2016年高中数学会考模拟试题

2016年高中数学会考模拟试题

一、选择题（共20个小题，每小题3分，共60分）
1．若集合
A?
?< br>x1?x?3
?
，集合
B?
?
xx?2
?
， 则
A?B?

（A）
?
x1?x?2
?
（B）
?
x1?x?2
?
（C）
?
xx?3
?

2．
tan330??

（A）
3
（B）
3

3


（D）
?
x2?x?3
?

（C）
?3
（D）
?
3

3
3
3．已知lg2=a，lg3=b,则
lg
=
2
（A）a?b （B）b?a
4．函数< br>f
?
x
?
?2sinxcosx
的最大值为
（A）
2
（B）
?2
（C）1 （D）
?1

（C）
b

a
（D）
a

b
5．随机投掷1枚骰子，掷出的点数恰好是3的倍数的概率为
（A）
1

2
1
（B）
3

1
（C）
5
（D）
1

6
6．在等比数列
{a
n
}
中 ，若
a
3
?2
，则
a
1
a
2
a< br>3
a
4
a
5
?

（A）8 （B）16 （C）32 （D）4
2

7．已知点
O
?
0,0
?
与点
A
?
0,2
?
分别在直线
y?x?m
的两侧，那么
m
的取值范围是
（A）
?2?m?0

（C）
m?0
或
m?2

（B）
0?m?2

（D）
m?0
或
m??2

8．如果直线ax+2y+1=0与直线x+3y－2=0互相垂直，那么a的值等于
（A）6 （B）－
3

2
（C）－1 （D）－6
?
??
9．函数
y?sin
?
2x?
?
图像的一个对称中心是
6
??
（A）
(?
?
12
,0)
（B）
(?
?
6
,0)
（C）
(,0)

6
?
（D）
(,0)

3
?
10．已知< br>a?0
且
a?1
，且
a
2
?a
3
， 那么函数
f
?
x
?
?a
x
的图像可能是
1

y
y y y
1
O
x
1
O
x
O
1
x
O 1
x
（A）
11．已知
f
?
x
?
?x?
（B） （C） （D）

1
，那么下列各式中，对任意不为零的实数
x
都成立的是
x
?
1
?
（B）
f
?
x
?
?f
??
（C）
f
?
x
?
?x
（D）
f
?
x
?
?2

?
x
?< br>（A）
f
?
x
?
?f
?
?x
?
12．如果一个几何体的三视图中至少有两个三角形，那么这个几何体不可能是
．．．
（C）圆锥
????
13．如图，D是△ABC的边AB的三等分点，则向量
CD
等于
（A）正三棱锥 （B）正三棱柱 （D）正四棱锥
????
2< br>????????
1
????
（A）
CA?AB
（B）
CA?AB

33
????
2
?????? ??
1
????
（C）
CB?AB
（D）
CB?AB

33
?1?2
B
D
C
A
3
1
3
14．有四个幂函数：①
f
?
x
?
?x
； ②
f
?
x
?
?x
； ③
f
?
x
?
?x
； ④
f
?
x
?
?x
.
某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质：
（1）定义域是{x| x?R，且x≠0}；
（2）值域是{y| y?R，且y≠0}.
如果这个同学给出的两个性质都是正确的，
那么他研究的函数是
（A）①
（C）③
（B）②
（D）④

S=0
k≤10
是
S = S+k

k = k +1

输出S
结束
否
开始
k=1
15．如果执行右面的程序框图，那么输出的S等于
（A）45 （B）55
（C）90 （D）110

16．若
b?0?a(a,b?R)
，则下列不等式中正确的是
（A）b
2
＜a
2
（B）
11
＞
ba
2
（C）?b＜?a （D）a?b＞a+b

17．某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否已接入宽带. 调查结果如下表
所示:
电话
已接入
未接入
新迁入的住户
30
65
原住户
65
40
则该小区已接入宽带的住户估计有
（A）3000户 （B）6500户 （C）9500户 （D）19000户
18．△
ABC
中，
?A ?45?
，
?B?105?
，
?A
的对边
a?2
， 则
?C
的对边
c
等于
（A）2 （B）
3
（C）
2
（D）1
19 ．半径是20cm的轮子按逆时针方向旋转，若轮周上一点转过的弧长是40cm,则轮子转过的弧
度数 是
（A）2 （B）?2 （C）4 （D）?4
20．如果方程x
2
－
4ax+3a
2
=0的 一根小于1，另一根大于1，那么实数a的取值范围是
1
（A）
?a?1
（B）
a?1

3
1
（C）
a?

3
（D）
a?1

二、填空题（共4道小题，每小题3分，共12分）
21．函数
f
?
x
?
?1?x
2
的定义域为_____________________ ___.
22．在
?1
和4之间插入两个数，使这4个数顺次构成等差数列，则插入 的两个数的和为____.
23．把函数
y?sin2x
的图象向左平移
?
个单位，得到的函数解析式为________________.
6
24．如图，单摆的摆线离开平衡位置的位移s (厘米)和
1
?
??
时间t (秒)的函数关系是
s?sin
?
2
?
t?
?
，则摆球
2
?
3
?
往复摆动一次所需要的时间是_____ 秒．
3

三、解答题（共3道小题，共28分）
25．（本小题满分8分）
如图，在直三棱柱
ABC?A
1
B1
C
1
中，
A
1
B
1
?B
1
C
1
，
E
、
F
分别是
A
1
B
、
A
1
C
的中点.
求证：（Ⅰ）EF∥平面ABC；
（Ⅱ）平面
A
1
FB
1
?
平面
BB
1
C
1
C
.

A
1
C
1
1


E

C
A


26．（本小题满分10分）
B
已知点
A(0,1)
，
B,C
是
x
轴上两点，且
BC?6
（B在C的左侧）.设
?ABC
的外接圆的圆心
F
B
为M
.
????????
（Ⅰ）已知
AB?AC??4
，试求直 线
AB
的方程；
（Ⅱ）当圆
M
与直线
y?9
相切 时，求圆
M
的方程；
（Ⅲ）设
AB?l
1
,AC?l2
，
s?
l
1
l
2
?
，试求
s
的最大值.
l
2
l
1


27．（本小题满分10分）
设函数
y?f(x)
的定义域为（0，+∞） ，且对任意的正实数
x,y
，均有
f(xy)?f(x)?f(y)
恒
成立. 已知
f(2)?1
，且当
x?1
时，
f(x)?0
. ?
1
?
（Ⅰ）求
f
??
的值，试判断
y?f( x)
在（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
?
2
?
（Ⅱ）一个 各项均为正数的数列
{a
n
}
，它的前n项和是
S
n
，若
a
1
?3
，且对于任意大于1的
正整数
n
， 均满足
f(S
n
)?f(a
n
)?f(a
n
?1) ?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数M，使
2
n
?a
1
?a
2
???a
n
?M?2n?3?
?
1?2a
1
?
?(
?
1?2a
2
?
?????
?< br>1?2a
n
?

对于一切正整数
n
均成立？若存在， 求出实数
M
的范围；若不存在，请说明理由.



4

2016年高中数学会考模拟试题答案
一、选择题：ADBCB；CBDAA；BBBAB；DCCAA；
?
??
二、填空题：
?
?1,1
?
；3；
y?sin
?
2 x?
?
；1
3
??
三、解答题（共3道小题，共28分）
25．（本小题满分8分）
如图，在直三棱柱
ABC?A
1
B1
C
1
中，
A
1
B
1
?B
1
C
1
，
E
、
F
分别是
A
1
B
、
A
1
C
的中点.
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）平面
A
1
FB
1
?
平面
BB
1
C
1
C
.
证明：∵
E
、
F
分别是
A
1
B
、
A
1
C
的中点，
∴
EFBC
.
又
EF?
平面ABC,
AB?
平面ABC,
∴ EF∥平面ABC.
（2）在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
BB
1?
平面
A
1
B
1
C
1
,
∵
A
1
B
1
?
平面
A
1
B
1
C
1
,
∴
A
1
B
1
?BB
1
.
A
1F
E
A
B
B
1
C
1
C
又 < br>A
1
B
1
?B
1
C
1
，
B B
1
?B
1
C
1
?B
1
,BB
1
,B
1
C
1
?
平面
BB
1
C1
C
.
∴
A
1
B
1
?
平 面
BB
1
C
1
C
又
A
1
B1
?
平面
A
1
FB
1
.
，

∴ 平面
A
1
FB
1
?
平面
BB
1
C
1
C
.
26．（本小题满分10分）
已知点A
?
0,1
?
，
B,C
是
x
轴上两点 ，且
BC?6
（B在C的左侧）.设
?ABC
的外接圆的圆心
为M
.
????????
（1）已知
AB?AC??4
，试求直 线
AB
的方程.
（2）当圆
M
与直线
y?9
相切 时，求圆
M
的方程.
（3）设
AB?l
1
,AC?l2
，
s?
l
1
l
2
?
，试求
s
的最大值.
l
2
l
1
y
M
A
B
C
x
解：（１）设
B
?
a,0
?
，则< br>C
?
a?6,0
?
．
????
????
A B?
?
a,?1
?
，
AC?
?
a?6,?1
?
，
5

????????
由
AB?AC??4
得
a
?
a?6
?
?1??4
，
解得：
a??1或?5
，
1
所以，直线
AB
的方程为
y?x?1或y?x?1
< br>5
（２）设圆心为
?
a,b
?
，半径为
r
， 则
?
a
2
?
?
b?1
?
2
?r ,
?
?
2

?
b?9?r,
?
9?b?r ,
?
?
解之得：
a??4,b?4,r?5
，
所以，圆< br>M
的方程为
?
x?4
?
?
?
y?4
?
?25
．
（３）设
B
?
m?3,0
?
,C
?
m?3,0
?
，则
l
1
?
l1
l
2
l
1
2
?l
2
2
所以 ，
s????
l
2
l
1
l
1
l
2
22
?
m?3
?
2
?1,l
2
?
?
m?3
?
2
?1
，
2
?
m
2
?10
?
?
m
2
?10
?
?36m
2
?210
，
2
等号当且仅当
m??10
时取得．
27．（本小题满分10分）
设函数
y?f(x)
的定义域为（0，+∞） ，且对任意的正实数
x,y
，均有
f(xy)?f(x)?f(y)
恒
成立. 已知
f(2)?1
，且当
x?1
时，
f(x)?0
. ?
1
?
（1）求
f
??
的值，试判断
y?f( x)
在（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
?
2
?
（2）一个 各项均为正数的数列
{a
n
}
，它的前n项和是
S
n
，若
a
1
?3
，且对于任意大于1的正整
数
n
， 均满足
f(S
n
)?f(a
n
)?f(a
n
?1) ?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数M，使
2
n
?a
1
?a
2
???a
n
?M?2n?3?
?
1?2a
1
?
?(
?
1?2a
2
?
?????
?< br>1?2a
n
?

对于一切正整数
n
均成立？若存在， 求出实数
M
的范围；若不存在，请说明理由.
解：（1）令
x?y?1，得
f
?
1
?
?0
．
1
?
1
?
，得
f
??
??1
．
2
?
2
?

f
?
x
?
在
(0,??)
上单调递增．
令
x?2,y?
6

任取
x
1
,x
2
?
?
0,??
?
，设
x
1
?x
2
，则
?
x
?
f
?
2
?
?0
．
?
x
1
?
?< br>x
?
x
在已知式中令
x?x
1
,y?
2，得：
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
?f
?
2
?
?0
，
x
1< br>?
x
1
?
x
2
?1
，故
x
1
所以，
f
?
x
?
在
(0,??)
上单调递增．
（2）当
n?2
时，因为
f(S
n
)?f(a
n
)?f(a
n
?1)?1
，即
f
?
2S
n
?
?f
?
a
n
?
a
n
?1< br>?
?
．
因为
f
?
x
?< br>在
(0,??)
上单调递增，所以
2S
n
?a
n?
a
n
?1
?
．
所以，
2 S
n?1
?a
n?1
?
a
n?1
?1
?< br>．
22
两式相减得：
2a
n?1
?an?1
?a
n?1
?a
n
?a
n
，即：
?
a
n?1
?a
n
??
a
n?1
?a< br>n
?1
?
?0
．
????
由于< br>a
n
?0
，所以，
a
n?1
?a
n
?1?0
．
即数列
?
a
n
?
从第二项起，是以1为公差的等差数列．
又
2
?
a
1
?a
2
?
?a
2?
a
2
?1
?
，
a
1
?3
， 故
a
2
?3
．
所以，当
n?2
时，
a
n
?n?1
．
n?1,
?
3,
综上，
a
n
?
?

?
n?1,n?2.
（3）当
n?1
时，不等式即
M??
当
n?2
时，不等式即
6
55
，①
2
n
?3?3?4?5???
?n?1
?
?M?2n?3?
?
?5
??
?5
? ?
?7
?
?
?
?1?2n
?

????? ?????????????
n?1项n?1项
2
n
?3?3?4?5??
?
?
n?1
?
?????????
若
n
为偶数，则化为
M?
n?1项
2n?3?5?5?7?
?
?
?
2n?1
?
???????
n?1项
，
2
n
?3?3?4?5?
?
?
?
n?1
?
? ????????
若
n
为奇数（
n?3
），则化为
M??
2
n
?3?3?4?5?
?
?
?
n?1?
?????????
n?1项
2n?3?5?5?7?
?
?< br>?
2n?1
?
???????
n?1项
．
设
b
n
?
n?1项
2n?3?5?5?7?
?
?< br>?
2n?1
?
???????
n?1项
，
则
b
n?1
2
?
n?2
?
2n?3
2n? 4
???1

b
n
2n?5
?
2n?3
?
2n?52n?3
96367
?M?

175175
所以，
b
2
?b
3
???b
n
??
． < br>所以，只需
?b
3
?M?b
2
，即
?
结合① 式，得
?
65367
?M?
．
25175
7