1?sin
2
?
；
cos
2
?
?sin
2
?
2
cos
2
?
?sin
2
?
2cos2
?
②
tan
?
? cot
?
?
，
cot
?
?tan
?
??
??2cot2
?

sin
?
cos
?sin2
?
sin
?
cos
?
sin2
?③
(sin
?
?cos
?
)
2
?1?2sin
?
cos
?
?1?sin2
?
，
1?si n2
?
?|sin
?
?cos
?
|

5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）
公式一：
sin(
?
?k?360?)?sin
?　　
cos(
?
?k?360?)?cos< br>?　　
tan(
?
?k?360?)?tan
?




公式二： 公式三： 公式四： 公式五：
sin(180??
?
)?sin< br>?
sin(?
?
)??sin
?
sin(360??
?
)??sin
?　　
cos(180??
?
)??cos
?

cos(180??
?
)??cos
?

cos(?
?
)?cos
?

cos(360??
?
)?cos
?　　

tan(??
)??tan
?
tan(180??
?
)??tan
?
tan(180??
?
)?tan
?
tan(360??
?
)??tan
?
sin(180??
?
)??sin
?< br>sin(
3
?
3
?
sin(?
?
)??co s
?
sin(?
?
)??cos
?
sin(?
?< br>)?cos
?
2
2
2
2
补充：
cos(?
?
?
)?sin
?

cos(
?
?
?
)??sin
?

cos(
3
?
?
?
)??sin
?

cos(
3
?
?
?
)?sin
?

2
2
2
2
3
?
?
3
?
?
tan(?
?
)??cot
?
tan(?
?
)?cot< br>?
tan(?
?
)??cot
?
tan(?
?
)?cot
?
2
2
2
2
?
?
?
)?cos
?
?
6、两角和与差的正弦、余弦、正切
S
(
?
?
?
)
：
sin(
?
?
?
)? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

S
(
?
?
?
)
：
sin(
??
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

C
(
?
?
?
)
：< br>cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin?
sin
?

C
(
?
?
?
)
：
cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

T
(
?
?
?
)
：
tan(
?
?
?
)?
tan?
?tan
?
tan
?
?tan
?

T
(
?
?
?
)
：
tan(
??
?
)?

1?tan
?
tan
?
1 ?tan
?
tan
?
T
(
?
?
?
)
的整式形式为：
tan
?
?tan
?
?tan(
?
?
?
)?(1?tan
?
tan
?
)

例：若
A?B?45?
，则
(1?tanA)(1?tanB)?2
．（反之不一定成立）
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8、二倍角公式：（1）、
S
2
?
：
sin2
?
?2sin
?
cos
?
（2）、降次公式：（多用于研究
性质）

C
2
?
：
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?

sin
?
cos
?
?
1
sin2
?

2
1?cos2
?
11

?1?2sin
2
?
?2cos
2
?
?1

sin
2
?
???cos2
?
?

222
2tan
?
1?cos2
?
11
2
T
2< br>?
：
tan2
?
?
< br>cos
?
??cos2
?
?
2
222
1?t an
?
1?cos2
?
?2|cos
?
|
； （3 ）、二倍角公式的常用变形：①、
1?cos2
?
?2|sin
?
|
，
11
?cos2
?
?|cos
?
|
②、
1
?
1
cos2
?
?|sin
?
|< br>，
22
22
sin
2
2
?
③、
sin
?
?cos
?
?1?2sin
?
cos
?< br>?1?
；
cos
4
?
?sin
4
?< br>?cos2
?
；
2
4422
④半角：
sin
?
2
??
1?cos
?
?
1?cos
?
，
cos??
，
222
tan
?
2
??
s in
?
1?cos
?
1?cos
?

??
sin
?
1?cos
?
1?cos
?
9、三角函数的图象性 质
（1）、函数的周期性：①、定义：对于函数f（x），若存在一个非零常数T，当x取定义
域内的每一个值时，都有：f（x+T）= f（x），那么函数f（x）叫周期函数，非零常数T叫
这个函数的周期；
②、如果函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f（x）的最
小正周期。
（2）、函数的奇偶性：①、定义：对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，
都有：f（-x）= - f（x），则称f（x）是奇函数，f（-x）= f（x），则称f（x）是偶函数
②、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；
③、奇函数，偶函数的定义域关于原点对称；
（3）、正弦、余弦、正切函数的性质（
k?Z
）
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函数 定义域 值域 周期性 奇偶
性
递增区间 递减区间
y?sinx

x?R

[-1，1]
T?2
?

奇函
数
?
?
?
?
??2k
?
, ?2k
?
?

?
2
?
2
?
3?
?
?
?

?2k
?
,?2k
???
22
??
y?cosx

x?R

[-1，1]
T?2
?

偶函
数
?
(2k?1)
?
,2k
?
?

?
?
?
?
?
??k
?
,?k
?
?

2
?
2
?
?
2k
?
,(2k?1)
?
?


y?tanx

{x|x?
?
2
?k
?
}

（-∞,+
∞）
T?
?

奇函
数
y? sinx
图象的五个关键点：（0，0），（
3
?
?
，1），（?
，0），（，-1），（
2
?
，
2
2
0）；
3
?
?
，0），（
2
?
，
y?cosx< br>图象的五个关键点：（0，1），（
，0），（
?
，-1），（
22
y
1）；
y?sinx
1
?
3
?
?
?
?

2
2

?
0
?
2
?
x




2


-1

y







?
?
?
?

3
?

?
2
y
?
?
2
?

o
?

2
3
?

x
2

?
?
2

1
0
-1
y?cosx

?
2

?


3
?
2

y?tanx

2
?

x
y?sinx
的对称中心为（
k
?
,0
）；对 称轴是直线
x?k
?
?
?
2
；
y?Asin (
?
x?
?
)
的周期
T?
2
?
?
；
y?cosx
的对称中心为（
k
?
?
T?2
?
?
2
,0
）；对称轴是直线
x?k
?；
y?Acos(
?
x?
?
)
的周期
?
；
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y?tanx
的对称中心为点（
k
?
,0
）和点（
k
?
?
T?
?
2
,0
）；
y?Atan(
?
x?
?
)
的周期
?
；
?
(4)、函数
y?Asin(
?
x?
?
)(A? 0,
?
?0)
的相关概念：
函数 定义域 值域 振幅 周期 频率 相位 初
相
y?Asin(
?
x?
?
)

图象
x?R

[-A，
A]
A
T?
2
?
?

f?
1
?

?
T2
?
?
x?
?

?

五点法
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象与y?sinx
的关系：
①振幅变换：
y?sinx

y?Asinx

当
0?
A
?1
时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A
倍
1
当时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍
?
?1

?
1
②周期变换：
y?sinx

y?sin
?
x

当
0?
?
?1
时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的
?
倍
?
?0
时，图象上的各点向左平移个单位倍

当
?
当
?
?0
时，图象上的各点向右平移
|
?
|
个单 位倍
③相位变换：
y?sinx

y?sin(x?
?
)

当A
?1
时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍
?
个单位倍
?
?
④平移变换：
y?Asin
?
x

|
个单位倍 当
?
?0
时，图象上的各点向右平移
|
?
y?Asin(
?
x?
?
)


当
?
?0
时，图象上的各点向左平移

常叙述成： ①把< br>y?sinx
上的所有点向左（
?
?0
时
）或向右（
?
?0
时
）平移|
?
|个单位得到
y?sin(x?
?
)
；
②再把
y?sin(x?
?
)
的所有点 的横坐标缩短（
?
?1
）或伸长（
0?
?
?1
）到 原来的
（纵坐标不变）得到
y?sin(
?
x?
?
)
；
1
倍
?
③再把
y?sin(
?
x?
?
)
的所有点的纵坐标伸长（
A?1
）或缩短（
0?
A?1
）到原来的
A
倍
（横坐标不变）得到
y?Asin(
?x?
?
)
的图象。
先平移后伸缩的叙述方向：
y?Asin(
?
x?
?
)

先平移后伸缩的叙述方向：
y?A
sin(
?
x?
?
)
?A
sin[
?(
x?
?
)]

?
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第五章、平面向量
1、空间向量：（1）定义：既有大小又有方向的量 叫做向量，向量都可用同一平面内的有向
线段表示。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作
0
；零向量的方向是任意的。
（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量
a
平行的单位向量：e??
a
|a|
；
（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行 向量也叫共线向量，记作
ab
；规定
0
与任何向量平行；
（5）相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等；
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
2、向量的运算：（1）、向量的加减法：







a

a?b

b

a

a

b

a?b

a

a?b

向量的加
三角形法
b

平行四边形法
a

b

b

向量的减
a

b

指向被减
首位连结
（ 2）、实数与向量的积：①、定义：实数
?
与向量
a
的积是一个向量，记作：
?
a
；
②：它的长度：
|
?
a|?|
?
|?|a|
；
③：它的方向：当
?
?0
，
?
a
与向量
a
的方向相同；当
?
?0
，
?
a
与向量
a< br>的方向相反；当
?
?0
时，
?
a
=
0
；
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3、平 面向量基本定理：如果
e
1
,e
2
是同一平面内的两个不共线的向量 ，那么对平面内的任一
向量
a
，有且只有一对实数
?
1
,< br>?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
；
不共线的向量
e
1
,e2
叫这个平面内所有向量的一组基向量，{
e
1
,e
2
}叫基底。
4、平面向量的坐标运算：（１）运算性质：
a?b?b?a,a?b?c?a? b?c,a?0?0?a?a

（２）坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

设A、B两点的坐标分别为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1?
.
（3）实数与向量的积的运算律: 设
a?
?
x,y?
，则λ
a?
?
?
x,y
?
?
??
x,
?
y
?
，
?
????
0
?
（4）平面向量的数量积：①、 定义：
a ?b?a?bcos
?
?
a?0,b?0,0?
?
?180
0
?
，
??
??
????
????
????< br>?
?
?
0?a?0
.
①、平面向量的数量积的几何意义：向 量
a
的长度|
a
|与
b
在
a
的方向上的投 影|
b
|
cos
?
的乘
积；
③、坐标运算:设< br>a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x< br>2
?y
1
y
2
；
向量
a
的模|
a
|：
|
a
|
2
?a?a
?x
2
?y
2
；模|
a
|
?x
2
?y
2

④、设
?
是向量
a?
?
x
1
, y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?< br>的夹角，则
cos
?
?
??
????
x
1< br>x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
22
x
2
?y
2
22
，
a

?
b
?a?b?0

5、重要结论：（1）、两个向量平行的充要条件：
ab?a?
?
b

(
?
?R)

设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
ab
?
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

（2）、两个非零向量垂直的充要条件：
a
?
b
?
a
?
b
?0

设
a?
?
x
1,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y< br>2
?
0

（3）、两点
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
的距离：
|AB|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

????
??
????
??
????
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（4）、P分线段P
1
P
2
的：设P（x，y） ，P
1
（x
1
，y
1
） ，P
2
（x
2
，y
2
） ，且
P
1
P?
?
PP
2
，
（即
?
??
|P
1
P|
|PP
2
|
??
）
?
x?
?
?
则定比分点坐标公式
?
?
y?
?
?
x
1
?
?
x
2
x1
?x
2
?
x?
?
1?
?
， 中点坐标公式
?
2

?
y
1
?
?
y
2
?
y?
y
1
?y
2
?
1?
?
2
?
?
'
?
?
x?x?h,（5）、平移公式：如果点 P（x，y）按向量
a?
?
h,k
?
平移至P′（x′，y′），则
?
'

?
?
y?y?k.
6、解三角形：（1）三角形的面积公式：
S< br>?
?
（2）在△
ABC
中：
A?B?C?180?
，
111
ab
sin
C
?
ac
sin
B?
bcsinA

222
因为
A?B?180??C
：
sin(A?B)?sinC
，
cos(A?B)??cosC
，
tan(A?B)??tanC

因为
A?B
?90??
C
：
sin(
A?B
)?cos
C
，
cos(
A?B
)?sin
C
，
tan(
A?B
)?cot
C

222222
22
（3）正弦定理，余弦定理
①正弦定理：
abc
???2R,边用角表示：a?2RsinA,　b?2RsinB，　c?2Rsin
sinAsinBsinC
a
2
?b
2
?c
2
?2bc?cosA
②余弦定理：
b
2
?a
2
?c
2
?2ac?cosB
a
2
?b
2
?c
2
??ab
若：
a
2
?b
2
?c
2
??2a b
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC?(a?b )
2
?2ab(1?cocC)
则：
a
2
?b
2
?c
2
??3ab
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
　　　　
cosB?
　　　　
cosC?
求角：
cosA?

2bc2ac2ab

第六章：不等式
1、不等式的性质：（1）、对称性：
a?b?b?a
；
（2）、传递性：
a?b,b?c?a?c
；
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精品文档
（3）、a?b?a?c?b?c
；
a?b,c?d?a?c?b?d

（4）、
a?b,
若
c?0?ac?bc
，若
c?0?ac?bc
；
a?b?0,c?d?0?ac?bd

y
（5）、
a?b?0? a
n
?b
n
,
n
a?
n
b,(n?N,n ?1)
（没有减法、除法）
1、均值不等式：
（1）、

（2）、
a?b?2ab
或
ab?(
（
ab?
a
2
?b
2
）

2
2a
?a
a
?2a
a?b
2
)
一正、二定、三相等
2
x
不满足相等条件时，注意应用函数
f(x)?x?
1
图象性质（如图）
x
应用：证明（注意1的技巧），求最值，实际应用
（3）、对于n个正数：
a
1
,
a
2
,
a
3
?
,
a
n
(
n?
2)
，
那么：
数；
3、不等式的证明，常用方法：
（1）比较法：①、作差：
a?b?0?a?b,a ?b?0?a?b
，（作差、变形、确定符号）
②、作商：
a
?1(b?0 )?a?b(b?0),
a
?1(b?0)?a?b(b?0)

bb
a
1
?a
2
???a
n
叫做n个正数的算术平均数，n
a
1
a
2
?a
n
叫做n个正数的几何平均< br>n
（2）综合法：由因到果，格式：
??,　??;　　??,　??;

??，　??，　??，
（3）分析法：执果索因，格式：原式
?，　

（4）反证法：从结论的反面出发，导出矛盾。
4、不等式的解法：（不等式解集的边界值是相应方程的解）
一元二次不等式（
x< br>2
的系数为正数）：
??0
时“>”取两边,“<”取中间
绝对值不等式：含一个绝对值符号的：“>”取两边,“<”取中间
含两个绝对值符号的： 零点分段讨论法（注意取“交”，还是取“并”）
高次不等式的解法：根轴法 （重根：奇穿偶不穿）
分式不等式的解法：移项、通分、根轴法
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