新高中数学必修二知识体系整合

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第二章 点、直线、平面之间的位置关系

一、平面
1、含义：平面是无限延展的
2、“3个公理”
公理 内容
如果一条直线上的两点在一个
公理1 平面内，那么这条直线在此平面

内
图形 符号
A∈l，B∈l，且A
∈α，B∈α
?l?α
A，B，C三点不共
过不在一条直线上的三点，有且
只有一个平面
公理2

线?存在唯一的α,
使A，B，C∈α
推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面
②两条相交直线可确定一个平面
③两条平行直线可确定一个平面
如果两个不重合的平面有一个公
公理3 共点，那么它们有且只有一条过
该点的公共直线

P∈α，P∈β
?α∩β＝l，且P∈l
二、空间中点、直线、面的位置关系（“3种关系”）

1、空间两条直线的位置关系
位置关系
共面
相交
平行
特 点
同一平面内，有且只有一个公共点
同一平面内，没有公共点
不同在任何一个平面内，没有公共点 异面直线
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异面直线的画法
1.异面直线所成角θ的范围是【锐角(或直角)】 0
0
<θ≤90
0

2.当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面
直线互相垂直，记作a⊥b；
2.直线与平面的位置关系
位置关系
公共点
符号表示
图形表示
直线a在平面α内
无数个公共点
a?α
直线a在平面α外
直线a与平面α相交

直线a与平面α平行

一个公共点
a∩α＝A
没有公共点
a∥α

3.两个平面的位置关系
位置关系
两平面平行
图示 表示法
α∥β
公共点个数
没有公共点
有无数个公共
两平面相交


α∩β＝l
点(在一条直线
上)
三、平行（3种）
线线平行 线面平行 面面平行
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a∥α
a?α
?
?
b?α
?
?a∥α
?
a∥b
?

?
?
a?β
?
?a∥b
?
α∩β＝b
?

α∥β
?
?
α∩γ＝a
?
?a∥b
?
β∩γ＝b
?
垂直于同一条直线
a⊥α
?
?
?
?a∥b
b⊥α
?
?

的两平面平行
垂直于同一平面的
两直线平行

a∥b
?
?
?
?a∥c.

b∥c
?
?

四、垂直（3种）

线线垂直 线面垂直 面面垂直
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α⊥β
?
α∩β＝l
?
?
?a⊥β
a?α
?
?
a⊥l


五、角（3种）
异面直线所成角

直线与平面所成角度
平面的一条斜线和它在平面上
的射影所成的锐角

二面角
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范围：
(0?,90?]

范围：
[0?,90?]

?当直线AP与平面垂直时，它
们所成的角是90°.
?当直线与平面平行或在平面
内时，它们所成的角是0°.

范围：
[0?,180?]

第三章 直线与方程
一、倾斜角和斜率
1、倾斜角：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与 x轴平行或重合的直线的倾
斜角为0°.
2、斜率：k ＝ tan α ＝
直线
倾斜角
斜率

α＝0°
0
y
2
－y
1
(x
≠x)
x
2
－x
1
12

0°<α<90°
>0

α＝90°
不存在

90°<α<180°
<0
二、直线的位置关系
直线方

程
l
1< br>:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
（
A
1
,B
1
不同时为0），
l
2
:A
2< br>x?B
2
y?C
2
?0
（
A
2
,B
2
不同时为0）
l
1
l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
平行
l
1
∥l
2
?l
1
，l
2
斜率都不存在

与直线
l:Ax?By?C?0
平行的直线，
可设所求方程为
Ax ?By?C
1
?0
（
c
1
?c
）
l1
?l
2
?
k
1
?k
2
??1
.
垂直
与直线
Ax?By?C?0
垂直的直线，可设所求方程为Bx?Ay?C
1
?0
.
一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零
l
1
与l
2
相交?k
1
≠k
2
.

l
1
与
l
2
相交
?
A1
B
1
?
.
A
2
B
2
l< br>1
与
l
2
相交
?A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
.
相交
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l
1
与
l
2
重合
?A
1
B
2
?A
2
B
1
?0,AC12
?A
2
B
1
?0
；
重合
l
1
与
l
2
重合
?
A
1
B
1
C
1
??

A
2
B
2
C
2
三、直线的方程
1. 点斜式：直线
l
过点
P
0
(x
0
,y
0< br>)
,且斜率为k，其方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
.
2. 斜截式：直线
l
的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为
y?kx?b
.
3.两点式：直线
l
经过两点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)
，其方程为
y?y
1
x?x
1
?
（
x
1< br>?x
2
,y
1
?y
2
）
y
2?y
1
x
2
?x
1
x
a
y
? 1
（不过原点的直线）
b
4. 截距式：直线
l
在x
、< br>y轴上的截距分别为a
、
b，其方程为
?
5.一般式：
Ax? By?C?0
（A
、
B不同时为0）
直线一般式方程
Ax?By? C?0(B?0)
化为斜截式方程
y??x?
?
C
的直线.
B
A
B
A
C
，表示斜率为
?
，y轴上截距为B
B
四、解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一：化为点斜式
y?y
0
?k(x?x
0
)
.令
?
?
x? x
0
?0
，直线必过定点(
x
0
，
y
0< br>)
y?y?0
0
?
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为

A
1
x＋B
1
y＋C
1
＋λ(A< br>2
x＋B
2
y＋C
2
)＝0，其中λ是参数，
?
A
1
x＋B
1
y＋C
1
＝0，
联立
?
解得．
?
A
2
x＋B
2
y＋C
2
＝0

五、距离公式
1、两点间的距离公式：|P
1
P
2
|＝? x
1
－x
2
?
2
＋?y
1
－y
2
?
2

2、点到直线的距离：
点
P(x
0< br>,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离公式为
d?
3、两平行线距离
两条平行直线
l
1
:Ax?By?C1
?0
，
l
2
:Ax?By?C
2
?0
之间的距离公式
d?
|C
1
?C
2
|
A?B22
|Ax
0
?By
0
?C|
A
2
? B
2


六、对称问题
1、点关于点对称
点
A(a,b)
关于点
P
(
x
0
,
y
0< br>)
对称，求
A
?
坐标
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?
a?c
?x
0
?
?
解：设
A
?
(c,d)
，则联立
?
2
求得
b?d
?
?y
0
?
?
2
2、点关于线对称
点N(x
0
，y
0
)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M( x，y)可由
y－y
0
?
A
?
?
?
－< br>B
?
＝－1?AB≠0?
?
x－x
0
·
??
方程组
?
x＋x
0
y＋y
0
A·＋B·
?
?
22
＋C＝0

求得．


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