高中数学必修2第一第二章知识点总结

高中数学必修2第一第二章知识点总结
立体几何：
特殊几何体表面积公式（h为高，l为母线）
S
圆柱侧
?2
?
rh

S
圆柱表
?2
?
r
?
r?l
?

S
圆锥侧面积
?
?
rl

S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?


S
圆台侧面积
?(r?R)
?
l
S
?
2
圆台表
?
?
r?rl?Rl?R
2?


柱体、锥体、台体的体积公式
V
柱
?Sh
；
V
1
锥
?
3
Sh
；
V
1< br>台
?
3
(S
'
?S
'
S?S)h
；
V
；
V
1
圆柱
?Sh?
?r
2
h
圆锥
?
3
?
r
2
h< br>V
1
S
'
?S
'
S?S)h?
1
圆 台
?(
?
(r
2
?rR?R
2
33
)h< br>
（4）
球体的表面积和体积公式：V
球
=
4
3?
R
3
； S
2
球面
=
4
?
R

第二章：空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义：平面是无限延展的
2 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
符号表示为
A∈L
B∈L => L α
α
A
·


A∈α
L
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内.
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A B
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
α
·

C
·

使A∈α、B∈α、C∈α。
·

公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.
β
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
α
P
1 空间的两条直线有如下三种关系：
·

L



共面直线
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
=>a∥c
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般< br>取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0，
?
)
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作
2
；
a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面
平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
1

b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质 定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的
交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a ∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义 ：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记
作L⊥α，直线 L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们
唯一公共点P叫做垂足 。
P
a
L
2 、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平
面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。


















立体几何习题

1．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45 °，腰和上底均为
1
的等腰梯形，那么原平面

2

图形的面积是( )．
A．2＋
2
B．
1＋2

2
11．如图，
ABCD
－
A1
B
1
C
1
D
1
为正方体，下面结论错误的是 ( )．
．．
C．
2＋2

2
D．
1＋2

A．
BD
∥平面
CB
1
D
1
B．
AC
1
⊥
BD
2．棱长都是
1
的三棱锥的表面积为( )．
A．
3
B．2
3
C．3
3
D．4
3

C．
AC
1
⊥平面
CB
1
D
1
D．异面直线
AD
与
CB
1
角为60°
12．关于直线m，n与平面??，?，有下列四个命题：
①m∥?，n∥??且??∥?，则m∥n；
③m⊥?，n∥??且??∥?，则m⊥n；
②m⊥?，n⊥??且??⊥?，则m⊥n；
④m∥?，n⊥??且??⊥?，则m∥n
．

B．③④ C．①④ D．②③
(第2题)

3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的 8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．
A．25π B．50π C．125π D．都不对
4．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )．
A．
3
∶1 B．
3
∶2 C．2∶
3
D．
3
∶3
其中真命题的序号是( )． A．①②
5. 如图，在多面体
ABCDEF
中，已知平面
ABCD
是边长为3的正方形，< br>EF
∥
AB
，
EF
＝
为2，则该多面体的体积为( )
A．

3
，且
EF
与平面
ABCD
的 距离
2
13．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线
l
1
，
l
2
与同一平面所成的角相等，则
l
1
，
l
2
互相平 行
④若直线
l
1
，
l
2
是异面直线，则与
l
1
，
l
2
都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是( )．A．1
．
14．下列命题中正确的个数是( )．
①若直线l上有无数个点不在平面???内，则l∥?
②若直线l与平面???平行，则l与平面???内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行
④若直线l与平面???平行，则l与平面???内的任意一条直线都没有公共点
15．如图，在三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，
9

2
B．5
15
C．6 D．
2
6．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是( )．
．．
A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形
B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
二、填空题
7．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．
8．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三 棱锥O－AB1D1的体积为
_____________．
9．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则

四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．

< br>10．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
2
、
3
、
6
，则这个长方体的对角线长是___________，
它的体积为__________ _．
B．2 C．3 D．4
P
AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．
(1)求证：DE∥平面PAC；
(2)求证：AB⊥PB；
(3)若PC＝BC，求二面角P—AB—C的大小．
E
C
A
D
B
(第15题)




空间点、直线、平面之间的位置关系：

3

16．在四面体
ABCD
中，△
ABC
与 △
DBC
都是边长为4的正三角形．
(1)求证：
BC
⊥
AD
；
(2)若点
D
到平面
ABC
的距离等于3，求二面角
A
－

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BC
－
D
的正弦值；










17． 如图，在长方体
ABCD
—
A
1
B
1C
1
D
1
中，
AB
＝2，
中点，连结
ED
，
EC
，
EB
和
DB
．
(1)求证：平面
EDB
⊥平面
EBC
；
(2)求二面角
E
－
DB
－
C
的正切值.














(第17题)

BB
1
＝
BC
＝1，
E
为
D
1
C
1
的< br>(第18题)

1．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S＝
1
2< br>(1＋
2
＋1)×2＝2＋
2
．
2．A解析：因为四个面是 全等的正三角形，则S
3
表面
＝4×
4
＝
3
． < br>3．B解析：长方体的对角线是球的直径，l＝
3
2
＋4
2
＋ 5
2
＝5
2
，2R＝5
2
，R＝
52
2< br>，S＝4πR
2
＝50π．
4．C解析：正方体的对角线是外接球的直径．
5.D解析：过点E，F作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，
V＝2×< br>1
3
×
3
4
×3×2＋
1315
2
×3×2×
2
＝
2
．
6．B 解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来
的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．
7．参考答案：1∶2
2
∶3
3
．
r
1
∶r
2
∶r
3
＝1∶
2
∶
3
，
r
1
3
∶
r
2
3
∶
r
3
3
＝1
3
∶(
2
)
3
∶(
3
)3
＝1∶2
2
∶3
3
．
8．参考答案：
1< br>6
a
3
．解析：画出正方体，平面AB
1
D
1
与对角线A
1
C的交点是对角线的三等分点，
三棱锥O－AB
3
1
D
1
的高h＝
3
a，V＝
1
3
Sh＝< br>1
3
×
3
4
×2a
2
×
3
3
a＝
1
a
3
6
．
另法：三棱锥O－AB
1
D
1
也可以看成三棱锥A－OB
1
D
1
，它的 高为AO，等腰三角形OB
1
D
1
为底面．
9.参考答案：平行四边形或线段．
10．参考答案：
6
，
6．解析：设ab＝
2
，bc＝
3
，ac＝
6
，则V = abc＝
6
，c＝
3
，a＝
2
，b＝1，l＝
3＋ 2＋1
＝
6
．
11．D解析：异面直线AD与CB
1
角为45°．
12．D解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．
13．D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．
14． B解析：学会用长方体模型分析问题，A
1
A有无数点在平面ABCD外，但AA
1< br>与平面
ABCD相交，①不正确；A
1
B
1
∥平面ABCD， 显然A
1
B
1
不平行于BD，②不正确；A
1
B
1
∥AB，
A
1
B
1
∥平面ABCD，但AB
?平面ABCD内，③不正确；l与平面α平行，则l与???无公共
4

点，l与平面???内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B．
15. (1)证明：因 为D，E分别是AB，PB的中点，所以DE∥PA．因为PA
?
平面PAC，且DE
?
平面PAC，
所以DE∥平面PAC．
(2)因为PC⊥平面ABC，且AB< br>?
平面ABC，所以AB⊥PC．又因为AB⊥BC，且PC∩BC＝C．所以AB⊥平面PBC ．又因为PB
?
平面
PBC，所以AB⊥PB．
(3)由(2)知，PB⊥AB，BC⊥AB，所以，∠PBC为二面角P—AB—C的平面角．因为P C＝BC，∠PCB＝90°，所以∠PBC＝45°，所以二
面角P—AB—C的大小为45°．
16．证明：(1)取BC中点O，连结AO，DO．∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，
∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O
，
∴BC⊥平面AOD．又AD
?
平面AOD，∴BC⊥AD．
解：(2)由(1)知∠AOD为二面角A－BC－D的平面角，设∠AOD＝?，则过点D作DE⊥A D，垂足为E．
∵BC⊥平面ADO，且BC
?
平面ABC，∴平面ADO⊥平面A BC．又平面ADO∩平面ABC＝AO，
∴DE⊥平面ABC．∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE＝3．
又DO＝< br>33
DE
BD＝2
3
，在Rt△DEO中，sin?＝＝，
22
DO
3
．
2
故二面角A－BC－D的正弦值为17．证明：(1)在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝2，BB
1
＝BC＝1，E为D
1
C
1
的中点．∴△DD
1
E为等腰直角三角形，∠D
1
ED＝45° ．同
理∠C
1
EC＝45°．∴
?DEC?90?
，即DE⊥EC．
在长方体ABC
D
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，BC⊥平面
D
1
DCC
1
，又 DE
?
平面
D
1
DCC
1
，
∴BC⊥D E．又
EC?BC?C
，∴DE⊥平面EBC．∵平面DEB过DE，∴平面DEB⊥平面EB C．





(2)解：如图，过E在平面
D
1
DCC
1
中作EO⊥DC于O．在长方体ABCD－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，∵面ABCD⊥面
D
1
DCC
1
，∴EO⊥面ABCD．过
O在平面DBC中作OF⊥D B于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角
E
－D
B
－C的平面角 ．利用平面几何知识可得OF＝
又OE＝1，所以，tan
?
EFO＝
5．
1
，
5

5