数学必修2常用公式及知识点总结

数学必修2常用公式及知识点总结
第一章 空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
1.2空间几何体的三视图和直观图

1 三视图：
正视图：从前往后
侧视图：从左往右
俯视图：从上往下
2 画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
3直观图：斜二测画法
4斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）.画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3 空间几何体的表面积与体积
（一 ）空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和

2 圆柱的表面积
S

?2
?
rl?2
?
r
2
3 圆锥的表面积
S?
?
rl?
?
r

4 圆台的表面 积
S?
?
rl?
?
r?
?
Rl?
?
R

2
S?4
?
R
5 球的表面积
22
2
（二）空间几何体的体积
1柱体的体积
V?S
底
?h

1
S
底
?h

3
1
3台体的体积
V?（S
上
?S
上
S
下
?S
下
)?h

3
4
3
4球体的体积
V?
?
R

3
2锥体的体积
V?
第二章 直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

1

2.1.1
1 平面含义：平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，
0
D C
锐角画成45，且横边画成邻边的2倍长（如图）
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平
α
面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对
A B
的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
3 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
A∈L
A
B∈L => L α

α
·

L
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A B
α
·

C
·

符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
·

使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共
直线。
β
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
P
α
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
·

L

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点
O一般取在两直线中的一条上；
?
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
2
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
2

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
2
.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条 直线平行，则该直线与
此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则 这两个平面
平行。

符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平
行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
3

a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。


2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直， 记
作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,
它们唯一公共点P叫做垂足。
L

p
α

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学
思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
4

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图







直线与直线的位置关系


直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系
空间直线、平面的位置关系
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
第三章 直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向
上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α
= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α (α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表
示,也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直线的斜率公式:
给定两 点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式:
5

3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它 们的斜率相等；反之，如果它们
的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条 直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论
并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之 ，如果它们
的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

3.2.1 直线的点斜式方程

1、 直线的点斜式方程：直线
l
经过点
P< br>0
(x
0
,y
0
)
，且斜率为
k

y?y
0
?k(x?x
0
)

2、、直线的斜截式 方程：已知直线
l
的斜率为
k
，且与
y
轴的交点为
(0,b)

y?kx?b

3.2.2 直线的两点式方程
( x
1
1、直线的两点式方程：已知两点
P
1
(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)
其中
2、直线的截距式方程：已知直线
l
与
x
轴的交点为A
(a,0)
，与
其中
a?0,b?0


?x
2
,y
1
?y
2
)

y?y
1
x?x
1
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

y
2
?y1x
2
? x
1
y
轴的交点为B
(0,b)
，
3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于
x,y
的二元一次方程
Ax ?
2、各种直线方程之间的互化。

By?C?0
（A，B不同时为0）
3.3直线的交点坐标与距离公式

3.3.1两直线的交点坐标

1、给出例题：两直线交点坐标
L1 ：3x+4y-2=0
L1：2x+y +2=0

解：解方程组
?
?
3x?4y?2?0

?
2x?2y?2?0
6

得 x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）

3.3.2 两点间距离
两点间的距离公式
PP
12
?
?
x
2
?x
2
?
?
?
y
2
?y
1
?
22

3.3.3 点到直线的距离公式
1．点到直线距离公式：
点
P(x
0
,y
0
)< br>到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为：
d?
2、两平行线间的距离 公式：
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式 方程为
l
1
：
Ax?By?C
1
?0
，
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

l
2
：
Ax?By?C
2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离为
d?

C
1
?C
2
A?B
22

第四章 圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：
(x?a)?(y?b)?r

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点
M(x
0
,y< br>0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的关系的判断方法：
22
2
（1）
(x
0
?a)?(y
0
?b)
>
r
，点在圆外
22
2
（2）
(x
0
?a)?(y
0
?b)
=
r
，点在圆上
22
2< br>（3）
(x
0
?a)?(y
0
?b)
<
r< br>，点在圆内
222
222
4.1.2 圆的一般方程

1、圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．
②没有xy这样的二次项．
7

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆
的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，
圆的标准方程 则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系

1、
用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线
l
：< br>ax?by?c?0
，圆
C
：
x
2
?y
2< br>?Dx?Ey?F?0
，圆的半径为
r
，圆心
(?
DE
,?)
到直线的距离为
d
，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
22
（1）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相离；
（2）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相切；
（3）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相交；
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为
l
，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1 ）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆C
2
相离；
（2）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
外切；
（3）当
|r
1
?r
2
|?
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相交；
（4）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆C
2
内切；
（5）当
l?|r
1
?r
2|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内含；
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标 系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几
何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
4.3.1空间直角坐标系
8

R
M
O
P
Q
M'
y
x


1、点M对应着唯一确定的有序实数组
(x,y,z)
，
x
、
y
、
z
分别是P、Q、R在
x
、
y
、
z
轴上的坐标
2、有序实数组
(x,y,z)
，对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间 中任意点M的坐标都可以用有序实数组
(x,y,z)
来表示，该数组叫做点M在此空
间直角坐标系中的坐标，记M
(x,y,z)
，
x
叫做点M的横坐标，
y
叫做点M的纵坐标，
z
叫做点M的竖坐标。

4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点
P
1
(x< br>1
,y
1
,z
1
)
到点
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的距离公式
z
P
1
O
M
1
N
1
x
M
P
2
M
2
H
N
2
y
N
P
1
P
2
?(x
1
?x
2
)
2
? (y
1
?y
2
)
2
?(z
1
?z
2
)
2

9