高中数学会考复习必背知识点

06年高中数学会考复习必背知识点
第一章 集合与简易逻辑
1、含n个元素的集合的所有子集有
2
n
个

第二章 函数
1、求
y?f(x)
的反函数：解出
x?f
?1
(y)，
x,y
互换，写出
y?f
?1
(x)
的定义域；
2、对数：①：负数和零没有对数，②、1的对数等于0：
log
a
1 ?0
，③、底的对数等于1：
log
a
a?1
，
④、积的 对数：
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
， 商的对数：
log
a
n
n
幂的对数：
lo g
a
M?nlog
a
M
；
log
a
mb?
M
?log
a
M?log
a
N
，
N
n
log
a
b
，
m
?
a
1
?S
1
(n?1)

S?S(n?2)
n?1
?
n
第三章 数列
1、数列的前 n项和：
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
； 数列前n项和与通项的关系：
a
n
?
?
2、等差数列 ：（1）、定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数；
（2）、通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
（其中首项是
a
1
，公差是
d
；）
（3）、前n项和：1 ．
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
2< br>?na
1
?
n(n?1)
d
（整理后是关于n的没有常数项的 二次函数）
2
a?b
或
2A?a?b
，三个数成等差常设：a-d，a，a+d
2
（4）、等差中项：
A
是
a
与
b
的等 差中项：
A?
3、等比数列：（1）、定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等 于同一个常数，（
q?0
）。
n?1
（2）、通项公式：
a
n
?a
1
q
（其中：首项是
a
1
，公比是
q
）
na
1
,(q?1)
?
?
n
（3 ）、前n项和：
S
n
?
?
a
1
?a
nq
a
1
(1?q)

?,(q?1)
?
1?q
?
1?q
（4）、等比中项： < br>G
是
a
与
b
的等比中项：
Gb
2
?
，即
G
aG
?ab
（或
G??ab
，等比中项有两 个）
第四章 三角函数
1、弧度制：（1）、
180
?
?
弧度，1弧度
?(
?
180
?

)
?
? 57
?
18
'
；弧长公式：
l?|
?
|r
（
?
是角的弧度数）
2、三角函数 （1）、定义：
sin
?
?
3、 特殊角的三角函数值
yxyxrr
　　 cos
?
?
　
　tan
?
?　　cot
?
?　　sec
?
?　　csc
?
?

rrxyxy
?
的角度
0?

?
的弧度
0

sin
?

cos
?

30?

45?

60?

90?

120?

135?

150?

180?

270?

360?

5
?

6
?

6
1

2
3

2
3

3
?

4
2

2
?

3
3

2
?

2
1

0

—
2
?

3
3

2
3
?

4
2

2
?

0

3
?

2
2
?

0

0

1

2
?
3

2
?
3

3
?1

0

—
1

0

2

2
1

2
3

?
1

2
?3

?
2

2
?1

0

1

0

tan
?

1

?1

4、同角三角函数基本关系式：
sin
?
?
cos
?
?
1

tan
?
?
22
sin
?

tan
?
cot
?
?1

cos
?
5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正
公式二： 公式三： 公式四： 公式五：
sin(180??
?
)?sin< br>?
tan(180??
?
)??tan
?
sin(180??
?
)??sin
?
tan(180??
?
)?tan
?
sin(?
?
)??sin
?
tan(?
?
) ??tan
?
sin(360??
?
)??sin
?　　
t an(360??
?
)??tan
?
cos(180??
?
)??cos
?

cos(180??
?
)??cos
?

cos(?
?
)?cos
?

cos(360??
?
)?cos
?　　

6、两角和与差的正弦、余弦、正切
S
(
?
?
?
)
：
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

S
(
?
?
?
)
：
sin(
?
?
?
) ?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

C
(
?
?
?
)
：
cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

C
(
?
?
?
)
：
cos( a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

T
(
?
?
?
)
： < br>tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan?

T
(
?
?
?
)
：
tan(
?< br>?
?
)?
tan
?
?tan
?

1 ?tan
?
tan
?
1?tan
?
tan
?
7、辅助角公式：
asinx?bcosx?a
2
?b
2
?
?
??
ab
?
sinx?cosx
?

2222
a?b
?
a?b
?
?a
2
?b
2
(sinx?cos
?
?cosx?sin
?
)?a
2
?b
2
?sin(x?
?
)

8、二倍角公式：（1）、
S
2
?
：
sin2
?
?2sin
?
cos
?
（2）、降次公式：（多用于研究性质）

C
2
?
：
cos2
?
?cos
?
?sin
?

sin
?
cos
?
?
1
sin2
?

2
1?cos2
?
11
22
2

?1?2sin
?
?2cos
?
?1

sin
?
???cos2
?
?

222
2 tan
?
1?cos2
?
11
2
T
2
?< br>：
tan2
?
?

co s
?
??cos2
?
?
2
222
1?tan
?
22
9、三角函数：
函数 定义域 值域
[-1，1]
[-1，1]
值域
周期性 奇偶性
奇函数
偶函数
周期
递增区间 递减区间
3
?
?
?
?
?2k
?
,?2k
?
?

?
22
??
y?sinx

x?R

x?R

T?2
?

T?2
?

振幅
A
?
?
?
?

??2k
?
,?2k
?
??
2
?
2
?
y?cosx

函数
?
(2k?1)
?
,2k
?
?

频率 相位
?
2k
?
,(2k?1)
?
?

图象
五点法
定义域
y?Asin(
?
x?
?
)

A]
x?R

[-A，
T?
2
?
?

f?
1
?

?
T2
?
初相
?
x?
?

?

10、解三角形：（1）、三角形 的面积公式：
S
?
?
（2）、正弦定理：
111
ab
sin
C
?
ac
sin
B
?
bcsinA

222
abc
???2R,边用角表示：a?2RsinA,　b?2RsinB ，c?2Rsin

sinAsinBsinC
a
2
?b
2
?c
2
?2bc?cosA
222
（3）、余弦定理：
b? a?c?2ac?cosB

c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC?(a?b)
2
?2ab(1?cocC)
b
2< br>?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b2
a
2
?b
2
?c
2
求角：
cosA?

　　　　
cosB?
　　　　
cosC?2bc2ac2ab

第五章、平面向量
1、坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1?x
2
,y
1
?y
2
?

数与向量的 积：λ
a?
?
?
x
1
,y
1
?
?
?
?
x
1
,
?
y
1
?
， 数量积：
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2< br>
（2）、设A、B两点的坐标分别为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），则
AB?
?
x
2
? x
1
,y
2
?y
1
?
.（终点减起点）
?
???
??
??
|AB|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
；向量
a
的模|
a
|：
|a|
2
?a?a
?x
2
?y
2
；
（3）、平面向量的数量积：
a?b?a?bcos
?
， 注意：
0?a?0
，
0?a?0
，
a?(?a)?0
??
????
??
??
（4）、向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y< br>2
?
的夹角
?
，则
cos
?
?
?? ??
x
1
x
2
?y
1
y
2
x1
?y
1
22
，
2
x
2
?y2
?
2
2、重要结论：（1）、两个向量平行：
ab?a?
?
b

(
?
?R)
，
ab?

x
1
y< br>2
?x
2
y
1
?0

（2）、两个非零向量垂直
a?b?a?b?0
，
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

（3）、P分有向线段
P
1
P
2
的：设P（x，y） ，P
1
（x
1
，y
1
） ，P
2
（x
2
，y
2
） ，且
P
1
P?
?
PP
2
，
y x
1
?
?
x
2
?
x
1
?x< br>2
?
x?
x?
?
1?
?
， 中点坐标公式
?
?
2
则定比分点坐标公式
?
?
?
?
y?
y
1
?
?
y
2< br>?
y?
y
1
?y
2
?
?
2a

1?
?
2
?
?
第六章：不等式
?a
22
a?b
22
1、 均值不等式：
（1）、

a?b?2ab
（
ab?
）

a
2
（ 2）、a>0,b>0;
a?b?2ab
或
ab?(
????
??< br>?
x
a?b
2
)
一正、二定、三相等
2
?2a
2、解指数、对数不等式的方法：同底法，同时对数的真数大于0；
第七章：直线和圆的方程
y
2
?y
1
1、斜 率：k?tan
?
，
k?(??,??)
；直线上两点
P

1
(
x
1
,
y
1
),
P
2
(
x
2
,
y
2
)
，则斜率为
k ?
x
2
?x
1
2、直线方程：（1）、点斜式
：
y ?y
1
?k
(
x?x
1
)
；
（2）、斜截 式
：
y?kx?b
；
（3）、一般式
：
Ax?By?C?0

（A、B不同时为0） 斜率
k??
AC
，
y
轴截距为
?

BB< br>A
2
B
2
C
2
3、两直线的位置关系（1）、平行：
l
1
l
2
?k
1
?k
2
且b1
?b
2

A
1
?
B
1
?
C
1
时 ，
l
1
l
2
；

垂直：
k
1
?k
2
??1?l
1
?l
2

A
1
A
2
?B
1
B
2
?0?l< br>1
?l
2
；
（2）、到角范围：
?
0,
?
?
到角公式 ：
tan
?
?
k
2
?k
1

k
1
、k
2
都存在，
1?k
1
k
2
?0

1?k
2
k
1
夹角范围：
(0,
?
2
]
夹角公式：
tan
?
?
k
2
?k
1

k、k
都存在，
1?kk?0

1212
1?k
2
k
1
（3）、点到直线的距离公式
d?
Ax
0
?B y
0
?C
（直线方程必须化为一般式）
A
2
?B
2
2
6、圆的方程：（1）、圆的标准方程 (x?a)?(y?b)?r
，圆心为
C(a,b)
，半径为
r

22

22
22
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?E y?F?0
（配方：
(x?
D
)
2
?(y?
E)
2
?
D?E?4F
）
224
D
2?E
2
?4F?0
时，表示一个以
(?
D
,?
E
)
为圆心，半径为
1
D
2
?E
2
?4F
的圆；
22
2
x
2
y
2
第八章：圆锥曲线 1、椭圆标准方程：
2
?
2
?1(a?b?0)
，
ab
a
2
x?acos
?
半焦距：
c?a?b
， 离心率的范围：
0?e?1
，准线方程：
x??
，参数方程：
?
?
c
?
y?bsin
?< br>222
x
2
y
2
222
2、双曲线标准方程：
2
?
2
?1,(a?0,b?0)
，半焦距：
c?a?b
，离心率的范围：
e?1

ab
b
x
2
y
2
a
2
准线方程：
x??
，渐近线方程用
2
?2
?0
求得：
y??x
，等轴双曲线离心率
e?2
< br>c
a
ab
3、抛物线：
p
是焦点到准线的距离
p?0
，离心率：
e?1

pp
2
焦点坐标
(,0)；
y??2px
　
：准线方程
x?
22
pp
x
2
?2py
：准线方程
y??
焦点坐标
(0,)
；
x
2
??2py
：准线方程
y?
22
y
2
?2px
　
：准线方程
x??
第九章 直线 平面 简单的几何体
2222
1、长方体的对角线长
l?a?b?c
；正方体的对角线长
l?
p
p
焦点坐标
(?,0)

2
2
pp
焦点坐标
(0,?)

22
?

3a

A
2、两点的球面距离求法：球 心角的弧度数乘以球半径，即
l?
?
?R
；
3、球的体积公式：< br>V?
4
?　R
3
，球的表面积公式：
S?4
?　R< br>2

3
?

A
A
‘

O
A
‘

B
?

2
1
S
1
h
1
4、柱体
V?s?h
，锥体
V?s?h
，锥体截面积比：
?
2

3
S
2
h
2
O
B
第十章 排列 组合 二项式定理
m
1、排列：（1）、排列数公式：
A
n
=
n(n?1)?(n?m?1)
=
?
n！
.(
n
，
m
∈N
*
，且
m?n< br>)．0！=1
(n?m)！
（3）、全排列：n个不同元素全部取出的一个排列；A
n
?n!
?n(n?1)(n?2)???3?2?1?n?(n?1)!；
2、组合：
n
n！
A
n
m
n(n?1 )?(n?m?1)
0
*
（1）、组合数公式：
C
=
m< br>==(
n
，
m
∈N，且
m?n
)；
C
n
?1
；
m！?(n?m)！
1?2???m
A
mm
n
（3）组合数的两个性质：
C
n
=
C
n< br>m
n?m
；
C
n
+
C
n
m
m?1
=
C
n?1
；
m
n0n1n?12n?22rn?rrnn
3、二项式定理 ：（1）、定理：(a?b)?C
n
a?C
n
ab?C
n
ab???C< br>n
ab???C
n
b

rn?rr
1，2?，n)
（2）、二项展开式的通项公式（第
r
+1项）：
T
r?1
?C
n
ab
(r?0，
各< br>二项式系数和：
C
n
０
+C
n
1
+C
n
2
+ C
n
3
+ C
n
4
+…+C< br>n
r
+…+C
n
n
=2
n

（表示含n个元素的集合的所有子集的个数）。
奇数项二项式系数的和＝偶数项二项式系数的 和：
C
n
+C
n
+C
n
+ C
n
+…＝C
n
+C
n
+C
n
+ C
n
+…=2
第十一章：概率：
1、概率（范围）：0≤P(A) ≤1（必然事件： P(A)=1，不可能事件： P(A)=0）
０２４６１３５７n -1

2、等可能性事件的概率：
P
(
A
)
?
m
.
n
3、互斥事件有一个发生的概率：A，B互斥： P(A＋B)=P(A)＋P(B)；A、B对立：P（A）+ P(B)＝１
4、独立事件同时发生的概率：独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B)= P(A)·P(B).
kkn?k
n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
P
n
(k)?C
n
P(1?P).



高中数学联赛几何定理
梅涅劳斯定理

BFAECD
???1
。
FAECBD
BFAECD
逆定 理：
一直线截△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F若
???
1< br>，则D,E,F三点
FAECBD
一直线截△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线 于D,E,F则
共线。
塞瓦定理
BDCEAF
=1。
??DCEAFB
BDCEAF
逆定理：
在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点 D，E，F，如果
??
=1，那么直线AD，
DCEAFB
在△ABC内任取 一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则
BE，CF相交于同一点。

托勒密定理
ABCD为任意一个圆内接四边形，则
AB?CD?AD?BC?AC?BD
。 逆定理：
若四边形ABCD满足
AB?CD?AD?BC?AC?BD
，则A、B 、C、D四点共圆
西姆松定理
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线， 则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西
姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射 影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
相关的结果有：
（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 （2）两
点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
(3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。
（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
斯特瓦尔特定理
设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB·DC+AC·BD- AD·BC＝BC·DC·BD。
222
三角形旁心
1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。
2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。

费马点

在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三 角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角
形的费 马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
判定（1） 对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马
点。费马点的计算
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点 ；如果3个内角均小于120°，
则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
九点圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九 点
共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），
欧拉线：三角形 的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
几何不等式
1托勒密不等式:
任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅 当ABCD四点共圆
时取等号。
2埃尔多斯—莫德尔不等式:
设P是ΔABC内任意 一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分
别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x, PB=y,PC=z。则 x+y+z≥2(p+q+r)
3外森比克不等式:
设△ABC 的三边长为a、b、c,面积为S,则a
2
+b
2
+c
2
≥ 4
3S

4欧拉不等式:
设△ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r，则 R≥2r,当且仅当△ABC为正三角形
时取等号。
圆幂

假设平面上有一点P，有一圆O，其半径为R，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂； 可见圆外的点对
圆的幂为正，圆内为负，圆上为0；
根轴

1在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。
2另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴。
相关定理

1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；
2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；
3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；
4，蒙日定理（根心定理）：平面 上任意三个圆心不共线的圆，它们两两的根轴或者互相平行，或者交
于一点，这一点叫做它们的根心；