高中数学会考考试卷

高中数学会考试卷


第一卷（选择题共60分）
一、选 择题：本大题共14小题：第（1）—（10）题每小题4分，第（11）-（14）题每小
题5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={0，2，4，8}，那么A∩B子集的个数是：（ ）
A、6个 B、7个 C、8个 D、9个
（2）式子4·5的值为：（ ）
A、45 B、54
C、20 D、120
（3）已知sinθ=35,sin2θ<0,则tg（θ2）的值是：（ ）
A、-12 B、12 C、13 D、3
2
（4）若log
a
(a+1) a
2a<0，则a的取值围是：（ ）
A、（0,1) B、(12,1) C、(0,12) D、(1，+∞)
（5）函数f(x)=π2+arcsin2x的反函数是（ ）
-1-1
A、f(x)=12sinx,x∈[0,π] B、f(x)=-12sinx,x∈[0,π]
-1-1
C、f(x)=-12cosx,x∈[0,π] D、f(x)=12cosx,x∈[0,π]
4
（6）复数z=（＋i)(-7-7i)的辐角主值是：（ ）
A、π／12 B、11π12 C、19π12 D、23π12
（7）正数等比数列a
1
,a< br>2
,a
8
的公比q≠1,则有：（ ）
A、a
1
+a
8
>a
4
+a
5
B、a
1
+a
8
4
+a
5
C、a
1
+a
8
=a
4
+a
5
D、a
1
+a
8
与a
4
+a
5
大小不确定
22
（8）已知a、b∈R，条件P：a+b≥2ab、条件Q：，则条件P是条件Q的（ ）
A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
（9）椭圆的左焦点F
1
，点P在椭圆上，如果线段PF
1
的中点M在Y轴上 ，那么P点到右焦
点F
2
的距离为：（ ）
A、345 B、165 C、3425 D、1625
（10）已知直线l
1
与平面α成π6角，直线l< br>2
与l
1
成π3角，则l
2
与平面α所成角的围
是： （ ）
A、[0，π3] B、[π3,π2] C[π6,π2]、D、[0，π2]
（11）已知，b为常数，则a的取值围是：（ ）
A、|a|>1 B、a∈R且a≠1 C、-1＜a≤1 D、a=0或a=1
（12）如图，液体从一球形漏斗漏入 一圆柱形烧杯中，开始时漏斗盛满液体，经过3分钟漏
完。已知烧杯中的液面上升的速度是一个常量，H 是漏斗中液面下落的距离，则H与下落时
间t(分）的函数关系用图象表示只可能是：（ ）

3

（13）已知函数f(x)=-x-x,x
1
、x
2< br>、x
3
∈R,且x
1
+X
2
>0,X
2+X
3
>0,X
3
+X
1
>0,则f(x
1< br>)+f(x
2
)+f(x
3
)

的值： （ ）
A、一定大于零B、一定小于零C、等于零D、正负都有可能
（14）如图，一正方体棱 长为3cm，在每个面正中央有一个入口为正方形的孔通过对面，孔
的边长为1cm，孔的各棱平行于正 方形的孔通过对面，孔的边长为1cm，孔的各棱平行于正
方体各棱，则所得几何体的总表面积为（）
2222
A、54cm B、76cm C、72cm D、84cm
二、填空题：本大题共4小题：每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（15 ）已知函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则
其面积为 _____________。
（16）直线l与直线y=1,x-y-7=0分别交于P、Q两 点，线段PQ的中点坐标为(-1,1)，
那么直线l的斜率为______________。
+
（17）设f(x)为偶函数，对于任意x∈R，都有f(2+X)=-2f(2-X) ，已知f(-1)=4，那
么f(-3)=____________。
（18）等差数 列{a
n
}中，s
n
是它的前n项之和，且s
6
7
,s
7
>s
8
,则：
①此数列公差d<0；②s9一定小于s6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定
是Sn中最大值。
其中正确的是______________（填入序号）。
三、解答题：本大题共6小题：共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2xx
（19）（本小题满分10分）解关于x的方程：log
a
x+2
(2a+3a-2)=2(a>0且a≠1)。
（20）（本小题满分12分） 设△ABC的两个角A、B所对的边的长分别为a、b。复数
Z
1
=a+bi,Z2
=cosA+icosB。若复数Z1·Z2在复平面上对应的点在虚轴上，试判断△ABC的形
状。
（21）（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，各棱长都等于a,D、F
分别为AC
1
、BB
1
的中点。
（1）求证DF为异面直线AC
1
与BB
1
的公垂线段，并求DF的长。
（2）求点C
1
到平面AFC的距离。
（22）（本小题 满分12分）某工厂有容量为300吨的水塔一个，每天从早上6时起到
晚上10时上供应该厂生活和生 产用水。已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量（W吨）
与时间t（单位：小时。定义早上6时 t=0）的函数关系为w=100，水塔的进水量有10级，
第一级每小时进水10吨，以后每提高一级 ，每小时的进水量增加10吨，若某塔原有水100
吨，在供水同时打开进水管，问进水量选择第几级， 既能保证该厂用水（水塔中水不空）又
不会使水溢出。
（23）（本小题满分14分）设 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且对任意a、b∈[-1，
1]，当a+b≠0时，都有> 0。
（1）若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小。
（2）解不等式f(x-)2
（3）记P={x|y=f(x-c)}，Q={x|y=f(x-C)}，且P∩Q=∞，求C的取值围。
2
（24）（本小题满分14分）已知抛物线x=4(y-1),M是其顶点。
（1）若圆C的圆心C与抛物线的顶点M关于X轴对称，且圆C与X轴相切。求圆C的
方程。
（2）过抛物线上任意一点N作圆C的两条切线，这两条切线与抛物线的准线交于P、Q
两点，求|PQ |的取值围。
数学（理科）

第一卷（选择题共60分）
一、选择 题：本大题共14小题：第（1）—（10）题每小题4分，第（11）-（14）题每小
题5分，共6 0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={0，2，4，8}，那么A∩B子集的个数是：（ ）
A、6个 B、7个 C、8个 D、9个
（2）式子4·5的值为：（ ）
A、45 B、54
C、20 D、120
（3）已知sinθ=35,sin2θ<0,则tg（θ2）的值是：（ ）
A、-12 B、12 C、13 D、3
2
（4）若log
a
(a+1) a
2a<0，则a的取值围是：（ ）
A、（0,1) B、(12,1) C、(0,12) D、(1，+∞)
（5）函数f(x)=π2+arcsin2x的反函数是（ ）
-1-1
A、f(x)=12sinx,x∈[0,π] B、f(x)=-12sinx,x∈[0,π]
-1-1
C、f(x)=-12cosx,x∈[0,π] D、f(x)=12cosx,x∈[0,π]
4
（6）复数z=（＋i)(-7-7i)的辐角主值是：（ ）
A、π／12 B、11π12 C、19π12 D、23π12
（7）正数等比数列a
1
,a< br>2
,a
8
的公比q≠1,则有：（ ）
A、a
1
+a
8
>a
4
+a
5
B、a
1
+a
8
4
+a
5
C、a
1
+a
8
=a
4
+a
5
D、a
1
+a
8
与a
4
+a
5
大小不确定
22
（8）已知a、b∈R，条件P：a+b≥2ab、条件Q：，则条件P是条件Q的（ ）
A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
（9）椭圆的左焦点F
1
，点P在椭圆上，如果线段PF
1
的中点M在Y轴上 ，那么P点到右焦
点F
2
的距离为：（ ）
A、345 B、165 C、3425 D、1625
（10）已知直线l
1
与平面α成π6角，直线l< br>2
与l
1
成π3角，则l
2
与平面α所成角的围
是： （ ）
A、[0，π3] B、[π3,π2] C[π6,π2]、D、[0，π2]
（11）已知，b为常数，则a的取值围是：（ ）
A、|a|>1 B、a∈R且a≠1 C、-1＜a≤1 D、a=0或a=1
（12）如图，液体从一球形漏斗漏入 一圆柱形烧杯中，开始时漏斗盛满液体，经过3分钟漏
完。已知烧杯中的液面上升的速度是一个常量，H 是漏斗中液面下落的距离，则H与下落时
间t(分）的函数关系用图象表示只可能是：（ ）

3

（13）已知函数f(x)=-x-x,x
1
、x
2< br>、x
3
∈R,且x
1
+X
2
>0,X
2+X
3
>0,X
3
+X
1
>0,则f(x
1< br>)+f(x
2
)+f(x
3
)
的值： （ ）
A、一定大于零B、一定小于零C、等于零D、正负都有可能
（14）如图，一正方体棱长为3cm， 在每个面正中央有一个入口为正方形的孔通过对面，孔
的边长为1cm，孔的各棱平行于正方形的孔通过 对面，孔的边长为1cm，孔的各棱平行于正
方体各棱，则所得几何体的总表面积为（）
2222
A、54cm B、76cm C、72cm D、84cm

二、填空题：本大题共4小题：每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（15）已知函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形， 则
其面积为_____________。
（16）直线l与直线y=1,x-y-7= 0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(-1,1)，
那么直线l的斜率为_________ _____。
+
（17）设f(x)为偶函数，对于任意x∈R，都有f(2+X)=- 2f(2-X)，已知f(-1)=4，那
么f(-3)=____________。
（18）等差数列{a
n
}中，s
n
是它的前n项之和，且s
67
,s
7
>s
8
,则：
①此数列公差d<0；②s9一定小于s6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定
是Sn中最大值。
其中正确的是______________（填入序号）。
三、解答题：本大题共6小题：共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2xx
（19）（本小题满分10分）解关于x的方程：log
a
x+2
(2a+3a-2)=2(a>0且a≠1)。
（20）（本小题满分12分） 设△ABC的两个角A、B所对的边的长分别为a、b。复数
Z
1
=a+bi,Z2
=cosA+icosB。若复数Z1·Z2在复平面上对应的点在虚轴上，试判断△ABC的形
状。
（21）（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，各棱长都等于a,D、F
分别为AC
1
、BB
1
的中点。
（1）求证DF为异面直线AC
1
与BB
1
的公垂线段，并求DF的长。
（2）求点C
1
到平面AFC的距离。
（22）（本小题 满分12分）某工厂有容量为300吨的水塔一个，每天从早上6时起到
晚上10时上供应该厂生活和生 产用水。已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量（W吨）
与时间t（单位：小时。定义早上6时 t=0）的函数关系为w=100，水塔的进水量有10级，
第一级每小时进水10吨，以后每提高一级 ，每小时的进水量增加10吨，若某塔原有水100
吨，在供水同时打开进水管，问进水量选择第几级， 既能保证该厂用水（水塔中水不空）又
不会使水溢出。
（23）（本小题满分14分）设 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且对任意a、b∈[-1，
1]，当a+b≠0时，都有> 0。
（1）若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小。
（2）解不等式f(x-)2
（3）记P={x|y=f(x-c)}，Q={x|y=f(x-C)}，且P∩Q=∞，求C的取值围。
2
（24）（本小题满分14分）已知抛物线x=4(y-1),M是其顶点。
（1）若圆C的圆心C与抛物线的顶点M关于X轴对称，且圆C与X轴相切。求圆C的
方程。
（2）过抛物线上任意一点N作圆C的两条切线，这两条切线与抛物线的准线交于P、Q
两点，求|PQ |的取值围。






试题答案及评分标准

一、CCDBC、DACBD、BDBC
二、15、4π 16、- 17、-8 18、①②④
三、
19、解：设ax=t>0
则原方程变为log
t+2
(2t+3t-2)=2
∴2t+3t-2=（t+2） 4分
整理得t-t-6=0
解得t
1
=3,t
2
=-2 6分
∵t>0,∴t
2
=-2舍去
当t
1
=3，即a=3时x=log
a
3， 8分
经检验x=log
a
3是原方程的解 9分
∴原方程的解为x=log
a
3 10分
20、解：z1·z2=(a+bi)(cosA+icosB)=(acosA- bcosB)+i(bcosA+acosB) 4分
由题设得 6分
由式及余弦

定理得：a·
=
0 8分
22222
x
2
222
2
- b·
222
整理得：（a-b）(c-a-b)=0 ∴ a=b 或 c=a+b 满足②式 10分
∴ΔABC为等腰三角形或直角三角形 12分
2

1、
解：（I）在面AC
1
过D作EG∥AC，交 AA
1
于E，交
CC
1
于G.

则E、G分别为
AA
1
、CC
1
的中点，连结EF、GF、FC1


DF为异面直线AC1与BB1的公垂线段 4

分

在正三角形EFG中，DF= a 6分
（II）设点C
1
到平面ACF的距离为h.
过A作AH⊥BC交BC于H，则AH为点A到面BC
1
的距离.
∵V< br>C1-ACF=
V
A-CC1F
，即S
ΔCC1F
·AH=S
ΔACF
·h 8分
∵S
ΔCC1F
=a,AH=a ,AC=a ,CF=AF=a
S
ΔACF
=AC·=a
∴h==a
即点C
1
到平面AFC的距离为a 12分
22、解：设进水量选用第n级，在t时刻水塔中的水的存有量为：
y=100+10nt-10t-100(0＜t≤16) 2分
要是水塔中水不空不溢，则0＜y≤300
2
2
10分
即
对一切0＜t≤16恒成立。 6分
令=x ,x≥
则-10x+10x+1＜n≤20x+10x+1
而y
1
=-10x+10x+1=-10(x-)+≤ (x≥) 8分
y
2
=20x+10x+1=20(x+)-≥4(x≥) 10分
2
22
22

∴3＜n≤4 ∴n=4 选择第4级进水量可满足要求 12分
23、解：（I）对任意x
1
、x
2∈
[-1,1]，当x
1
＜x
2
时，由奇函数的定 义和题设不等式得： 3
分
f(x
2
) -f(x
1
)=f(x
2
)+f(-x
1
)=(x
2-
x
1)
＞0
即 f(x
2
)＞f(x
1
) 5分
∴f(x)在[-1,1]上是增函数，而a＞b，∴f(a)＞f(b) 7
分
(II)由(I)得：-1≤x-＜x-≤1 7分
解得： -≤x≤ 即不等式的解 9分
(III)P={x-1≤x-c≤1=}= [c-1,c+1],Q={-1≤x-c≤1}=[c-1,c+1]
11分
P∩Q=Φ <=> c+1＜c-1或c+1＜c-1 13分
解得：c＜-1或c＞2
的取值围是c＜-1或c＞2 14分
24、解：(I)抛物线顶点M(0,1)，圆C的圆心(0,-1)，半径r=1。
∴圆的方程为x+(y+1)=1 4分
(II)设N(x
0< br>,y
0
)，P(a,0)，由题设可知抛物线准线方程为y=0，
当直线NP的斜率存在时，则直线NP方程为y=(x-a)
即y
0
x+(a-x
0
)y -ay
0
=0 6分
当直线的斜率不存在时，满足上方程，
因直线NP与圆C相切，所以=1
即(y
0
+2)a-2x
0
a-y
0
=0 8分
由y
0
≥1知y
0
2≠0，上面关于a方程 两根是P、Q两点横坐标a
1
+a
2
=,a
1
a
2
=，
|PQ|=|a
1
-a
2
|=== 而x
0
=4(y
0
-1)
∴|PQ|== 10分
2
+
2
22
22
222

=== 12分
∵y
0
≥1 ，∴0＜
≤，∈(0,]

∴当=，即y
0
=10
时，|PQ|
max
=

当=，即y
0
=1
时，|PQ|
max
=

∴|PQ|的取值围是 [,] 14分
试题答案及评分标准
一、CCDBC、DACBD、BDBC
二、15、4π 16、- 17、-8 18、①②④
三、
19、解：设ax=t>0
则原方程变为log
t+2
(2t+3t-2)=2
∴2t+3t-2=（t+2） 4分
整理得t-t-6=0
解得t
1
=3,t
2
=-2 6分
∵t>0,∴t
2
=-2舍去
当t
1
=3，即a=3时x=log
a
3， 8分
x
2
222
2

经检验x=log
a
3是原方程的解 9分
∴原方程的解为x=log
a
3 10分
20、解：z1·z2=(a+bi)(cosA+icosB)=(acosA- bcosB)+i(bcosA+acosB) 4分
由题设得 6分
由式及余
弦定理得：
a·
=
0
8分
22222222
-

b·
整理得：（a-b）(c-a-b)=0 ∴ a=b 或 c=a+b 满足②式 10分
∴ΔABC为等腰三角形或直角三角形 12分


2
解：（I） 在面AC
1
过D作EG∥AC，交AA
1
于E，交CC
1
于 G.
1
、


则E、G分别为A A
1
、CC
1
的中点，连结EF、GF、FC
1


DF为异面直线AC1与BB1的公
垂线段 4分
在正三角形EFG中，DF= a 6分
（II）设点C
1
到平面ACF的距离为h.
过A作AH⊥BC交BC于H，则AH为点A到面BC
1
的距离.
∵V< br>C1-ACF=
V
A-CC1F
，即S
ΔCC1F
·AH=S
ΔACF
·h 8分
∵S
ΔCC1F
=a,AH=a ,AC=a ,CF=AF=a
S
ΔACF
=AC·=a
∴h==a
即点C
1
到平面AFC的距离为a 12分
2
2
10分

22、解：设进水量选用第n级，在t时刻水塔中的水的存有量为：
y=100+10nt-10t-100(0＜t≤16) 2分
要是水塔中水不空不溢，则0＜y≤300
即
对一切0＜t≤16恒成立。 6分
令=x ,x≥
则-10x+10x+1＜n≤20x+10x+1
而y
1
=-10x+10x+1=-10(x-)+≤ (x≥) 8分
y
2
=20x+10x+1=20(x+)-≥4(x≥) 10分
2
22
22

∴3＜n≤4 ∴n=4 选择第4级进水量可满足要求 12分
23、解：（I）对任意x
1
、x2∈
[-1,1]，当x
1
＜x
2
时，由奇函数的定义和题设不 等式得： 3
分
f(x
2
)-f(x< br>1
)=f(x
2
)+f(-x
1
)=(x
2-
x
1)
＞0
即 f(x
2
)＞f(x
1
) 5分
∴f(x)在[-1,1]上是增函数，而a＞b，∴f(a)＞f(b) 7
分
(II)由(I)得：-1≤x-＜x-≤1 7分
解得： -≤x≤ 即不等式的解 9分
(III)P={x-1≤x-c≤1=}= [c-1,c+1],Q={-1≤x-c≤1}=[c-1,c+1]
11分
P∩Q=Φ <=> c+1＜c-1或c+1＜c-1 13分
解得：c＜-1或c＞2
的取值围是c＜-1或c＞2 14分
24、解：(I)抛物线顶点M(0,1)，圆C的圆心(0,-1)，半径r=1。
22
222

∴圆的方程为x+(y+1)=1 4分
(II)设N(x
0
,y
0
)，P(a,0 )，由题设可知抛物线准线方程为y=0，
当直线NP的斜率存在时，则直线NP方程为y=(x-a)
即y
0
x+(a-x
0
)y -ay
0
=0 6分
当直线的斜率不存在时，满足上方程，
因直线NP与圆C相切，所以=1
即(y
0
+2)a-2x
0
a-y
0
=0 8分
由y
0
≥1知y
0
2≠0，上面关于a方程 两根是P、Q两点横坐标a
1
+a
2
=,a
1
a
2
=，
|PQ|=|a
1
-a
2
|=== 而x
0
=4(y
0
-1)
∴|PQ|== 10分
=== 12分
2
+
2
22
∵y
0
≥1 ，∴0＜
≤，∈(0,]

∴当=，即y
0
=10
时，|PQ|
max
=

当=，即y
0
=1
时，|PQ|
max
=

∴|PQ|的取值围是 [,] 14分