高一数学必修二《圆与方程》知识点整理复习课程

高一数学必修二《圆与方程》知识点整理
一、标准方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
22
?r
2

1.求标准方程的方法——关键是求出圆心
?
a,b
?
和半径
r

①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材
P
119
例2
②利用平面几何性质
往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交
相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线
相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理
2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）
条件 方程形式
圆心在原点
x?y?r
2
222
?
r?0
?

2
22
过原点 < br>?
x?a
?
?
?
y?b
?
?a?b
圆心在
x
轴上
?
x? a
?
?y?r
2
2
2
?
a
2
?b
2
?0
?

?
r?0
?

?
r?0
?

?
a?0
?

?
b?0
?

2
圆心在
y
轴上
x?
?
y?b
?
?r
2
2
2
圆心 在
x
轴上且过原点
?
x?a
?
?y?a
2
2
2
圆心在
y
轴上且过原点
x?
?
y?b
?
?b
2
2
2
2< br>与
x
轴相切
?x?a
?
?
?
y?b
?
?b
22
2< br>?
b?0
?

?
a?0
?
与
y
轴相切
?
x ?a
?
?
?
y?b
?
?a
与两坐标轴都相切
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?a
二 、一般方程
22
2
2
?
a?b?0
?

x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
?
D
2
?E
2
?4F?0
?

1.
Ax?By?Cxy?Dx?Ey?F?0
表示圆方程则
22
?
?
?
A?B?0
?
A?B?0
??
?
?
C?0

?
C?0
??
D
2
?E
2
?4AF?0
22
?
DEF
?
??
?
? ?
?4??0
????
?
A
?
?
A
??< br>A
?
1

< br>2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材
P
122
例
r4
3.
D?E?4F?0
常可用来求有关参数的范围
三、点与圆的位置关系
1.判断方法：点到圆心的距离
d
与半径
r
的大小关系
d?r?
点在圆内；
d?r?
点在圆上；
d?r?
点在圆外
2.涉及最值：
（1）圆外一点
B
，圆上一动点
P
，讨论
PB
的最值
22
PB
min
?BN?BC?r

PB
max
?BM?BC?r


（2）圆内一点
A
，圆上一动点
P
，讨论
PA
的最值


PA
min
?AN?r?AC


PA
max
?AM?r?AC


思考：过此
A
点作最短的弦？（此弦垂直
AC
）
四、直线与圆的位置关系
1.判断方法（
d
为圆心到直线的距离）
（1）相离
?
没有公共点
?
??0?d?r

（2）相切
?
只有一个公共点
?
??0?d?r

（3）相交
?
有两个公共点
?
??0?d?r

这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.
2.直线与圆相切
（1）知识要点
①基本图形







②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等
问题：直线
l
与圆
C
相切意味着什么？
圆心
C
到直线
l
的距离恰好等于半径
r

（2）常见题型——求过定点的切线方程
2

①切线条数
点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无
②求切线方程的方法及注意点
．．．
i）点在圆外
如定点
P?
x
0
,y
0
?
，圆：
?
x?a?
?
?
y?b
?
?r
，[
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
]
22
2222
第一步：设切线
l
方程
y?y< br>0
?k
?
x?x
0
?

第二步：通过
d?r?k
，从而得到切线方程
特别注意：以上解题步骤仅对
k
存在有效，当
k
不存在时，应补上——千万不要漏了！
如：过点
P
?
1,1
?
作圆
x?y?4x?6y?12?0
的切线，求切线方程.
22
答案：
3x?4y?1?0
和
x?1

ii）点在圆上
1） 若点
?
x
0
，y
0
?
在圆
x
2
?y
2
?r
2
上，则切线方 程为
x
0
x?y
0
y?r
2

会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.
2） 若点
?
x
0
，y
0
?
在圆
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
上，则切线方程为
2
22
?
x
0
?a
??
x?a
?
?
?
y
0
?b
??
y?b
?
?r
2

碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.
由上述分析，我们知道 ：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断
点与圆的位置关系，得出切线的条数.
③求切线长：利用基本图形，
AP?CP?r?AP?
22
2
CP? r
2

2
?AC?r
求切点坐标：利用两个关系列出两个方程
?

k?k??1
?
ACAP
3.直线与圆相交
（1）求弦长及弦长的应用问题
垂径定理及勾股定理——常用
．．．．
弦 长公式：
l?1?k
2
x
1
?x
2
?x?x
?
?
1?k
?
?
?
?
2
12
2
?4x
1
x
2
?
（暂作了解，无需掌握）
?
（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.
（3）关于点的个数问题
例：若圆
?
x?3
?
?
?
y?5
?
?r
上有且仅有两个点到直线
4x?3y?2?0
的距离为1，则
2
22
半径
r
的取值范围是__________ _______. 答案：
?
4,6
?

4.直线与圆相离
会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）
五、对称问题
3

1.若圆
x
2
?y
2
?m
2
?1x?2my?m?0
，关于直线
x?y ?1?0
，则实数
m
的值为____.
答案：3（注意：
m??1
时，
D?E?4F?0
，故舍去） 变式：已知点
A
是圆
C
:
x?y?ax?4y?5?0
上任意一点，
A
点关于直线
x?2y?1?0
的对称点在圆
C
上，则实数
a?
_________.
2.圆
?
x?1
?
?
?
y?3
?
?1
关于直线
x?y?0
对称的曲线方程是________________.
变式：已知圆
C
1
：
?
x?4
?
?
?
y?2
?
?1
与圆
C
2
：
?
x?2
?
?
?
y? 4
?
?1
关于直线
l
对称，
则直线
l
的方 程为_______________.
3.圆
?
x?3
?
??
y?1
?
?1
关于点
?
2,3
?
对 称的曲线方程是__________________.
4.已知直线
l
：
y?x?b
与圆
C
：
x?y?1
，问：是否存在实数
b< br>使自
A
?
3,3
?
发出的光
22
22
??
22
22
2222
22
线被直线
l
反射后与 圆
C
相切于点
B
?
?
247
?
,
?
？若存在，求出
b
的值；若不存在，试说明
2525
??
理由.
六、最值问题
方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程 < br>1.已知实数
x
，
y
满足方程
x?y?4x?1?0
，求：
22
y
的最大值和最小值；——看作斜率
x?5
（2）
y?x
的最小值；——截距（线性规划）
（1）
（3）
x?y
的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
2.已知
?AOB
中，
OB?3
，
OA?4
，
AB ?5
，点
P
是
?AOB
内切圆上一点，求以
PA
，
22
PB
，
PO
为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.
数形结合和参数方程两种方法均可！
3.设
P
?
x,y
?
为圆
x?
?
y?1
?
?1
上的任一点，欲使不等式
x?y?c?0
恒成立，则
c
的取
2
2
值范围是_ ___________. 答案：
c?
七、圆的参数方程
2?1
（数形结合和参数方程两种方法均可！）
?
x?rcos
?
，
?
为参数
x?y?r
?
r?0
?
?
?
y?rsin
?
?
22 2
?
x?a?rcos
?
22
2
，
?
为参 数
x?a?y?b?rr?0?
??????
?
?
y?b?rsi n
?
4

八、相关应用
1.若直线
mx?2ny?4?0
（
m
，< br>n?R
），始终平分圆
x?y?4x?2y?4?0
的周长，
则
m?n
的取值范围是______________.
2.已知圆
C
：< br>x?y?2x?4y?4?0
，问：是否存在斜率为1的直线
l
，使
l
被圆
C
截得
的弦为
AB
，以
AB
为直径的 圆经过原点，若存在，写出直线
l
的方程，若不存在，说明理
由.
2
提示：
x
1
x
2
?y
1
y
2?0
或弦长公式
d?1?kx
1
?x
2
. 答案：
x?y?1?0
或
x?y?4?0

22
22
3.已知圆
C
：
?
x?3
?
?
?
y?4
?
?1
，点
A
?
0,1
?
，
B< br>?
0,1
?
，设
P
点是圆
C
上的动点，22
d?PA?PB
，求
d
的最值及对应的
P
点坐标.
4.已知圆
C
：直线
l
：
?
x?1
?< br>?
?
y?2
?
?25
，
?
2m?1
?
x?
?
m?1
?
y?7m?4?0
（
m?R）
（1）证明：不论
m
取什么值，直线
l
与圆
C
均有两个交点；
（2）求其中弦长最短的直线方程.
5.若直线
y??x?k< br>与曲线
x??1?y
2
恰有一个公共点，则
k
的取值范围.
6.已知圆
x?y?x?6y?m?0
与直线
x?2y?3?0
交于
P
，
Q
两点，
O
为坐标原点，
问：是否存在实数< br>m
，使
OP?OQ
，若存在，求出
m
的值；若不存在，说明理 由.
九、圆与圆的位置关系
1.判断方法：几何法（
d
为圆心距）
（1）
d?r
1
?r
2
?
外离 （2）
d?r
1
?r
2
?
外切
（3）
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?
相 交 （4）
d?r
1
?r
2
?
内切
（5）
d?r
1
?r
2
?
内含
2.两圆公共弦所在直线方程
2222
圆
C
1
：
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
，圆
C
2
：
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2< br>?0
，
22
22
22
则
?
D
1< br>?D
2
?
x?
?
E
1
?E
2
?
y?
?
F
1
?F
2
?
?0
为 两相交圆公共弦方程.
补充说明：
若
C
1
与
C
2
相切，则表示其中一条公切线方程；
若
C
1
与
C
2
相离，则表示连心线的中垂线方程.
3圆系问题
2222
（1）过两圆
C
1
：
x?y ?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
和
C
2
：
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
? 0
交点的
5

圆系方程为
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
（
?
? ?1
）
说明：1）上述圆系不包括
C
2
；2）当
?
??1
时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
（2）过直线
Ax?By?C? 0
与圆
x?y?Dx?Ey?F?0
交点的圆系方程为
22
??x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
?
?
Ax?B y?C
?
?0

（3）有关圆系的简单应用
（4）两圆公切线的条数问题
①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相 交时，有两条公切线；④相
离时，有四条公切线
十、轨迹方程
（1）定义法（圆的定义）：略
（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这 种等量关系，建立起动点坐标
的关系式——轨迹方程.
例：过圆
x?y?1
外一点
A
?
2,0
?
作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹 方程.
22
分析：
OP?AP?OA






（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动
222
?

?

动点 主动点
特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.
例1.如图，已知定点
A
?
2,0
?
，点
Q
是圆
x?y?1上的动点，
?AOQ
的平分线交
AQ
于
22
M
，当
Q
点在圆上移动时，求动点
M
的轨迹方程.
分析：角平分线定理和定比分点公式.



例2.已知圆
O
：
x?y?9
，点
A
?
3,0
?
，< br>B
、
C
是圆
O
上的两个动点，
A
、
B
、
C
呈逆
22
时针方向排列，且
?BAC?
法1 ：
Q?BAC?
?
3
，求
?ABC
的重心
G
的轨迹方程.
?
3
，
?BC
为定长且等于
33

6

x
A
?x
B
?x
C
3?x
B
?x
C
?
x??
?
?
33
设
G
?
x,y
?
，则
?

?
y?
y
A
?y
B?y
C
?
y
B
?y
C
?
33
?
?
333
?
?
33
?
取
BC
的 中点为
x
E
?
?
?,
?
，
y
E< br>?
?
?,
?

?
24
42
?
??
?
QOE?CE?OC
，
?x
E
2
?yE
2
?
222
9
LL
（1）
4
3?2x
E
x
B
?x
C
3x?3
?
??
x?
x?x?
?
?
?
?
x
B
?x
C
?2x
E
?
E
??
E
3
22
，
?
?
?
?
?
??
?
y< br>B
?y
C
?2y
E
?
y?
y
B?y
C
?
y?
2y
E
?
y?
3
y
E
E
?
?
?
?2
3
?2
?< br>22
?
3
?
2
?
3x?3
??
3< br>?
9
?
3
?
2
故由（1）得：
?
? y??x?1?y?1x?0,,y??,1
?

??
?
????< br>?
?
4
?
2
??
2
??
2
?
?
2
?
法2：（参数法）
设
B
?
3c os
?
,3sin
?
?
，由
?BOC?2?BAC?
2
?
，则
3
?2
?
?
C
?
3 cos
?
?
?
3
?
?
设
G
?x,y
?
，则
2
?
??
,3sin
?
?
??
3
??
?
?
?
?

?< br>?
?2
?
??
3?3cos
?
?3cos
?
?
??
?
x
A
?x
B
?x
C2
?
?
3
?
?
?
?
x???1?co s
?
?cos
?
?
?
?
L
?
1< br>?
333
???

?
2
?
??
?< br>3sin
?
?3sin
?
?
?
?
?
y
A
?y
B
?y
C
2
?
?
3?
?
?
y???sin
?
?sin
?
?
?
??
LL
?
2
?
333
??
?
?
2
3
?
2
2
?
?
4
?
?
?
3
?
2
?
?
?
,
1?1? 2
x?1?y?1x?0,,y??,1
?
，由得：
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
33
?
?
2
?
?
2
?
参数法的本质是将动点坐 标
?
x,y
?
中的
x
和
y
都用第三个变量 （即参数）表示，通过消
．
参得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出
x
，< br>y
的范围.
．
（4）求轨迹方程常用到得知识
7

x
A
?x
B
?x
C
x
1
?x
2
?
?
x?x?
?
?
?
?
2
3
①重心
G
?
x,y
?
，
?
②中点
P
?
x,y
?
，
?

?
?
?
y?
y
A?y
B
?y
C
3
③内角平分线定理：
BDAB
CD
?
AC


④定比分点公式：
AM
MB
?
?
，则
x
x?
?
x
B
M
?< br>A
1?
?
，
⑤韦达定理.

8

?
y?
y
1
?y
2
?
?2
y?
y
A
?
?
y
B
M
1?
?