【高中会考】2019年高二数学会考测试题(word版含答案)

2019年高二数学会考测试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集
U?
?
1,2,3,4 ,5,6,7,8
?
，集合
A?
?
2,4,6,8
?
，
B?
?
1,2,3,6,7
?
，则
A?(C
U
B)?
（ ）
A．
?
2,4,6,8
?
B．
?
1,3,7
?
C．
?
4,8
?
D．
?
2,6
?

2．直线
3x?y?0
的倾斜角为（ ）
A．
?
?
2
?
5
?
B． C． D．
36
63
甲
乙
6
8 9 0
5
7
8
5
7 9
1 1
3 5

4
2
5
图1
3．函数
y?x?1
的定义域为（ ）
A．
?
??,1
?
B．
?
??,1
?
C．
?
1,??
?
D．
?
1,??
?

4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情
况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为（ ）
A．14、12 B．13、12
C．14、13 D．12、14
5．在边长为1的正方形
ABCD
内随机取一点
P
，则点
P
到点
A
的距离小于1的概率为（ ）
A．
?
?
?
?
B．
1?
C． D．
1?

4488
o
6．已知向量
a
与
b
的夹角为
120
，且
a?b?1
，则
a－b
等于 （ ）
A．1 B．
3
C．2 D．3
7．有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示（单位：cm），则该几何体的表面积为（ ）
．．．
5
6
5
6
主视图
侧视图
俯视图
2
图2

22

A．
12
?
cm
B.
15
?
cm


C.

24
?
cm
x
D.
36
?
cm

2
?
1
?
8．若
2?x?3
，
P?
??
，
Q?log
2
x
，
R?x
，则
P
，
Q
，
R
的大小关系是（ ）
?
2
?

第 1 页 共 11 页

A．
Q?P?R
B．
Q?R?P
C．
P?R?Q
D．
P?Q?R

?
?
的图像如图3所示，则函数
f(x)
的解析式是（ ） 9．已知函数
f(x)?2sin(
?
x?
?
)
?
?
?
?0,
?
?
?
?
2
?
10< br>?
?
B．
?
??
10
A．
f(x)?2sin
?
x?
f(x)?2sin
?
x?
?< br>
??
?
116
?
?
116
?
y
1
O
?
?
D．
?
??
C．
f(x)?2sin
?
2x?
f(x)?2sin
?
2x?
?

??
6
?
6
?
?
?< br>10．一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是
最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为（ ）
A．
11
?
12
x
37
7
3
1
B． C． D．
8
4
8
4
图3
11.
在等差数列
?
a
n
?
中，

a
2
?a
8
?4
,
则

其前
9
项的和
S
9
等于
( )
A
．
18 B
．
27 C
．
36 D
．
9
12.函数
f(x)?e?
1
的零点所在的区间是（ ）
x
1133
A．
(0,)

B．
(,1)
C．
(1,)
D．
(,2)

222
2
x

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13．圆心为点
?0,?2
?
，且过点
?
4，1
?
的圆的方程为 ．
14．如图4，函数
f
?
x
?
?2
，
g
?
x
?
?x
，若输入的
x
值为3，则输出的h
?
x
?
的值为 .
x2


第 2 页 共 11 页

?
x?y?2
≥0，
?
15．设不等式组
?
x?3y?6
≥0,
表示的 平面区域为D，若直线
kx?y?k?0
上存在区域D上的点，则
k
的
?
x?y
≤
0
?
取值范围是 ．
16 ．若函数
f
?
x
?
?
?
a?2
?
x
2
?
?
a?1
?
x?3
是偶函数，则函数
f
?
x
?
的单调递减区间为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17．（本小题满分10分）
在△
ABC
中，角
A
，B
，
C
成等差数列．
（1）求角
B
的大小；（2）若
sin
?
A?B
?
?
2
，求
sinA的值．
2










18．（本小题满分12分）某校在高二年级开设了
A
，
B
，
C
三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情
况进行调查，用分层抽 样方法从
A
，
B
，
C
三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组 成调查小组，有关数据
见下表（单位：人）
（1）求
x
，
y
的值；
（2）若从
A
，
B
两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣小组
B
的 概率．


兴趣小组 小组人数 抽取人数

x

24
A


36 3
B


y

48
C














第 3 页 共 11 页

19． （本小题满分12分）如图5，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
为正 方形，
PA?
平面
ABCD
，
PA?AB
，点
E< br>是
PD
的中点．
（1）求证：
PB
平面
ACE；（2）若四面体
E?ACD
的体积为
P
2
，求
AB
的长．
3
E
A
B
图5










20．（本小题满分12分）
C
D

2
已知数列
?
a
n
?
是首项为1，公比为2的等比数列，数列
?
b
n
?
的前
n
项和
S
n
?n
．
?
b
n
?
（1）求数列
?
a< br>n
?
与
?
b
n
?
的通项公式；（2）求数列
??
的前
n
项和．
?
a
n
?










第 4 页 共 11 页

21.（本小题满分12分）
直线
y?kx?b
与圆
x?y?4< br>交于
A
、
B
两点，记△
AOB
的面积为
S< br>（其中
O
为坐标原点）．
（1）当
k?0
，
0?b?2
时，求
S
的最大值；
（2）当
b?2
，
S?1
时，求实数
k
的值．














22.（本小题满分12分）
已知函数
f
?
x
?
?ax?x?1?3a
?
a?R
?
在区间< br>?
?1,1
?
上有零点，求实数
a
的取值范围．
2
22










第 5 页 共 11 页

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
题号
答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B
11

12
D B C A A B C D C

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．
2
13．
x?
?
y?2
?
?25
（或
x? y?4y?21?0
） 14．9
22
2
2
?
15．
?
0,??
?
（或
?
0,??
?
） 16．
?
，
三、解答题
17．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分．
解：（1）在△
ABC
中，
A?B?C?
?
，
由角
A
，
B
，
C
成等差数列，得
2B?A?C． 解得
B?
（2）方法1：由
sin
?
A?B
??
所以
C?
?
1
?
?
2
?
?
3
．
222
，即
sin
?
?
?C?
?
，得
sinC?
．
222
?
4
或
C?
3
?
．
4< br>由（1）知
B?
?
3
，所以
C?
?
4
，即
A?
5
?
．
12
所以
sinA?sin< br>5
?
????
?
??
?
?sin
?
?
?
?sincos?cossin

12
4646
?
46
?

?
23212?6
???

?
．
22224< br>2
?
3
?
，所以
A?B?
或
A?B?
．
2
44
方法2：因为
A
，
B
是△
A BC
的内角，且
sin
?
A?B
?
?
由（1）知< br>B?
?
3
，所以
A?B?
3
?
5
?
，即
A?
．以下同方法1．
412
方法3：由（1）知
B ?
?
3
，所以
sin
?
A?
?
?
?
?
??
2
2
sinAcos?cosAsin?
．即．
?
?
332
3
?
2

第 6 页 共 11 页

即
132
sinA?cosA?
．即
3c osA?2?sinA
．
222
22
即
3cosA?2?22sinA?sinA
．
因为
cosA?1?sinA
， 所以
31?sin
2
A?2?22sinA?sin
2
A
．
22
??
即
4sinA?22sinA?1?0
．解得
si nA?
因为角
A
是△
ABC
的内角，所以
sinA?0．
故
sinA?
2
2?6
．
4
2?6
．
4
18．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分．
解：（1）由题意可得，
x3y
， 解得
x?2
，
y?4
．
??
243648
（2 ）记从兴趣小组
A
中抽取的2人为
a
1
，
a
2，从兴趣小组
B
中抽取的3人为
b
1
，
b
2< br>，
b
3
，则从兴趣
小组
A
，
B
抽取 的5人中选2人作专题发言的基本事件有
?
a
1
,a
2
?< br>，
?
a
1
,b
1
?
，
?
a
1
,b
2
?
，
?
a
1
,b
3
?
，
?
a
2
,b
1
?
，?
a
2
,b
2
?
，
?
a
2< br>,b
3
?
，
?
b
1
,b
2
?
，
?
b
1
,b
3
?
，
?
b
2
,b
3
?
共10种．
设选中的2人都来自兴趣小 组
B
的事件为
X
，则
X
包含的基本事件有
?
b
1
,b
2
?
，
?
b
1
,b< br>3
?
，
?
b
2
,b
3
?
共 3
种． 所以
P
?
X
?
?
3
．
10
3
．
10
故选中的2人都来自兴趣小组
B
的概率为

19．本小 题主要考查直线与平面的位置关系、体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算
求解能力 ．满分14分．
P
（1）证明：连接
BD
交
AC
于点< br>O
，连接
EO
，
因为
ABCD
是正方形，所以点
O
是
BD
的中点．
因为点
E
是
PD
的中点，
所以
EO
是△
DPB
的中位线．
所以
PBPEO
．
因为
EO?
平面
ACE< br>，
PB?
平面
ACE
，
所以
PBP
平面
ACE
．
（2）解：取
AD
的中点
H
，连接
EH
，
因为点
E
是
PD
的中点，所以
EHPPA
．
B
A
O
C
H
D
E

第 7 页 共 11 页

因为
PA?
平面
ABC D
，所以
EH?
平面
ABCD
．
111
PA?x
． 所以
V
E?ACD
?S
?ACD
?EH

223
111
3
2
11

???AD?CD?EH
?gxgxgx?x?
． 解得
x?2
．故
AB
的长为2．
6212332
设AB?x
，则
PA?AD?CD?x
，且
EH?

20 ．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分．
解：（1）因为数列
?
a
n
?
是首项为1，公比为2的等比数列，
n?1
所以数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?2
．
2
因为数列
?
b
n
?
的前
n
项和
S
n
?n
．
2
所 以当
n
≥
2
时，
b
n
?S
n
?S
n?1
?n?
?
n?1
?
?2n?1
，
2
当
n?1
时，
b
1
?S
1
?1?2?1 ?1
，所以数列
?
b
n
?
的通项公式为
b
n
?2n?1
．
（2）由（1）可知，
?
b
?
b
n
2n?1
?
n?1
． 设数列
?
n
?
的前
n
项和为
T
n
，
a
n
2< br>?
a
n
?
3572n?32n?1
???L?
n?2
?
n?1
， ①
24822
113572n?32n?1
即
T
n
?????L?
n?1
?
n
， ②
22481622
则
T
n
?1?
?
1
?
1?
??
111112n?1
?
2
?
?1?
①－②，得
T
n
?1?1????L?
n?2
?
1
224822
n
1?
2

?3?
n?1
?
2n?1

2
n
?
b
n
?
2n?32n?32n?3
n
， 所以．故数列的前项和为．
T?6?6?
??
n
nn?1n?1
2 22
?
a
n
?
21．本小题主要考查直线与圆、基本不等式等基础知 识，考查运算求解能力．满分14分．
解：（1）当
k?0
时，直线方程为
y?b
，设点
A
的坐标为
(x
1
，b)
，点B
的坐标为
(x
2
，b)
，
2
由
x?b?4
，解得
x
1，
，所以
AB?x
2
?x< br>1
?24?b
．
??4?b
2
22
2
b
2
?4?b
2
1
2
?2
．
b
? b4?b
≤
所以
S?gABg
2
2
当且仅当
b?4 ?b
2
，即
b?2
时，
S
取得最大值
2
．
2
k?1
2
（2）设圆心
O
到直线
y?kx?2< br>的距离为
d
，则
d?
．
因为圆的半径为
R?2
，所以

AB2k
4
．
?R
2
?d
2
?4?
2
?
2
2k ?1
k?1
第 8 页 共 11 页

于是
S?
2 k4k
12
AB?d???
2
?1
，
22
2< br>k?1k?1
k?1
即
k
2
?4k?1?0
，解得< br>k?2?3
．
故实数
k
的值为
2?3
，
2 ?3
，
?2?3
，
?2?3
．
22．本小题主要考查二次 函数、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方
法．满分14分． 解法1：当
a?0
时，
f
?
x
?
?x?1，令
f
?
x
?
?0
，得
x?1
，是区 间
?
?1,1
?
上的零点．
当
a?0
时，函数< br>f
?
x
?
在区间
?
?1,1
?
上有 零点分为三种情况：
①方程
f
?
x
?
?0
在区间
?
?1,1
?
上有重根，
令
??1?4a
??1?3a
?
?0
，解得
a??
当
a??
当< br>a?
11
或
a?
．
62
1
时，令
f
?
x
?
?0
，得
x?3
，不是区间
?
?1,1
?
上的零点．
6
1
时，令
f
?
x
?
?0
，得
x??1
，是区间
?
?1 ,1
?
上的零点．
2
②若函数
y?f
?
x?
在区间
?
?1,1
?
上只有一个零点，但不是
f?
x
?
?0
的重根，
令
f
?
1?
f
?
?1
?
?4a
?
4a?2
?< br>≤0
，解得
0?a≤
1
．
2
③若函数
y ?f
?
x
?
在区间
?
?1,1
?
上有两个 零点，则
?
a?0,
?
a?0,
??
22
??? 12a?4a?1?0,???12a?4a?1?0,
??
??
11
??< br>?1???1,?1???1,
或
??
2a2a
??
?f
?
1
?
?0,
?
f
?
1
?
?0,
??
??
f-1?0.
??
??
f
?
-1
?
?0.
解得
a??
．
综上可知，实数
a
的取值范围为
?
0,
?
． < br>2
解法2：当
a?0
时，
f
?
x
?
?x?1
，令
f
?
x
?
?0
，得
x?1< br>，是区间
?
?1,1
?
上的零点．
当
a?0
时，
f
?
x
?
?ax?x?1?3a
在区间
?< br>?1,1
?
上有零点
?
x?3a?1?x
在区间
?< br>?1,1
?
上有解
2
2
?
1
?
??
??

第 9 页 共 11 页

?
a?
1?x1?x
在区间上有解． 问题转化为求函数在区间
?
?1,1
?
上的值域．
y?
?1,1
??
x
2
?3x
2
?3
设
t?1 ?x
，由
x?
?
?1,1
?
，得
t?
?< br>0,2
?
．且
y?
t
?
1?t
?
2
?3
?0
．
而
y?
t
?
1?t
?
2
?3
?
4
1
．设
g
?
t< br>?
?t?
，可以证明当
t?
?
0,2
?
时，
g
?
t
?
单调递减．
4
t
t??2< br>t
事实上，设
0?t
1
?t
2
?2
，则g
?
t
1
?
?g
?
t
2
?< br>?
?
t
1
?
?
?
4
??
4
?
?
t
1
?t
2
??
t
1
t
2
?4
?
，
?t?
??
2
?
?
t
1
??
t
2
?
t
1
t2
由
0?t
1
?t
2
?2
，得
t1
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2
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