高中数学会考资料(文科)

让更多的孩子得到更好的教育

高中数学会考重点
一、集合与简易逻辑
1.必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还
是曲线上的点？? ；
2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦
恩图 等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想
方法解决；
3 .一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁
使句、疑问句、感叹 句都不是命题；
4.判断命题的真假要以真值表为依据.原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其
否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑
判断其等价命题的真假；
5. 判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若
A?B
， 则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条
件；（3）等价法：即利用等价 关系
A?B?B?A
判断，对于条件或结论是不等关
系（或否定式）的命题，一般运用 等价法；
6.（1）含n个元素的集合的子集个数为2
n
,真子集（非空子集）个数 为2
n
－1；
（2）
A?B?A?B?A?A?B?B;
（3）
C
I
(A
?
B)
?
C
I
A
?
C
I
B,C
I
(A
?
B)
?
C
I
A
?
C
I
B;

二、函数: 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
1.复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法：若已知f(x)的定义域为［a，b］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a?g(x)?b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相
当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）；
（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；
2.函数的奇偶性
（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=
f(x)
;
（2）定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数）；
（3）判断函数奇偶性可用定义的等 价形式：f(x)±f(-x)=0或
f(?x)
??1
（f(x)≠0）;
f(x)
(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；
（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相
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反的单调性；
3.函数图像（或方程曲线的对称性）
(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关 于对称中心（对称轴）的对称点
仍在图像上；
（2）证明图像C
1
与C2
的对称性，即证明C
1
上任意点关于对称中心（对称轴）的对
称点仍在 C
2
上，反之亦然；
（3）曲线C
1
：f(x,y)=0,关于y =x+a(y=－x+a)的对称曲线C
2
的方程为f(y－a,x+a)=0(或
f (－y+a,－x+a)=0);
（4）曲线C
1
:f(x,y)=0关于点（a, b）的对称曲线C
2
方程为：f(2a－x,2b－y)=0;
（5）若函数y=f (x)对x∈R时，f(a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对
称；
（6）函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=
a?b
对称；
2
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x－a) 或f(x－2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为
2a的周期函数；
（2）若y=f(x)是偶函 数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周
期函数；
（3）若y= f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期
函数；
（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2
a?b
的周 期函数；
（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是 周期为2
a?b
的周
期函数；
（6）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=
?
1
，则y=f(x)是周期为2
a
的
f(x)
周期函数；
5.方程k=f(x)有解
?
k∈D(D为f(x)的值域)；
6.a?f(x)
?
a?［f(x)］
max,
; a?f(x)
?
a?［f(x)］
min
;
7.（1）
log
a
b?log
a
n
b
(a>0,a≠1,b>0,n∈R
+
);
(2) l og
a
N=
n
log
b
N
( a>0,a≠1,b>0,b≠1);
log
b
a
(3) l og
a
b的符号由口诀“同正异负”记忆;
(4) a
log a N
= N ( a>0,a≠1,N>0 );
8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性.
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9.判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A中元素必须 都有象且唯一；（2）B中元
素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；
10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）
奇函数的反函 数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）
周期函数不存在反函数；（5 ）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5) y=f(x)
-1
与y=f(x)互为反 函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f
-1
(x)]=x(x∈
B) ,f
-1
[f(x)]=x(x∈A).
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合； 二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题
用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对 位置关系；
12.恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布
列不等式(组)求解；
13.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数 的范围问题：
?
f(a)?0
?
f(a)?0
f(u)?g(x)u ?h(x)?0(或?0）(a?u?b)?
?
(或
?
)
；
?
f(b)?0
?
f(b)?0
14.掌握函数
y?
函

数
定
义
域
值
域
奇
偶
性


单

调

性

非奇非偶函数
当b-ac>0时:
分别在
(??,?c),(c,??)
上单调递减；
当b-ac<0时:
分别在
(??,?c),(c,??)
上单调递增；
ax?bb?acc
?a?(b?ac?0);y?x?(c?0)
的图象和性质；
x?cx?cx
ax?bb?aca
y??a?y?x?(a?0
）
x?cx?cx
(b – ac≠0)

(??,?c)?(c,??)

(??,a)?(a,??)

(??,0)?(0,??)

(??,?2a]?[2a,??)


奇函数
在
(??,?a],[a,??)
上
单调递增；
在
[?a,0),(0,a]
上单调
递增；
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图


象

三、数列
1.由S
n
求a
n
，
a
n
={


Y=a
y

y
o
X=-c
o
X
x
S
1
(n?1)
S
n
?S
n?1
(n?2,n?N)
*
注意验证a
1
是否包含在后面a
n
的公式中，
若不符合要单独列出 .一般已知条件中含a
n
与S
n
的关系的数列题均可考虑用上述公
式 ；
2.等差数列
｛a
n
｝?a
n
?a
n?1< br>?d(d为常数）?2a
n
?a
n?1
?a
n?1
( n?2,n?N*)

?a
n
?an?b?s
n
?An< br>2
?Bn
；
3.等比数列
｛a
n
}?a
n
?a
n-1
?a
n?1
(n?2,n?N)?a
n
?a
1
?q
n-1
;

4.首项为正（或为负）的递减（ 或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，
a
n
?0
?
?
a
n
?0
?
解决； 转化为解不等式
?
?
或
?
?
?
??
?
a
n?1
?0
?
?
a
n?1
?0
?
2
5.熟记等差、等比数列的定 义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公
式时，勿忘分类讨论思想；
6.等差数列中, a
m
=a
n
+ (n－m)d,
d?
a
m
?a
n
; 等比数列中，a
n
=a
m
q
n-m
; q=
n?m
a
n
;

m?n
a
m
7.当m+n=p+q（m、n、p、q∈N）时，对等差数列｛a
n
｝有：a
m+a
n
=a
p
+a
q
；对等比
数列｛a
n
｝有：a
m
a
n
=a
p
a
q
；
8.若{a
n
}、{b
n
}是等差数列，则{ka
n< br>+bb
n
}(k、b、a是非零常数)是等差数列；若{a
n
}、{b
n
}是等比数列，则｛ka
n
｝、{a
n
b
n
}等也是等比数列；
9.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如
a
1
+a
2
+a
3
,a
4
+a< br>5
+a
6
,a
7
+a
8
+a
9…）仍是等差（或等比）数列；
10.对等差数列｛a
n
｝,当项数为2n时，
S
项数为2n－1时，
S
偶
＊
—S
奇
＝n d；
－S
偶
＝a
中
（
n∈N*）；
奇
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11.若一阶线性递归数列a
n
=kan
－
1
+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形
式:< br>a
n
?
b
?k(a
n?1
?
b
)< br>(n?2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；
k?1k?1
四、三角函数
1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦；
2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；
3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质；
①倒数关系：< br>tan
?
②商数关系：
?cot
?
?1

s in
?
cos
?
?tan
?
;?cot
?
.

cos
?
sin
?
2
③平方关系：
s in
?
?cos
2
?
?1

4.熟知正弦、余弦、 正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三角函数
问题勿忘三内角和等于180
0
，一般用正余弦定理实施边角互化.
①
cos(
?
②
si n(
?
③
tan(
?
?
?
）?cos
?< br>cos
?
?sin
?
sin
?

?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

tan
?
?tan
?
1
?
tan< br>?
tan
?
④
sin2
?
?2sin
?cos
?

?
?
)?
⑤
cos2
?< br>⑥
tan2
?

?cos
2
?
?sin2
?
?1?2sin
2
?
?2cos
2
??1

?
?
2tan
?
1?tan
2
?

⑦
sin
2
?
2
1?cos2
??
1?cos2
?

,cos
2
?
222
1?cos
?< br>sin
?
1?cos
?
??
1?cos
?
1 ?cos
?
sin
?
⑧
tan
?
2
??
⑨．积化和差公式
sin
?
cos
?
?
1?
sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)
?
2
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cos
?
sin
?
?1
?
sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)
?

2
1
?
cos(
?< br>?
?
)?cos(
?
?
?
)
?
< br>2
1
?
cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)
?

2
sin
?
si n
?
??
cos
?
cos
?
??
sin< br>?
?sin
?
?2sin
⑩．和差化积公式
?
?< br>?
2
cos
?
?
?
2

sin?
?sin
?
?2cos
?
?
?
2
s in
?
?
?
2
2
2

cos
?< br>?cos
?
?2cos
?
?
?
2
2
cos
?
?
?

cos
?
?cos
?
??2sin
11．万能公式
?
?
?
sin
?
?
?

sin< br>?
2
2tan
?
?
2
1?tan
2
?
2
,
cos
?
2
1-tan
2
?< br>1?tan
2
?
?
2
k
?
?
2,
tan
?
2
2tan
?
?
2
1?tan
2
?
2

?
2
5.正弦型函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的对称轴为
x?
??
?
对称中
(k?Z)
；
心为
(
k
?
?
?
,0)(k?Z)
；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心；
?
）
?
注：图像变换易错点：
y?sin
?
x ?y?sin(
?
x?
?
)(平移
?
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6.（1）正弦平方差公式：sin
2
A－sin
2
B=sin(A +B)sin(A－B);（2）三角形的内切圆半径

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r=
2S
?ABC
；（3）三角形 的外接圆直径2R=
a?b?c
abc
??;

sinAsinBsinC

五、平面向量
1.两个向量平行的充要条件, 设a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
),
?
为实数.（1）向量式：a∥b(b≠
0)
?
a=
?
b;（2）坐标式：a∥b(b≠0)
?
x
1
y
2
－x
2
y
1
=0;
2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
), （1）向量式：a⊥b(b≠0)
?
a
?
b=0;
（2）坐标式： a⊥b
?
x
1
x
2
+y
1
y
2< br>=0;
3.设a=(x
1
,y
1
),b=(x
2< br>,y
2
),则a
?
b=
abcos
?
=x< br>1
x
2
+y
1
y
2
;其几何意义是a
?
b等于a的长
度与b在a的方向上的投影的乘积；
4.设A（x
1,x
2
）、B(x
2
,y
2
)，则S
⊿
AOB
＝
5.平面向量数量积的坐标表示：
（1）若a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
),则a
?
b=x
1
x
2
+y
1
y
2
;
AB ?
（2）若a=(x,y),则a
2
=a
?
a=x
2
+y
2
,
a?
1
x
1
y
2
?x
2
y
1
；
2
(x
1
?x
2)
2
?(y
1
?y
2
)
2
;
?
x
2
?y
2
;
六、不等式
1.掌握不等式性质，注意使用条件；
2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式 、简单的指数、对数不等式）的
解法，尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法， 零点分区间
法；
3.掌握用均值不等式求最值的方法，在使用a+b?
2ab
(a>0,b>0)时要符合“一正二
a
2
?b
2
a?b
2
a?b
2
定三相等”；注意均值不等式的一些变形，如
?();ab?()
；
222
七、直线和圆的方程
直线方程的五种形式：点斜式：
y ?y
0
?k(x?x
0
)
斜截式：
y?kx?b< br>；
y?y
1
x?x
1
?(x
1
?x
2
，y
1
?y
2
)
两点式：
y
2
?y
1
x
2
?x
1
截距式：
xy
??1
，一般式：
Ax?By?C?0(A
2
?B
2
?0)

ab
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圆的方程：

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标准式：
(x?a)
一般式：
x< br>2
2
?(y?b)
2
?r
2
(r?0)
< br>?y
2
?Dx?Ey?F?0(D
2
?E
2
?4F? 0)

?
x?a?rcos
?
(
?
为参数）
参数式：
?

?
y?b?rsin
?

1.设三 角形的三个顶点是A（x
1
,y
1
）、B(x
2
,y
2
)、C（x
3
,y
3
）,则⊿ABC的重心G为
（x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
）；
,
33
2.直线l
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0与l
2
: A< br>2
x+B
2
y+C
2
=0垂直的充要条件是A
1A
2
+B
1
B
2
=0；
3.两条平行线Ax+By+C
1
=0与 Ax+By+C
2
=0的 距离是
d?
C
1
?C
2
；
A
2
?B
2

2
+Bxy+Cy
2
+Dx+Ey+F=0表示圆的 充要条件 ：A=C≠0且B=0且D
2
+E
2
－4AF>0；
5 .过圆x
2
+y
2
=r
2
上的点M(x
0
,y
0
)的切线方程为：x
0
x+y
0
y=r
2< br>;
6.以A(x
1
，y
2
)、B(x
2
, y
2
)为直径的圆的方程是(x－x
1
)(x－x
2
)+( y－y
1
)(y－y
2
)=0;
7.求解线性规划问题的步骤是： （1）根据实际问题的约束条件列出不等式；（2）作出
可行域，写出目标函数；（3）确定目标函数的 最优位置，从而获得最优解；
八、圆锥曲线方程
22
1.椭圆焦半径公式：设P（ x
0
,y
0
）为椭圆
x
2
?
y
2
?1
（a>b>0）上任一点，焦点为
ab
F
1
(-c,0 ),F
2
(c,0),则
PF
；
1
?a?ex
0
,PF
2
?a?ex
0
（e为离心率）
2
2
y
x
2.双曲线焦半径公式：设P（x
0
,y
0
）为双曲 线
??1
（a>0,b>0）上任一点，焦点
a
2
b
2为F
1
(-c,0),F
2
(c,0),则:
（1）当P点在 右支上时，
PF
1
?a?ex
0
,PF
2
??a? ex
0
；
（2）当P点在左支上时，
PF
（e为离心率）； 1
??a?ex
0
,PF
2
?a?ex
0
；< br>22
22
另：双曲线
x
?
y
?1
（a>0, b>0）的渐进线方程为
x
?
y
?0
；
a
2b
2
a
2
b
2
3.抛物线焦半径公式：设P（x
0
,y
0
）为抛物线y
2
=2px(p>0)上任意一点，F为焦 点，则
PF?x
0
?
p
p
；y
2
=2px (p＜0)上任意一点，F为焦点，则
PF??x
0
?
；
2
2
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4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；

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b
x
2
y
2
的双曲线标准方程为；
x
?
2
?
?
(
?
为参数，
?
≠0）
2
a
ab
6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，
一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x
1
，
5.共渐近线
y??
y
1
)、B(x
2
,y< br>2
)，则弦长
AB?1?k
2
?x
2
?x
1
?(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)
2< br>?4x
1
x
2
]

?1?
11
2< br>?y?y?(1?)?[(y?y)?4y
1
y
2
]
. 2112
k
2
k
2
注：这里体现了解析几何“设而不求”的解题 思想；
2
7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为
2b
，焦准距为p=
b
，抛物线的通径为2p，焦
a
2
c
2
2
yx
准距为p; 双曲线
?
2
?1
（a>0，b>0）的焦点到渐近线的距离为b;
2
ab
8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax
2
+ Bx
2
＝1；
9.抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点弦（过焦 点F的弦）为AB，A（x
1
,y
1
）、B(x
2
,y2
),则有如
2
下结论：（1）
AB
＝x
1
+ x
2
+p;（2）y
1
y
2
=－p
2
，x
1
x
2
=
p
;
4
（3）
112
2P
??
. (4)
AB?(
?
是直线AB的倾斜角）
2
FAFBp
s in
?
22
10.过椭圆
x
2
?
y
2?1
（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则
AB?2a?e(x
1
? x
2
)
，
ab
过右焦点的弦
AB?2a?e(x
1
?x
2
)
；
2
y
0
11.对于y=2p x(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为（，y
0
）,以简化计算;
2p
2
12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x
1
，y1
)、B(x
2
,y
2
)
22
b
2< br>为椭圆
x
2
?
y
2
?1
（a>b>0）上不 同的两点，M(x
0
,y
0
)是AB的中点，则K
AB
K< br>OM
=
?
2
；
a
ab
2
2
b
2
y
x
对于双曲线（a>0，b>0），类似可得：K
AB
.K
OM
=；对于y
2
=2px(p≠0)
??1
a2
a
2
b
2
2p
抛物线有K
AB
＝
y
1
?y
2
13.求轨迹的常用方法：
（1）直接法：直 接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本
的方法；步骤为：建（建系） 设（设点）现（将动点M满足的等量关系列出）代（将
M点的坐标代入上述等量关系）化（将等式化简） .最后要检验纯粹性.
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（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥 曲线等，可先根据条件
列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；
（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x
1
,y1
)的变化而
变化，并且Q(x
1
,y
1
)又在某已知 曲线上，则可先用x、y的代数式表示x
1
、y
1
，再将
x
1
、y
1
带入已知曲线得要求的轨迹方程；
（4）定义法：如果能够确定动 点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义
直接写出方程；
（5）参数法：当动点P （x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用
时，可考虑将x、y均用一中间变量（参 数）表示，得参数方程，再消去参数得普通
方程.


九、直线、平面、简单几何体
1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB= ∠AOC，则点A在平面∠BOC
上的射影在∠BOC的平分线上；
2. 已知:直二面角M－AB－N中，AE
?
M，BF
?
N,∠EAB=< br>?
1
,∠ABF=
?
2
，异面
直线AE与BF所成的 角为
?
，则
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
;

3.立平斜公式：如图，AB和平面所成的角是
?
1
，AC在平面内，AC和AB的射影
AB成
?
2
，设∠B AC=
?
3
,则cos
?
1
cos
?
2< br>=cos
?
3
；
4.异面直线所成角的求法：
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；
（2）补形法 ：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长
方体等，其目的在于容易发现两条 异面直线间的关系；
5.直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角， 它的三条边分别是平面的垂线段、斜
线段及斜线段在平面上的射影.通常通过斜线上某个特殊点作出平面 的垂线段，垂足
和斜足的连线，是产生线面角的关键；
6.二面角的求法
（1）定 义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂
线，得出平面角，用定义法 时，要认真观察图形的特性；
（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂 线定理或逆
定理作出二面角的平面角；
（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时， 过两垂线作平面与两个半平面
的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂 直；
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（4）射影法：利用面积射影公式S
射
＝S
原
cos
?
,其中
?
为平面角的大小，此方法不必
在图形中画出平面角；
特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱， 然
后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）.
7.空间距离的求法
（1）两异面直 线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂
线，然后再进行计算；
（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；
（3）求点到平面的距离，一 是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已
知面的垂面是关键；二.是用转化法，转化为线面 距.三是用等体积法.不作出公垂线，
转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；
8. 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为
?
，则
S
侧
?cos?
?S
底
；
9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的 角分别为
?
,
?
,
?
,
因此有
cos2
?
+cos
2
?
+cos
2
?
=1 ; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为
?
,
?
,?
,
则有cos
2
?
+cos
2
?
+ cos
2
?
=2;
10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；
11.欧拉公式：如果简单多面体 的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F－E=2；并且
棱数E＝各顶点连着的棱数和的一半＝ 各面边数和的一半；
12.球的体积公式V=
?
R
3
，表面积公式
S?4
?
R
；掌握球面上两点A、B间的距离
求法：（1）计算线段 AB的长，（2）计算球心角∠AOB的弧度数；(3)用弧长公式计
算劣弧AB的长；
十、排列组合和概率
m
1.排列数公式:
A
n
=n(n- 1)(n-2)?(n-m＋1)=
(n?m)!
(m?n,m、n∈N*),当m=n时为全 排
n
列
A
n
=n(n-1)(n-2)?3.2.1;
m
A
n
n?(n?1)???(n?m?1)
（m?n）,
C
0
?C
n
?1
；
m
2.组合数公式：
C
n
??
nn
m!m?(m?1)?(m?2)???3?2?1
4
3
2
n!
3.组合数性质：
C
n
mn?mrr?1r
?C
n
;C
n
?C
n
?C
n?1
； nn?1nrrrr?1
4.常用性质：n.n!=(n+1)!-n!;即
nA
n
?A
n?1
?A
n
;C
r
?C
r?1< br>?????C
n
?C
r?1
;

（1?r?n）;
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rn?rr
5.二项式定理：（1）掌握二项展开式 的通项：
T
r?1
?C
n
ab(r?0,1,2,...,n);< br>
（2）注意第r＋1项二项式系数与第r＋1系数的区别；
6.二项式系数具有下列性质：
(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等；
(2) 若n为偶数，中间一项（第
项（第
n
＋1项）的二项式系数最大；若 n为奇数，中间两
2
n?1n?1
和＋1项）的二项式系数最大；
22012n0213
（3）
C
n
?C
n
?C
n< br>?????C
n
?2
n
;C
n
?C
n
?????C
n
?C
n
?????2
n?1
;

7.F(x)=(ax+b)
n
展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为[f(1)?f(?1)]
；
偶数项的系数和为
[f(1)?f(?1)]
；
8．概率：
（1）等可能事件的概率公式： P（A）＝
n
；
m
1
2
1
2
（2）互斥事件分别发生的概率公式为：P(A+B)=P(A)+P(B)；
（3）相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)＝P(A)P(B)；
k
（4 ）独立重复试验概率公式
P
n
(k)
=
C
n
?p< br>k
(1?p)
n?k
;

(5)如果事件A、B互斥，那么事 件A与
B
、
A
与
B
及事件
A
与
B
也都是互斥事件；
（6）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是：
1－P（AB）＝1－P(A)P(B)；
（6）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是：
1－P（
A
?
B
）＝1－P(
A
)P(
B
)；



文科选修内容基本知识
十一、抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差
1.掌握抽样的二种方法：（1）简单 随机抽样（包括抽签符和随机数表法）；（2）分层
抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情 形；
2.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，
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样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；
3.总体特征 数的估计：（1）学会用样本平均数
x?
1
(x
1
?x
2< br>?????x
n
)?
1
?
x
i
去估计
nn
i?1
n
总体平均数；（2）学会用样本方差
S
2
?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)2
?????(x
n
?x)
2
]

n
2
1
n
1
n
22
（2）学会用修正的
?
?
(x
i
?x)?
?
(x
i
?nx
2
)
去估计总体方差
?
及总体标准差；
n
i?1
n
i?1
1
2
[(x
1
?x)
2
?(x
2< br>?x)
2
?????(x
n
?x)
2
]
去估 计总体方差
?
，会
n?1
用
S*
去估计
?
；
十二、导数及应用
样本方差
S
*
?
2
1.导 数的定义：f(x)在点x
0
处的导数记作
y
?
x?x
0< br>?f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
；
?x
2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：
（1）求函数的增量
?y?f(x??x)?f(x);

(2)求平均变化率
?yf(x??x)?f(x)
;
?
?x?x
(3)取极限,得导数
f
?
(x)?lim
?y
;
?x?0
?x
3.导数的几何意义：曲线y＝f（x） 在点P（x
0
,f(x
0
)）处的切线的斜率是
f
?
(x
0
) .
相应
地，切线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
);

4.常见函数的导数公式：
C?
?0(C为常数);(x)
?
?mx
mm-1
(m?Q);< br>
5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f（x）在某个区间内可导，
如果
f
?
(x)?0,
那么f(x)为增函数；如果
f?
(x)?0,
那么f(x)为减函数；如果在某个区
间内恒有
f
?
(x)?0,
那么f(x)为常数；
（2）求可导函数极值的步骤：①求导数< br>f
?
(x)
；②求方程
f
?
(x)?0
的根 ；③检验
f
?
(x)
在方程
f
?
(x)?0
根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得
最大值；如果左负右正，那么 函数y=f(x)在这个根处取得最小值；
（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x )在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在
各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的 一个为最大值，最小的一个是最小
值.
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中学数学重要数学思想

一、 函数方程思想
函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知 数之间的关系，从而解决问
题的一种思维方式，是很重要的数学思想.
1.函数思想：把某变 化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量
间的相互制约关系，最后解决问题， 这就是函数思想；
2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两 个步骤：
（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要
根据一些 要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解
方程（或方程组）求出它 们，这就是方程思想；
3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程 的问题需要
用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想.
二、 数形结合思想
数形结合是中学数学中四种重 要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对
应几何的性质使问题得以解决（以形助数）； 或者对于所研究的几何问题，可借助于对应
图形的数量关系使问题得以解决（以数助形），这种解决问题 的方法称之为数形结合.
1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思 路的规范性与
严密性，两者相辅相成，扬长避短.
2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是 研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.这
就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物 无不是数和形的和谐的统一.因此，
数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂.
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3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质.
4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万
事非.”数 形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来
阐明形的某些属性,或者 借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.
5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中 ，历年高考的解答题都有关于这个方面
的考查（即用代数方法研究几何问题）.而以形为手段的数形结合 在高考客观题中体现.
6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领：
(1) 对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；
(2) 对于研究函数、方程 或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点，
顶点是关键点），作好知识的迁移与综 合运用；
(3) 对于以下类型的问题需要注意：
(1)(x?a)
2
?( y?b)
2
;(2)
y?a
;(3)Ax?By;
(4)F(cos
?
,sin
?
);(5)a
2
?ab?b
2
;
可分
x?b
别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x
2+y
2
=1上的点
(cos
?
,sin
?
)< br>及余弦
定理进行转化达到解题目的.
三、 分类讨论的数学思想
分类讨论是 一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究
的对象进行分类，然后对每 一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整
个问题的解答.
1.有关分类讨 论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归
纳为如下几种：
（1）涉及的数学概念是分类讨论的；
（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；
（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；
（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的.
2.分类讨论是 一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用.根据不同标准可以有不同的分
类方法，但分类必须从同一 标准出发，做到不重复，不遗漏 ，包含各种情况，同时要有
利于问题研究.
四、 化归与转化思想
所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使 之
转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题，将难
解 问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题.



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立体几何中常用的转化手段有
1.通过辅助平面转 化为平面问题，把已知元素和未知元素聚集在一个平面内，实现点线、
线线、线面、面面位置关系的转化 ；
2.平移和射影，通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题，化未知为已知的目
的；
3.等积与割补；
4.类比和联想；
5.曲与直的转化；
6.体积比，面积比，长度比的转化；
7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间 互相转化的过程.解析几何把数学的主
要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为一 体.




中学数学常用解题方法
1. 配方法 < br>配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式，其基本形式是：
2
ax< br>2
+bx+c=
a(x?
b
)
2
?
4ac? b
(a?0)
.高考中常见的基本配方形式有：
2a4a
（1） a
2
+b
2
= (a + b)
2
- 2a b = (a -b)
2
+ 2 ab;
（2） a
2
+ b
2
+ ab =
(a?
1
b)
2
?(
3
b)
2
;
22
（3） a
2
+ b
2
+c
2
= (a＋b + c)
2
- 2 ab – 2 a c – 2 bc;
（4） a
2
+ b
2
+ c
2
- a b – bc – a c =
（5）
x
2
?
1
[ ( a - b)
2
+ (b - c)
2
+ (a - c)
2
];
2
11
2
?(x?)?2
;
2
xx
配方 法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论，求解与证明及
二次曲线的讨论.
2.待定系数法
㈠ 待定系数法是把具有某种确定性时的数学问题，通过引入一些待定的系数 ，转化为方
程组来解决.待定系数法的主要理论依据是：
（1）多项式f(x)=g(x)的充要条件是：对于任意一个值a，都有f（a）＝g(a);
（2）多项式f(x) ≡g(x)的充要条件是：两个多项式各同类项的系数对应相等；
㈡ 运用待定系数法的步骤是：
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（1）确定所给问题含待定系数的解析式（或曲线方程等）；
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决；
㈢ 待定系数法主要适用于：求函数的解析式，求曲线的方程，因式分解等.


3.换元法
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式），对新的变 量
求出结果之后，返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，
或 者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根
据是等量代换. 高中数学中换元法主要有以下两类：
（1）整体换元：以“元”换“式”； （2）三角换元 ，以“式”换“元”；
（3）此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等；换元法 应用比较广泛.如解方程，解
不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外在解析几 何中也有广泛
的应用.运用换元法解题时要注意新元的约束条件和整体置换的策略.

4.向量法
向量法是运用向量知识解决问题的一种方法，解题常用下列知识：
（1）向量的几何表示，两个向量共线的充要条件；（2）平面向量基本定理及其理论；
（3）利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题；
（4）两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式；
5.分析法、综合法
（ 1）分析法是从所求证的结果出发，逐步推出能使它成立的条件，直至已知的事实为止；
分析法是一种“ 执果索因”的直接证法.
（2）综合法是从已经证明的结论、公式出发，逐步推出所要求证的结论.综 合法是一种“由
因导果”，叙述流畅的直接证法.
（3）分析法、 综合法是证明数学问题的 两大最基本的方法.分析法“执果索因”的分析方
法，思路清晰，容易找到解题路子，但书写格式要求较 高，不容易叙述清楚，所以分析法、
综合法常常交替使用.分析法、 综合法应用很广，几乎所有题都可以用这两个方法来解.
6.反证法
反证法是数学证明的一 种重要方法，因为命题p与它的否定非p的真假相反，所以要
证一个命题为真，只要证它的否定为假即可 .这种从证明矛盾命题（即命题的否定）为假进
而证明命题为真的证明方法叫做反证法.
㈠ 反证法证明的一般步骤是：
（1）反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）归谬：从命题的条件和所作的结论出发,经过正确的推理论证,得出矛盾的结果；
（3）结论：有矛盾判定假设不正确，从而肯定的结论正确；
㈡ 反证法的适用范围：（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少时的命题；
第 17 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育

（2）结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题，特别是 结论是否定形式（“不是”、“不
可能”、“不可得”）等的命题；（3）涉及各种无限结论的命题；（ 4）以“最多（少）、若干
个”为结论的命题；（5）存在性命题；（6）唯一性命题；（7）某些定理 的逆定理；
（8）一般关系不明确或难于直接证明的不等式等.
㈢ 反证法的逻辑依据是“矛盾律”和“排中律”.
7.另外:还有数学归纳法、同一法、整体代换法







高中数学学法指导
一、崭新的数学观：
1988—1991年，我国数学家群体两次云集南开大学，召开了世人 关注的“二十一
世纪中国数学展望学术讨论会”，国家自然科学基金会向大会的报告中明确指出：“今天 可
以说，数学是关于模式和秩序的科学”.
1. 什么是数学模式？
数学中 的所有定义、定理、公式、法则、原理和具体方法（如待定系数法，数学归纳
法等）都是数学模式.
2. 什么是数学秩序？
秩序就是有条理，不混乱.
数学秩序指的是 ①数学理论是有数学模式组成的一个逻辑有序的系统结构，即数学是
一个有机的整体.②数学中每个问题 的解决，只能是从已知到目标的一系列逻辑推理、演算
的有序过程.
二、数学认知三角形：
第 18 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育

3．经验，思想，观念的获得

智力
参与
1．知识的内化 2．技能的形成

1. 数学知识的内化：知识的 内化是数学学习的起点.知识的内化要做到：了解知识的发生
过程，把握知识的结构特征，弄清知识适用 的条件，掌握知识的本质和功能.并且能了
解该知识点在这一章乃至在整个数学学科中的地位和作用.

2. 数学技能的形成：数学技能是顺利完成数学任务的一种活动方式或心智活动方式.技能
的形成要经历 ---规范化---熟练化---自动化三个步骤.

3. 经验，思想，观念的获得：要获得经验思想观念，一要有强烈的“收获意识”，
二只有通过不断的反思.
4. 智力参与：在以上的三个环节中要积极主动地参与到活动中去，不断提高各环节的效
率.
5. 在认知三角形中，三个顶点和中心是相辅相成的一个整体.
三、数学学习四步通法：
1. 确认问题：要弄清楚问题的条件、目标和性质.
2. 探索发现：主动参与解决问题途径的探索，力争自己独立解决这个问题.
3. 交流对比：勇敢地参与交流吧；听十遍不如自己讲一遍.
4. 反思评价：在交流对比的过程中或过 程后，对别人的和自己的发现和体会进行反思、
评价，捕捉有用的观念和思想，找出其中的不足和问题， 是使认识深化所必需的.
特别说明的是:
反思
要抓住重点.
如对问题解决来说，要
反思
：
①解法能不能进一步简化；
②能不能找到更好的解法？
第 19 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育

③能不能讲问题推而广之.
大数学家希尔伯特在问题解决之后经常做这种反思，
让我们也来体验其中的奥秘吧！

高二数学组全体教师
预祝同学们在5月份的数学会考中取得优异成绩！
预祝同学们在2007年的数学高考中取得优异成绩，
实现金榜题名的梦想！


2006年4月





天津市2003年8月高中毕业会考数学试卷
第Ⅰ卷 (选择题 共40分)?

一、选择题：本大题共20个小题，每小题2分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有 一项是符合题目要求的．
（1）已知全集
U?
?
?2,?1,0,1,2
?
，集合
A?
?
?2,?1,0
?
，集合
B?
?
0,1,2
?
，则（
C
U
A
）∪< br>B
等于
（A）
?
?2,
（2）
sin
?1
?
（B）
?
1,2
?
（C）
?
0,1,2
?
（D）
?
?2,?1,1,2
?

5
?
的值等于
6
第 20 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育

（A）
?
1
1
33
（B）
?
（C） （D）
2
2
22
（3）函数
y?tan2x,
（A）
x ?
R且
x?
?
4
?
k
?
(k?
Z ）的最小正周期是
2
??
（B） （C）
?
（D）
2
?

42
（4）函数
y?a
x
（
a
＞1）的图象大致是












（5）
准线
方程
是
x??2
的抛物线的标准方程是
（A）
y?4x
（B）
y?8x
（C）
x?4y
（D）
x?8y

2222
x
2
?y
2
?1
的离心率
e
等于 （6）椭圆
4
（A）
13
35
（B） （C） （D）
24
22
第 21 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育

（7）在下列方程所表示的曲线中，关于
x
轴、
y
轴都对称的是
（A）
x?y?0
（B）
x
2
?2x?y
2
?0

（C）
y
2
?4x
（D）
3x
2
?5y
2
?1

（8）已知
x
＞0，则
x?
4
?3
的最小值为
x
（A）4 （B）7 （C） 8 （D）11
?
??
?
（9）若
a
=（4，2），
b
=（6，
m
），且
a
⊥
b
，则
m的值是
（A）－12 （B）－3 （C） 3 （D）12
（10）为了得到函数
y?3cos2x
，
x
∈R的图 象，只需把函数
y?3cos(2x?
R的图象上所有的点
?
5
)
，
x
∈
??
个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度
55
?
?
（C）向左平行移动个单位长度 （D）向右平行移动个单位长度
1010
（A）向左平行移动
（11）函数
y?x
（
x
?0）的反函数是
（A）
y?
（C）
y?
2
1
x
（
x
?0） （B）
y?2x
（
x
?0）
2
x
（
x
?0 （D）
y??x
（
x
?0）
（12）函数
y?log
2
(x?3)
的定义域是
（A）
x
＞3 （B）3＜
x
?4 （C）
x
＞4 （D）
x
?4
（13）从5名男生和3名女 生中选出3人参加某项活动，如果选出的3人中既有男生又有
女生，则不同的选法有
（A）30种 （B）45种 （C）56种 （D）90种
?
?
?
)
的值等于 （14）已知
tan
?
?3,

tan
?
?2,
则
tan(
（A）
1
1
（B）1 （C） －1 （D）
?

7
5
第 22 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育

（15）下列函数中为奇函数的是
（A）
f(x)?x
3
?x
（B）
f(x)?2x?1

1?x
2
（C）
f(x)?x?2x
（D）
f(x)?

1?x
2
2
（16）若一个球的体积扩 大到原来的27倍，则球的表面积扩大到原来的
（A）3倍 （B）
33
倍 （C）9倍 （D）
（17）空间 两条直线
l
1
，
l
2
互相平行的一个充分条件是
（A）
l
1
，
l
2
都平行于同一个平面 （B）
l
1
，
l
2
与同一个平面所成的角相等
（C）
l
1
平行于
l
2
所在的平面 （D）
l
1
，
l
2
都垂直于同一个平面
27
倍
2
x?1
x
2
?1
（18）已知
a
=
2
，
b
=，若
x
＞1，则下列结论正 确的是
x?1
x?1
（A）
b
＜
a
＜1 （B）
a
＜
b
＜1
（C）
b
＜1＜
a
（D）1＜
a
＜
b

（19）若两条直线
kx?y?2k?1?0
和
x?2y?4?0
的交点在第四象限，则
k
的取
值
范围是
1

2
111
（C）－＜
k
＜0 （D） － ＜
k
＜ －
626
1
（20）已知函数
f (x)?(1?x)?ax
，其中
a
＞0，若
f(x)
在0?
x
?1上的最小值记
a
（A）－6 ＜
k
＜ 2 （B）
k
＞
为
g(a)
，则
g(a)
的最大值等于
（A）0 （B）1 （C）
a
（D）
第Ⅱ卷 (非选择题 共60分)?
第 23 页 共20页
1

a

让更多的孩子得到更好的教育

注意事项：
1．答题前将本页密封线内的项目和座位号填写清楚。
2．答卷须用蓝（黑）色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

得 分

评卷人

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分， 请将答
案填在题中横线上．
?
?
?
?
（21）已知
a?(2,3)
，
b?(?1,8)
，则2
a
－
b
的坐标为 ．
（22）已知等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
?8,
公比
q?
于 ．
（23）在△
ABC
中，已知
b?8,c?3,A?60
?，则
a
的值等于 ．
（24）若直线
(m ?1)x?y?4m?1
与直线
2x?3y?5
互相平行，则
m
的值 为 ．
（25）若四面体
P?ABC
的棱长均为3，则点
P
到平面
ABC
的距离等于 ．
（26）用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数有 个
（用数字作答）．
三、解答题：本大题共5个小题，共42分．解答应写出文字说明,演算步骤或推理过程．
得 分

评卷人

已知
cos
?
?
值．







评卷人

解不等式
(28) (本小题满分8分)
(27) (本小题满分8分) < br>1
，则该数列的第5项
a
5
的值等
2
123
?
?
,

?
?（，2
?
）（
?
?）
， 试求（Ⅰ）
sin2
?
的值；（Ⅱ）
sin
的
1324
x
?1
＞0．
x
2
?8x?12
第 24 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育












得 分

评卷人

(29) (本小题满分8分)
在等差数列
?
a
n
?< br>中，
a
5
?10,

a
12
?31,

试求（Ⅰ）
a
1
与公差
d
；（Ⅱ）该数列的前18项的和
S
18
的值．
















得 分

评卷人

(30) (本小题满分8分)
如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中, 棱
AB?1,

E、F
分别为
AB、BC
的中点,
第 25 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育

（Ⅰ）求证：
EF?BD
1
；
（Ⅱ）求二面角
B
1
?EF?B
的平面角的正切值；
A
1

（Ⅲ）求三棱锥
B
1
?BEF
的体积．










得 分


评卷人

(31) (本小题满分10分)
D
1

B
1

C
1

D

F

A

E

B
C

已知点
F
1
、
F
2
分别为双 曲线
x
2
?y
2
?1
的两个焦点，
O
为坐 标原点，
（Ⅰ）求以
O
为圆心，以线段
F
1
F
2
为直径的圆
O
的方程；
（Ⅱ）若一条直线
l
与圆
O
相切，并与双曲线交于
A
、
B
两点，有定点
C
，其坐标为
（0，－2），当△
ABC
的面积为
10
时，求直线< br>l
的方程．








天津市2004年6月高中毕业会考数学试卷

第 26 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共20个小题，每小题2分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项 是符合题目要求的．
（1）设全集U＝｛a，b，c，d，e，f ｝，集合A＝｛a，c，d ｝，B＝｛b，d，e ｝，
则A∪
(C
U
B)
等于
（A）｛a， c ｝ （B）｛a，c，d ｝

（C）｛a，c，f ｝ （D）｛a，c，d，f ｝

（2）
sin
4
?
的值等于
3
（A）

11
33
（B）－ （C） （D）－
22
22
（3）函数
y?cos2x
，
x?
R的最小正周期是
（A）
?
（B）
?
（C）2
?
（D）4
?

2
（4）函数
f(x)?
1
的定义域是
x?|x|
（A）（－∞，＋∞） （B）（－∞，0）∪（0，＋∞）

（C）（－∞，0） （D）（0，＋∞）
（5）经过点P（2，1）且与直线
2x?3y?1?0
平行的直线的方程是
（A）
2x?3y?1?0
（B）
3x?2y?8?0

（C）
2x?3y?4?0
（D）
3x?2y?7?0

（6）抛物线
y?8x
的准线方程是
（A）
x??2
（B）
x?2
（C）
x??4
（D）
x?4

2
第 27 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育

x
2
y
2
??1
的焦距是 （7）双曲线
205
（A）
15
（B）2
15
（C）5 （D）10
（8）为了得到函数
y?2sin(x?
的图象上的所有点
?
)< br>，
x?
R的图象，只需将函数
y?2sinx
，
x?
R
4
??
个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度
44
??
（C）向左平行移动个单位长度 （D）向右平行移动个单位长度
22
（A）向左平行移动
（9）不等式
x?2y
?0表示的平面区域（阴影部分）是
yy
11
1
2
o
x
o
12
x

（A） （B）

y
2
1
y
2
1
1
o< br>x
o
1
x

（C） （D）
（10）已知
a
＝（2，3），
b
＝（－1，0），则
4a?3b
的坐标为
第 28 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育

（A）（5，12） （B）（12，5） （C）（4，9） （D）（9，4）
（11）函数
y?|sinx|
，
x?
R
（A）是奇函数 （B）是偶函数
（C）既不是奇函数也不是偶函数 （D）有无奇偶性不能确定

（12）若a＞b，则下列不等式中一定成立的是
（A）

（13）若a?1
，
b?0.8
，
c?0.8
，则a、b、c的大小关系是

（A）b＜c＜a （B）a＜b＜c （C）c＜b＜a （D）a＜c＜b
0.70.8
11b
?
（B）
?1
（C）
2
a
?2
b
（D）
lg(a?b)?0

aba
x
2
?1
（14）不等式
2
＜0的解集是
x?4
（A）｛x｜－1＜x＜1 ｝
（B）｛x｜－2＜x＜2 ｝
（C）｛x｜x＜－2，或－1＜x＜1，或x＞2 ｝
（D）｛x｜－2＜x＜－1，或1＜x＜2 ｝
（15）若
?
、
?
、
?
表示平面，m、n表示直线，则下列命题为真命题的是
（A）若m< br>?
?
，n
?
?
，m∥
?
，n∥
?< br>，则
?
∥
?

（B）若
?
⊥
?，
?
⊥
?
，则
?
∥
?

（C ）若
?
∥
?
，m
?
?
，n
?
?< br>，则m∥n
（D）若
?
∥
?
，m
?
?，则m∥
?

（16）如图，在正方体ABCD－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，P为棱AB的
中点，则
A
1
P
与
BC
1
所在直线所成角的余弦值等于
A
1

D
1

B
1

C
1

（A）
41
105
（B） （C） （D）
52
510
D
A
P
B
C
第 29 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育

（17）已知
sin
?
?
4?
2
，
cos
?
?
，且
?、??(0，)
，则
sin(
?
?
?
)
的值等于
52
2
（A）
49
1
72
2
（B） （C） （D）
50
50
10
10< br>（18）已知｜
a
｜＝3，｜
b
｜＝4，且
(a?b)?(a ?3b)
＝33，则
a
与
b
的夹角为
（A）150° （B）120° （C）60° （D）30°
（19）如果将3，5，8 三个数各加上同一个常数，得到三个新的数组成一个等比数列，
那么这个等比数列的公比等于
（A）
23
（B）1 （C） （D）2
32
（20）某天上午安排语文、数学、外语、体育四节课，其中体育课不排第一节 ，那么
这天上午课表的不同排法有
（A）6种 （B）9种 （C）18种 （D）20种
第Ⅱ卷（非选择题 共60分）
得 分

评卷人

三、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分， 请将答
案填在题中横线上．
（21）已知一个球的表面积为4
?
cm
3
，则它的半径等于 ________ cm．
（22）椭圆
16x?25y?400
的离心率e等于 _____________．
（23）在△ABC中，已知b＝12，A＝30°，B＝120°，则a等于 __________ ．
（24）计算
C
10
?C
10
的结果是 _______________（用数字作答）．
（25）如果a＞0，且a≠1，那么函数
f(x)?log
a
(x?
_________________________ ________ ．

三、解答题：本大题共5个小题，共45分．解答应写出文字说明,演算步骤或推理过程．
得 分

评卷人

已知
sin
?
?


第 30 页 共20页
78
22
x
2
?1)
的反函数是
(26) (本小题满分8分)
??
5
，
??(,?)
．试求(Ⅰ) sin2
?
的值； (Ⅱ)
tan(??)
的值.
24
5

让更多的孩子得到更好的教育



得 分

评卷人

(27) (本小题满分9分)
已知等差数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?2n?3
．
试求（Ⅰ）
a
1
与公差
d
； （Ⅱ）该数列的前10项的和
S
10
的值．












得 分

评卷人

(28) (本小题满分9分)
22
已知圆C的方程为
x?y?6x?0
．
（Ⅰ）求圆C的半径及圆心坐标；
（Ⅱ）求经过点（0，6）且与圆C相切的直线l的方程．











第 31 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育




得 分

评卷人

(29) (本小题满分9分)

如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC为∠ACB＝90°的直角三角形，
侧棱PA⊥底面ABC，且PA＝AC＝BC＝1．
（Ⅰ） 求证:
BC
⊥侧面
PAC
；
（Ⅱ） 求二面角P－BC－A的大小；
（Ⅲ） 若E为侧棱PA的中点，求三棱锥E―ABC的体积.

P




E




A


得 分

评卷人

(30) (本小题满分10分)
C
B
已知
f(x)
是偶函数且定义域为 ［－1，1］，它的图象与函数
g(x)
的图象关于直线
x＝1对称，当x∈［2， 3］时，
g(x)?3a(x?2)?(x?2)
，其中a＞1．
（Ⅰ）求
f(x)
的解析式；
（Ⅱ）求
f(x)
的单调区间；
（Ⅲ）当
f(x)
的最大值为5时，求a的值．



第 32 页 共20页
3

让更多的孩子得到更好的教育




天津市2003年8月高中毕业会考数学试题
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共20个小题，每小题2分，满分40分．
（?）C??（?）C?（? ）??????????（?）??
（?）C?（?）D?（?）??（?）??
（??）C? ??（??）D?（??）???（??）?????
（??）C?（??）D???（??）??（? ?）D????
??二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．
（21）（5，－2）
（22）
1
2

（24）
1
3

（25）
6

三、解答题：本大题共5个小题，满分42分．
（27）本小题满分8分．
解（Ⅰ）由
cos
?
?
12
13
,

?
?（
3
?
2
，2
?
）
, 得

sin
?
??1?cos
2
???
5
13
,

∴
s in2
?
?2sin
?
cos
?
?2?(?
512
13
)?
13
??
120
169
.

（Ⅱ）
sin（
?
?
?
4
）?sin
?
cos
?
4
?cos
?
sin
?
4


?(?
52
1 3
)?
2
?
12
13
?
2
2
?< br>72
26
.

（28）本小题满分8分．
解 原不等式化为
x
2
?7x?12
x
2
? 8x?12
?0，

即
（x?3）(x?4）
（x?2）(x?6）
?0
．
由数轴标根法,可得原不等式的解集为
第 33 页 共20页
（?）??
（??）D?
（??）???
（??）???
23）7
26）30


（
（

让更多的孩子得到更好的教育

?
xx?2，或3?x?4，或x?6
?
．
（29）本小题满分8分．
解 (Ⅰ) 根据等差数列
?
a
n?
的通项公式：
a
n
=
a
1
?(n?1)d< br>，
得
?
?
a
1
?4d?10,

a?11d?31,
?
1
解得
a
1
= -2，
d
=3 ．
(Ⅱ) 根据等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和公式：
S
n
?na
1
?
得
S
18
?18?(?2)?
（30）本小题满分8分．
（Ⅰ）证明 连结
AC、BD
，
在正方形
ABCD
中，有
EF
∥
AC，

AC?BD，

∴
EF?BD
．
又∵
D
1
D?
底面
ABCD
，
EF
?
平面
ABCD
，
∴
EF
?D
1
D
．
∵
BD
∩
D
1
D
=
D
，
且
BD
与
D
1
D
均在平面
D
1
DB
内，
∴
EF
⊥平面
D
1
DB
．
∵
BD
1
?
平面
D
1
DB
，
∴
EF
⊥
BD
1
．
（Ⅱ）解 设
EF
与
BD
交于点
G
，连结
B
1
G
，
∵
EF
⊥平面
D
1
DB
，
B
1
G
?
平面
D
1
DB< br>，
n(n?1)
d
，
2
18?17
?3
=423 .
2
D
1

A
1

B
1

C
1

D

A

E

G
C

F

B
第 34 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育

∴
EF
⊥
B
1
G
．
∴∠
B
1GB
为二面角
B
1
?EF?B
的平面角．
由平面几何知识，得
BG?
2
,
又棱
B
1
B?1,

4
B
1
B
=
22
．
BG
在R t△
B
1
BG
中，
tanB
1
GB?
(Ⅲ ) 解
V
B
1
?BEF
?
1
1
S?BEF
?B
1
B

?
．
24
3
（31）本小题满分10分．
解（Ⅰ）由双曲线的方程，知
a?b?1
， ∴
c?2
．
于是，双曲线的两个焦点的坐标分别为
F
，
F
，
（，0）（2，0）
1
?2
2
∴ 以
O
为圆心，以线段
F
1
F
2
为直径的圆的方程为
x
2
?y
2
?2
．
（Ⅱ）根据题意，设直线
l
的方程为
y?kx?m，

建 立方程组
?
?
y?kx?m，
?
x?y?1.
22
22

消去
y
，得
(k?1)x?2kmx?m?1?0
．
若直线
l
与双曲线的交点为
A(x
1
,y
1
)、B（x
2
，y
2
）
，则
2
2km
m
2
?1
x
1
?x
2
??
2
，< br>
x
1
?x
2
?
2

(k??1)
．
k?1
k?1
AB
?1?k
2< br>x
1
?x
2
,
而
?
＞
0，

x
1
?x
2
?
2m
2
?k
2
?1
k?1
2

第 35 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育

22
∴
AB
?1?k（x
1
?x
2
）?4x
1
x
2



?
21?k
2
?m
2
?k
2
?1
k?1
2
．
?2）
∵ 点
C（0，
到直线
l
的距离为
d?
∴
S
?ABC
?
m?2
1?k
2
，
1
AB?d

2
m?2
121?k
2
?m
2
?k
2
?1

??

?
2
2
2
k?1
1?k

?
m?2
m
2
?k
2
?1
．
2
k?1
又 ∵ 直线
l
是⊙
O
的切线，
∴
m
1?k
2
m
2
?1
．
?2
， 即
k?
2
2
∴
S
?AB C
?
m?2
m
2
?1?1
2
m
2
m??1?1
?
2
2
2m
2
?8
．
m?2
又 已知
S
?ABC
?10
，有
2
2m
2
?8
?10
，
m?2
即
m?5m?4?0
．解得
m?4，
∵ 直线
l
是⊙
O
的切线，有
m?
2
m?1
．
2
，∴
m?4
．
4
2
?1?7，
于是，
k?
即
k??7
．
2
∴ 直线
l
的方程为
y?7x?4
或
y??7x?4
．
第 36 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育








天津市2004年6月高中毕业会考数学试题
参考答案及评分标准
二、选择题：本大题共20个小题，每小题2分，满分40分．
（1） D
（6） A
（11）B
（16）B
（2） D
（7） D
（12）C
（17）A
（3） B
（8） A
（13）C
（18）B
（4） C
（9） B
（14）D
（19）C
（5） A
（10）A
（15）D
（20）C
??二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，满分15分．
（21）1
（22）
3

5
（23）
43

（24）165
a
x
?a
?x
［0
，＋∞）（2 5）当a＞1时，
f(x)?
，x∈；
2
?1
a
x
?a
?x
当0＜a＜1时，
f(x)?
，x∈（－∞，
0］

2
?1
三、解答题：本大题共5个小题，满分45分．
（26）本小题满分8分．
解（Ⅰ）由
sin
?
?
?525
2
，
??(,?)
，得
cos
?
??1 ?sin
?
??
,
2
55
4
525
?(?)
＝
?
．
5
55
∴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
＝
2?
第 37 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育

5
sin
?
1
?
5
??
， （Ⅱ）∵
tan
?
?
cos
?
2
25
?
5
?1
tan?tan?1?(?)
?
42
?
1< br>． ∴
tan(??)?
＝
?1
43
1?tantan?1?
42



（27）本小题满分9分．
解（Ⅰ）由
a
n
?2n?3
，令n＝1，得
a
1
?2?1?3?5
．
∵数列
?
a
n
?
为等差数列，
∴d
＝
a
n
?a
n?1
?(2n?3)?[2(n?1) ?3]?2
．
（Ⅱ）由等差数列的前n项和公式
S
n
?na
1
?

S
10
?10?5?
n(n?1)
d
，得
2
10?9
?2?140
．
2
22
（28）本小题满分9分．
解（Ⅰ）将圆C的方程
x?y?6x?0
化为标准方程

(x?3)?y?3
，
∴圆C的半径为3，圆心坐标为（3，0）．
（Ⅱ）由已知，直线l经过点（0，6），且与圆C相切，那么
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y?kx?6
．
∵直线l与圆C相切，
∴
222
|3k?6|
3
?3
． 解得
k??
．
4
k
2
?1
此时，直线l的方程为
y??
3
x?6
，即
3x?4y?24?0< br>．
4
第 38 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育

当直线l的斜率不存在时，直线
x?0
满足条件．
综上，所求直线l的方程为
3x?4y?24?0
或
x?0
．
（29）本小题满分9分．
（Ⅰ）证明 由已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，
得BC⊥AC．
∵侧棱PA⊥底面ABC，BC
?
平面ABC，
∴BC⊥PA．
又PA
?
侧面PAC，AC
?
侧面PAC，且PA∩AC＝A，
∴BC⊥侧面PAC．
（Ⅱ）解 由（Ⅰ）知BC⊥侧面PAC，而PC
?
侧面PAC，
∴BC⊥PC．
又BC⊥AC，
∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．
∵PA⊥平面ABC，AC
?
平面ABC，
∴PA⊥AC．
又PA＝AC＝1，
∴△PAC为等腰直角三角形．
∴∠PCA＝45°．
∴二面角P－BC－A为45°．
（Ⅲ）解 ∵E为PA的中点，
∴三棱锥E―ABC的高 EA＝
11
PA＝．
22
111
又
S
?ABC
?AC?BC??1?1?
， 222
11111
∴
V
E?ABC
?S
?ABC
?EA????
．
332212
（30）本小题满分10分．
解（Ⅰ）设点P（x，y），x∈［－1，0］为
f(x)
图象上一点，
由
f(x)
与
g(x)
的图象关于直线x＝1对称，得点P关于直线x＝1的对 称点为
3
P
?
（2－x，y），2－x∈［2，3］，该点在
g( x)?3a(x?2)?(x?2)
的图象上，
第 39 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育

∴
g(2?x)?3a[(2?x)?2]?[(2?x)?2]

3
?3a(?x)?(?x)
3

?x
3
?3ax
．
即
f(x)?x?3ax
，x∈［－1，0］．
当x∈［0，1］时，－x∈［－1，0］．
∵
f(x)
是定义在［－1，1］上的偶函数，
3
3
∴
f(x)
＝
f(?x)?(?x)?3a(?x)
＝
?x?3ax
．
3
,　x?[?1,0],
?
x
3
?3ax　
故
f(x)
的解析式为
f(x)
＝
?
3
< br>,　x?(0,1].
?
?x?3ax　
（Ⅱ）任取
x
1，x
2
?(0，1
，且
x
1
＜
x
2< br>，
］

f(x
1
)?f(x
2
)?(?x
1
?3ax
1
)?(?x
2
?3ax
2
)

33
?(x
2
?x
1
)[(x
2
?x
1
x
2
?x
1
)?3a]

∵0＜
x
1
＜
x
2
?1， a＞1，
∴
x
2
－
x
1
＞0，
(x
2
?x
1
x
2
?x
1
)?3 a
＜（1＋1＋1）－3＝0．
∴
f(x
1
)?f(x
2
)
．
∴
f(x)
在上为增函数．
（　0，1］
同理可得（或由偶函数的性质）
f(x)
在［－1，0］上为减函数．
故
f(x)
的单调区间是［－1，0］，，
（　0，1］
22
22
（　0，1］
其中，在区间［－1，0］上是减函数，在区间上是增函数．
（Ⅲ）由
f(x)
是定义在［－1，1］上的偶函数及它的单调性，可知
第 40 页 共20页

让更多的孩子得到更好的教育

当
x??1
时，
f(x)
取得最大值5．
∴
3a?1?5
，即
a?2
．









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