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高中数学必修二知识点总结-(1)

作者:高考题库网
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2020-10-07 14:58
tags:高中数学必修二知识点

高中数学两角和与差的三角函数-王建宇高中数学

2020年10月7日发(作者:米尹知)



高中数学必修二

第一章 空间几何体
1.1空间几何体的结构
1、棱柱

定义:有两 个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边
形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何 体。
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五
棱柱等。
表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱
ABCDE?A
'
B
'
C
'
D
'
E
'

几何特征:两 底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平
行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是 与底面全等的多边
形。

2、棱锥

定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,
由这些面所围成的几何体
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五
棱锥等
'''''
表示:用各顶点字母,如五棱锥
P?ABCDE

几何特 征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相
似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的 平方。





3、棱台


定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五
棱台等
表示:用各顶点字母,如四棱台ABCD—A'B'C'D'
几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧
棱交于原棱锥的顶点

4、圆柱








定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所
围成的几何体
几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半
径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

5、圆锥












定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围
成的几何体
几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图
是一个扇形。

6、圆台












定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部

几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③
侧面展开图是一个弓形。

球体
定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何

几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半
径。

※空间几何体的结构特征:面(侧面、上底面、下底面)、棱、顶
点、轴

1.2空间几何体的三视图和直观图
1、中心投影与平行投影
中心投影:把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。
平行投影:在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。
2、三视图
正视图:从前往后
侧视图:从左往右
俯视图:从上往下



画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等
3、直观图:斜二测画法
斜二测画法的步骤:
(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
(2).平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;
(3).画法要写好。
用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱
(4)成图

1.3空间几何体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 '
(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,
h
为斜高,l为
母线)
S
直棱柱侧面积
?ch
S
正棱台侧面积
?
1
(c
1
?c
2
)h'
2



S
圆柱侧
1
S?
S?
?
rl
?2
?
rh
正棱锥侧面积
2
ch'

圆锥侧面积


S
圆台侧面积
?(r?R)
?
?l

22
S
圆柱表
?2
?
r
?
r?l
?
??

S?
?
r?rl?Rl?R
2
圆台表

S
圆锥表
?
?
rl?
?
r

(3)柱体、锥体、台体的体积公式
V

?Sh

V
圆柱
?Sh?
?
rh
2
4
3
?
R

3
(4)球体的表面积和体积公式:V=
1
V
?(S
'
?S
'
S?S)h
3

11
V
圆台
?(S
'
?S
'
S?S)h?
?
( r
2
?rR?R
2
)h
33


1
V

?Sh
3

1
V
圆锥
?
?
r
2
h
3

; S
球面
=
4
?
R

2






点、直线、平面之间的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
?平面:
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面
内。
公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条
过该点的公共直线

?线线关系:1 空间的两条直线有如下三种关系:

共面直线




相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都
适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据

?线面位置关系
(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点
(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行 —— 没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α
来表示
=>a∥c




a α a∩α=A a∥α

④面面关系
平行——没有公共点;α∥β
相交——有一条公共直线。α∩β=b

2.2直线、平面平行的判定及其性质
1、线面平行判定
定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平
面平行。
作用:直线与平面的判定定理

2、面面平行
定理:一个平面内的两条相交直线与另一平面平行,则这两个平面平
行。
作用:证面面平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质
1、线面垂直
定理:一条直线与一个平面内的两条直线都垂直,则该直线与此平面
垂直。
作用:证线面垂直
线面角:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。



※在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的
垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂
直性质易得垂线。

2、面面垂直
(1)定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
作用:证面面垂直

(2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面
角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。
(3)二面角的平面角: 以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内
分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角 的平面
角。
(4)直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果 所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;
反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直 二面角

(5)求二面角的方法
?定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱
的射线得到平面角
?垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面两
个面的交线所成的角为二面角的平 面角

3、垂直关系的性质定理
①线面垂直性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条
直线平行。
②面 面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内
垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平 面。



直线与方程
3.1直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
定义:x轴正向与直线向上方向之 间所成的角叫直线的倾斜角。特别
地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,
倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
(2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是9 0°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的
斜率。直线的斜率常用k表示。即
k?tan< br>?
。斜率反映直线与轴的倾
斜程度。
????
?

?
?
?
0,90
?
时,
k?0
; 当
?
?
?
90,180
?
时,
k?0
; 当
?
?90
时,
k
不存在。
k?
②过两点的直线 的斜率公式:
y
2
?y
1
(x
1
?x
2< br>)
x
2
?x
1

注意:(1)当
x
1
?x
2
时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角
为90°; < br>(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线
上两点的坐标直接 求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
3.2直线的方程 < br>①点斜式:
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率k, 且过点
?
x
1
,y
1
?

注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时, 直线的斜率不存在,它的方程不能用
点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是
x=x1。
②斜截式:
y?kx?b
,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
③两点 式:
y?y
1
x?x
1
?
y
2
?y
1
x
2
?x
1

x
1
?x
2< br>,y
1
?y
2
)直线两点
?
x
1
, y
1
?

?
x
2
,y
2
?

xy
??1
④截矩式:
ab

其中直线
l
x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0 ,b)
,即
l

x
轴、
y
轴的截距
分别为
a,b

⑤一般式:
Ax?By?C?0
(A,B不全为0)
注意:○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如:



平行于x轴的直线:
y?b
(b为常数); 平行于y轴的直线:
x?a
(a为常数);
(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0

A
0
,B
0
是不全为0的常数)的直线
系:
A
0x?B
0
y?C?0
(C为常数)
(二)过定点的直线系
( ⅰ)斜率为k的直线系:
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
,直线过定点
?
x
0
,y
0
?
(ⅱ)过两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0

l
2
:A
2
x?B
2< br>y?C
2
?0
的交点的直
线系方程为
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?
?0

?
为参数),其中直线
l
2
不在直线系
中。
(6)两直线平行与垂直

l
1
:y?k
1
x? b
1

l
2
:y?k
2
x?b
2
时,
l
1
l
2
?k
1
?k
2
, b
1
?b
2

l
1
?l
2
?k< br>1
k
2
??1

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。

3.3直线的交点坐标与距离公式
1、两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0

l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
相交 ?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
?交点坐标即方程组
?
A
2
x?B
2
y?C
2< br>?0
的一组解。
方程组无解
?l
1
l
2
; 方程组有无数解
?
l
1

l
2
重合
Bx
2
,y
2

2、两点间距离公式:设
A(x
1,y
1
),(
是平面直角坐标系中的两个点,

d?
|AB|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
? y
1
)
2
3、点到直线距离公式:一点
P
?
x0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C?0
的距离
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2


4、两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

第二章 圆与方程
4.1圆的方程



1、圆的定义:平面内到一定点的距离 等于定长的点的集合叫圆,定点
为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的方程
22????
x?a?y?b
(1)标准方程
?r
2
,圆心
?
a,b
?
,半径为r;
22
x?y?Dx?Ey?F?0
(2)一般方程

D?E?4F ?0
时,方程表示圆,此时圆心为
r?
1
D
2
?E
2
?4F
2
22
22
?
DE
?
?
?,?
?
2
??
2
,半径为

D?E?4F?0< br>时,表示一个点; 当
D?E?4F?0
时,方程不
表示任何图形。
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条
件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来
确定圆心的位置。
4.2直线、圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列
两种方法判断:
22
l:Ax?By?C?0
????
C:x?a?y?b?r
2
,圆心
C
?
a,b
?
到l(1)设直线,圆
的距离为
d?
Aa?Bb?C
A
2
?B
2

22
,则有
d?r?l与C相离

d?r?l与C相切


22
2
????
C:x?a?y?b?r
l:Ax?By?C?0
(2) 设直线,圆,先将方程联立消
元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为
?
, 则有
??0?l与C相离

??0?l与C相切

??0?l与C 相交

xx
0
?yy
0
?r
2
注:如果圆 心的位置在原点,可使用公式去解直线与圆相
?
x
0
,y
0
?
切的问题,其中表示切点坐标,r表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程:
①圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为
xx
0< br>?yy
0
?r
2

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b) = r2
2、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之
间的大小比较来确定。
d?r?l与C相交



2
2
? ???
C:x?a?y?b?R
????
C:x?a?y?b?r
222111
设圆,
22
22
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与 圆心距(d)之间的大
小比较来确定。

d?R?r
时两圆外离,此时有公切线四条;

d?R?r
时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一
条;

R?r?d?R?r
时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切
线 ;

d?R?r
时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;

d?R?r
时,两圆内含;





d?0
时,为同心圆。

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