高中数学必修2立体几何复习(知识点+经典习题)-(1)

考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】
1.判定下面的说法是否正确:
(1) 有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱.
(2) 有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台.

2.下列说法不正确的是（ ）
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。
B.同一平面的两条垂线一定共面。
C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。
D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。
【高考链接】
1.设
?
和
?
为不重合的两个平面，给出下列命题：
（ 1）若
?
内的两条相交直线分别平行于
?
内的两条直线，则
?
平行于
?
；
（2）若
?
外一条直线
l
与
?
内的一条直线平行，则
l
和
?
平行；
（3）设
?
和
?
相交于直线
l
，若
?
内有一条直线垂直于
l
，则
?
和
?
垂直；
（4）直线
l与
?
垂直的充分必要条件是
l
与
?
内的两条直线垂直。
上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）.
．．．
2.在空间，下列命题正确的是
（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行
（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行

考点二 三视图与直观图及面积与体积 【基础训练】
1.如图（3）,
E ,F
为正方体的面
ADD
1
A
1
与面
BCC
1
B
1
的中心,则四边形
BFD
1
E
在该正方体 的面上
的投影可能是 .




D1
C1
2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为
45
，腰 和上底均为1的等腰梯形，那么
原图形的面积是（ ）
A.
2?22
B
0
1?22?2
C D
1?2

22
0
3.在
?ABC
中，
AB?2，BC?1.5，?ABC?120
若使其绕直线
BC
旋转一周，则它形成的
几何体的体积是（ ）
A.
?
B.
9
2
753
?
C.
?
D.
?

222
2，,3，,6
，则这个长方体的对角线长4. 已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
是 . 若长方体共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为 .

5.正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A.
3:1
B.
3：2
C.
2：:3
D.
3:3

6.一个正方体的顶点都在球面上 ，它的棱长为2，则球的表面积是（ ）
A.
8
?
cm
B.
12
?
cm
C.
16
?
cm
D.
20
?
cm

7.若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是 .
8 .长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表
面积 是（ ）
A.
25
?
B.
50
?
C.
125
?
D. 以上都不对
9..半径为 R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 .

【高考链接】
1.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为
（ ）
（A）48+12
2
（B）48+24
2
（C）
36+12
2
（D）36+24
2

F
C
2222
A1
E

B1
D


A



1 5
B

2.设某几何体的三视图如下则该几何
体的体积为
m






3..如图1，△ ABC为三角形，
AA
?

BB
?

CC
?
,
CC
?
⊥平面ABC 且3
AA
?
=
则多面体△ABC -
A
?
B
?
C
?
的正视图（也称主视图）是





考点三 线面间位置关系 【基础训练】
1.已知在四边形ABCD中，E,F分别是AC,BD的中点,若AB=2，CD=4，
EF?AB
,则EF与CD所成的角的度数是（ ）
A.
90
B.
45
C.
60
D.
30

2.已知直线
l
1
,l
2
,平面
?
， < br>l
1
Pl
2
，l
1
P
?
,则l2
与
?
的位置关系是
（ ）
0000
3< br>A．
a?
?
，b∥
?
，
?
?
?
C．
a?
?
，b?
?
，
?
∥
?



B．
a?
?
，b?
?
，
?
∥
?

D．
a?
?
，b∥
?
，
?
?
?

2.对两条不相交的空间直线
a
和
b
，必定存在平面
?
，使得（ ）
（A）
a??
,b?
?
（B）
a?
?
,b
?
（C ）
a?
?
,b?
?
（D）
a?
?
,b?
?

3.已知直线m,n和平面
?
,
?
满足
m?n,m?a,
?
?
?
, 则( )
A.n?
?

B.n
?
,
或
n?
?

C.n?
?

D.n
?
,
或
n?
?

3
BB
?
=
CC
?
=AB,
2
4.已知
m,n
是两条不同直线，
?
,
?
,
?是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．
若
?
?
?
,
?
?
?
,则
?‖?
B．
若m?
?
,n?
?
,则m
‖
n
< br>C．
若m
‖?
,n
‖?
,则m
‖
n
D．
若m
‖?
,m
‖?
,则
?‖?

5 .设
?
,
?
是两个不同的平面，
l
是一条直线，以下命题正 确的是（ ）
A．若
l?
?
,
?
?
?
，则
l?
?
B．若
l
?
,
?

?
，则
l?
?

C．若
l?
?
,
?

?
，则
l?
?
D．若
l
?
,
?
?
?
，则
l?
?

6.设
l
，
m
是两条不同的直线，
?
是一个平面，则下列命题正确的是
（A）若
l?m
，
m?
?
，则
l?
?
（B）若
l?
?
，
lm
，则
m?
?

（C）若
l
?
，
m?
?
，则
lm
（D）若
l
?
，
m
?
，则
lm

7.用
a
、
b
、
c
表示三条不同的直线，
y
表示平面，给出下列命题：
①若
a
∥
b
，
b
∥
c
，则
a
∥
c
；②若
a
⊥
b，
b
⊥
c
，则
a
⊥
c
；
③ 若
a
∥
y
，
b
∥
y
，则
a
∥
b
；④若
a
⊥
y
，
b
⊥
y< br>，则
a
∥
b
.
A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④
A.l
2
P
?
B.
l
2
?
?
C.
l
2
P
?
或l
2
?
?
D.
l
2
与
?
相交

【高考链接】
1设
a，b
是两条直线，
?
，
?
是两个平面，则
a?b
的一个充分条件是（ ）
考点四 求空间图形中的角 【基础训练】
1.直角
?ABC
的斜边
AB?
?
,AC,BC与平面?
所成
的角分别为
30和45
,CD是斜边AB上的高,
则CD 与平面
?
所成的角为 .
2 5
00

2.如图,正三棱柱V-ABC(顶点在地面上的射影是底面正三角形的中 心)中,D,E,F分别是VC,VA,AC
的中点,P为VB上任意一点,则直线DE与PF所成的角 的大小是( )
A.
30
B.
90

C.
60
D.随点的变化而变化

0
5.直线
l
与平面
?
所成的角为
30
，0
00
AB
1
和BM
所成的角的大小是 。
4.如图，若正四棱柱
V
E
D
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的底面连长为2，高为4 ，则异面直线
BD
1
与AD
所成角的正切值是______________
C
F
A
P
B

5.直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，若
?BAC?90?
，< br>AB?AC?AA
1
，则异面直线
BA
1
与
AC1
所成
的角等于（ ） (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

题型二 线面角
1.已知三棱柱ABC?A
1
B
1
C
1
的侧棱与底面边长都相等，A
1
在底面
ABC
内的射影为
△ABC
的中
心 ，则
AB
1
与底面
ABC
所成角的正弦值等于（ ） lI
?
?A,m?
?
,A?m,
则m与
l
所成 角的取值范围是
.
【高考链接】
题型一 异面直线所成的角
1.已知三棱柱
ABC?A
1
B
1
C< br>1
的侧棱与底面边长都相等，
A
1
在底面
ABC
上的 射影为
BC
的中点，
则异面直线
AB
与
CC
1所成的角的余弦值为（ ）
A．
（A）
357
3
（B） （C） (D)
4
44
4
1

3
B．
2

3
C．
3

3
D．
2

32.如图，在长方体
ABCD
-A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB=BC
=2，
AA
1
=1， 则
AC
1
与平面
A
1
B
1
C
1< br>D
1
所成角的正弦值为（ ）
A.
2. 已知正四棱柱< br>ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AA
1
=
2AB
，
E
为
AA
1< br>重点，则异面直线
BE
与
CD
1
所
形成角的余弦值为 ( )
（A）

3.如图，已知正三棱柱
22
2
21
B. C. D.
3
4< br>3
3
3.在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C1
中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点
D
是侧面
BB
1
C
1
C
的中心，则
AD
10
310
13
(B) (C) (D)
10
10
55
与平面
BB
1
C
1
C
所成角的大小是 ( )A．
30
B．
45
C．
60

D．
90

4.如图，已知六棱锥
P?ABCDEF
的底面是正六边形，
o
o
oo
ABC?A
1
B
1
C
1
的各条棱长都 相等，
M
是
侧棱
CC
1
的中点，则异面直线
PA?平面ABC,PA?2AB
则下列结论正确的是（ ）
A.
PB?AD
;
B.
平面PAB?平面PBC
C. 直线
BC
∥
平面PAE

D. 直线
PD与平面ABC
所成的角为45°
3 5

5.已 知三棱锥
S?ABC
中，底面
ABC
为边长等于2的等边三角形，
S A
垂直于底面
ABC
，
SA
=3，
那么直线
AB< br>与平面
SBC
所成角的正弦值为( )
（A）
3.正 四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1中，
AA
1
?2AB?4
，点
E
在
CC
1
上且
C
1
E?3EC
．
?
平面
BED
； （Ⅰ）证明：
AC
1
（Ⅱ）求二 面角
A
1
?DE?B
的大小．




4.在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中 ，
E
、
F
分别是
A
1
B
、
A1
C
的中点，点
D
在
B
1
C
1
上，
A
1
D?B
1
C
求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）平面
A
1
FD
?
平面
BB
1
C
1
C
.


F
D
C
35
7
3
(B) (C) (D)
44
4
4
6.正方体ABCD-
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
BB
1
与平面
AC
D
1
所成角的余弦值为( )
36
2
2
（A） （B） （C） （D）
33
3
3
考点六 证明空间线面平行与垂直
1.如图,在四棱锥P-ABCD中,
PD?平面ABCD,
底面ABCD为正方形, PD=DC,E,F分别是AB,PB
的中点.(1)求证:
EF?CD;

(2)在平面PAD内 求一点G,
P
。
使GF?平面PCB,证明你的结论。








A
E



5.如图所示，在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，AB=AD=1，AA
1
=2，M是棱CC
1
的中点
B
2.四棱锥
A?BCDE
中，底面
BCDE
为矩形，侧面
ABC?< br>底面
BCDE
，
BC?2
，
CD?2
，
（Ⅰ ）求异面直线A
1
M和C
1
D
1
所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A
1
B
1
M
1






AB?AC
．
（Ⅰ）证明：
AD?CE
；
（Ⅱ）设侧面
ABC
为等边三角形，求二面角
C?AD?E
的大小．










4 5

易错题
1.一个圆锥的底面圆半径为
3
，高为
4
，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．
15
?
B．
10
?
C．
15
?
D．
20
?

2
2.已知一个棱长为6cm的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5cm的钢球，则球心到
盒底的距离为 cm.
3.设
P,A,B,C
是球
O
表面上的四个点，
PA,PB,PC
两两垂直，且
PA?PB?P C?1
，则球的表
面积为 .
4.在棱长为1的正方体AB CD-A
1
B
1
C
1
D
1
的底面A
1
B
1
C
1
D
1
内
取一点E,使AE与AB、AD所成的角都是60°,则线段AE的长为 .


一、判定两线平行的方法
1、 平行于同一直线的两条直线互相平行
2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行
3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和
交线平行
4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
5、 在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明
二、 判定线面平行的方法
1、 据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点
2、 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个 平面
平行
3、 两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
4、 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面
5、 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面
三、判定面面平行的方法
1、定义：没有公共点
2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行
3 垂直于同一直线的两个平面平行
4、平行于同一平面的两个平面平行
四、面面平行的性质
1、两平行平面没有公共点
2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面
5 5
3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行
4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面
五、判定线面垂直的方法
1、 定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直
2、 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直
3、 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面
4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面
5、 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面
6、 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面
六、判定两线垂直的方法
1、 定义：成
90?
角
2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直
3、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
4、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直
七、判定面面垂直的方法
1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直
2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面
八、面面垂直的性质
1、 二面角的平面角为
90?

2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面
3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面
九、各种角的范围
1、异面直线所成的角的取值范围是：
0??
?
?90?

?
0?,90?
?

2、直线与平面所成的角的取值范围是：
0??
?
?90?

?
0?,90?
?

3、斜线与平面所成的角的取值范围是：
0??
?
?90?

?
0?,90?
?

4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范 围是：
0??
?
?180?

?
0?,180?
?

十、三角形的心
1、
2、
3、
4、
内心：内切圆的圆心，角平分线的交点
外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点
重心：中线的交点
垂心：高的交点