金版学案高中数学第二章基本初等函数Ⅰ章末复习课新人教版必修

第二章 基本初等函数（Ⅰ）章末复习课 新人教版必修1

[整合·网络构建]

[警示·易错提醒]
1．正确指数式与对数式的运算 (1)正确理解根式
a
的意义，极易因对根式
a
的理解不透而得出错误结 果．
11
(2)注意
a
＝
a
和
a
n＝
m
＝的正确转化．
n
m
－
nn
m
n
m
a
n
n
a
m
(3)对数式的运算要按照对数运 算法则和换底公式根式进行，避免对对数运算法则的错
误应用．
2．正确认识基本初等函数
(1)指数函数
y
＝
a
(
a
>0且
a≠1)和幂函数
y
＝
x
极易混淆，要区分自变量
x
所处 的位置；
对数函数
y
＝log
a
x
(
a
> 0且
a
≠1)与指数函数
y
＝
a
互为反函数，要明确它们的 定义域与值域
是互换的．
(2)坚持定义域优先原则，在研究基本初等函数的性质时，要首先 考虑定义域，否则极
易出错.
3．重视基本初等函数单调性的应用
(1)指数函 数
y
＝
a
与对数函数
y
＝log
a
x(
a
>0且
a
≠1)的单调性与底数
a
有直接关系，< br>在解有关不等式或求最大(小)值时，极易因忽视对底数的讨论而出错．
(2)与指数函数和对 数函数有关的复合函数的单调性问题要按照复合函数的单调性规则
进行判断，同时要注意在定义域之内进 行．

7
x
x
xα

1
α
(3)幂函数
y
＝
x
的单调性与指数
α
有关， 牢记
α
＝1，2，3，，－1五种函数的图象
2
和性质．

专题一 指数式、对数式的运算
指数与指数幂的运算、对数与对数运算是两个重要的知识点 ，它们既是学习和研究指
数函数、对数函数的基础，也是高考必考内容之一，教学中应给予足够的重视．
[例1] (1)(2015·浙江卷)计算：log
2
2
＝________，
2

?
(2)化简
?
－
5
?
8
a
6
·
?
解析：(1)log
2
1
?－
3
3
?
3
1
＝________．
－2< br>ab
4
·
ab
4
?
?
211
＝lo g
2
2－＝－，
222

11
答案：(1)－ 33 (2)
22
归纳升华
1．对于根式的运算结果，不强求形式的统一，但结果绝不能 同时含有根号和分数指数，
也不能既有分母又含有负指数．
2．指、对数式的运算、求值、化 简、证明等问题主要依据幂、对数的运算法则及性质
加以解决，在运用法则时要注意法则的逆用．在进行 指数、对数的运算时还要注意相互间
的转化，因此要熟练把握这些运算性质的基本特征：(1)同底；( 2)“和积”互化．
1
?
－1
5
?
[变式训练] (1)(2015·安徽卷)lg＋2lg2－
??
＝________．
2
?
2
?

5
解析：(1)原式＝lg＋lg 4－2＝－1.
2

7

1
答案：(1)－1 (2)
a
专题二 基本初等函数的图象
基本初等函数的图象变换是这部分知识的重点之一，要求掌握指数函数
y
＝
a
和对数
函数
y
＝log
a
x
(
a
>0且< br>a
≠1)以及幂函数
y
＝
x
的图象特征，并能结合图象的对称 、平移变换
作出相关函数的图象．
[例2] (1)若函数
y
＝loga
x
(
a
>0，且
a
≠1)的图象如图所示，则下列函 数正确的是
( )
α
x


(2)方程log
2
(
x
＋2)＝－
x
的实数解有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：(1)由函数
y
＝log
a
x
(
a
>0，且
a
≠1)的图象可知，
a＝3，所以，
y
＝
a
，
y
＝(－
x
)
＝－
x
及
y
＝log
3
(－
x
) ，这三个函数均为减函数，只有
y
＝
x
是增函数．
(2)令
y
1
＝log
2
(
x
＋2)，
y
2＝－
x
，
分别画出两个函数图象，如图所示．
33
－
x
3

函数
y
1
＝log
2
(
x
＋2)的图象是由函数
y
1
＝log
2
x
的图象向左平移2个单位长度得到．函
1
数
y
2＝－
x
的图象是由幂函数
y
＝
x
2
的图象关于
y
轴对称得到．由图象可知，显然
y
1
与
y
2有一个交点．

7

答案：(1)B (2)B
归纳升华
对于基本初等函数的图象，要求做到以下几点：(1)能以基本初等函数图象为基 础作
出与基本初等函数有关的函数的图象；(2)根据函数的性质对所给函数的图象作出正确判断；(3)通过基本初等函数的图象求解不等式、判断方程根的个数等简单问题．
[变式训练] (1 )已知
f
(
x
)＝
a
，
g
(
x< br>)＝log
a
x
(
a
>0，且
a
≠1)，若
f
(3)·
g
(3)<0，那么
x
f
(
x
)与
g
(
x
)在同一坐标系内的图象可能是图中的( )

(2)如图所示，方程log
x
(
y
＋1)－logx
2＝1对应的图形是( )

解析：(1)因为
f
(x
)＝
a
与
g
(
x
)＝log
ax
(
a
>0，且
a
≠1)互为反函数，于是排除A，D，
对于B，C中，两图象均关于
y
＝
x
对称，又
f
(3)·
g
(3)<0，排除选项B.
(2)由log
x
(
y＋1)－log
x
2＝1得
y
＝2
x
－1(
x
>0且
x
≠1，
y
>－1)，所以图象是直线方程
的一部分 ，结合图形知选项C正确．
答案：(1)C (2)C
专题三 比较函数值大小
比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较
时，可以首先将它们 与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；
然后在各类中两两相比较．
[例3] (1)(2015·山东卷)设
a
＝0.6，
b
＝0.6 ，
c
＝1.5，则
a
，
b
，
c
的大小关系
是( )
A．
a
<
b
<
c

C．
b
<
a
<
c

11
B．
a
<
c
<
b

D．
b
<
c
<
a

0.61.50.6< br>x
?
1
??
1
?
(2)
??
2与
??
3
的大小关系是______________．
?
3
??
2
?
解析：(1)根据函数
y
＝0.6是定义域上的单 调递减函数，可得0.6>0.6；另外借助
中间值1，得0.6<1<1.5，则
b
<
a
<
c
.
11
?
1
??
1< br>??
1
?
(2)因为函数
y
1
＝
??
为减函数，又>，所以
??
3>
??
2.
又因为幂函数
y
2
＝
x
3
在(0，＋
23
?
3
? ?
3
??
3
?
0.60.6
x
0.61.5
x
111

7

1111
1
? ?
1
?
1
??
1
?
11
??
∞) 上是增函数，且>，所以
??
3>
??
3.
所以
??
3>
??
2.
23
?
2
??
3
??< br>2
??
3
?
?
1
??
1
?
答案：(1)C (2)
??
3>
??
2

?
2
??
3
?
归纳升华
比较函数值的大小的一般 步骤：(1)根据函数值的特征选择适当的函数；(2)根据所选
函数的单调性，确定两个函数值的大小 ；(3)当两个函数值不能直接比较时，常选择两个对
应函数，再进行比较；(4)必要时，可先将函数 值与特殊数0和1进行比较，最后确定它们
的大小关系．
[变式训练] (1)(2015· 安徽卷)设
a
＝log
3
7，
b
＝2，
c
＝0.8，则( )
A．
b
<
a
<
c

C．
c
<
b
<
a

1
－3< br>1.13.1
11
B．
c
<
a
<
b

D．
a
<
c
<
b

(2)(2015·北 京卷)2，3
2
，log
2
5三个数中最大的数是________． 解析：(1)因为
a
＝log
3
7∈(1，2)，
b
＝ 2>2，
c
＝0.8<1，所以
c
<
a
<
b
.
1
1
(2)2＝<1，3
2
＝3>1，log
25>log
2
4>2>3，
8
－3
1.13.1
所以log
2
5最大．
答案：(1)B (2)log
2
5
专题四 基本初等函数的奇偶性与单调性问题
与基本初等函数相关的奇偶性和单调性问题是高考的重点和热点 ，以基本初等函数为
载体考查函数的奇偶性和单调性是高考的重点题型之一，在学习中应引起足够的重视 ．
[例4] (1)(2015·湖南卷)设函数
f
(
x
)＝ln (1＋
x
)－ln (1－
x
)，则
f
(
x
)是( )
A．奇函数，且在(0，1)上是增函数
B．奇函数，且在(0，1)上是减函数
C．偶函数，且在(0，1)上是增函数
D．偶函数，且(0，1)在上是减函数
e，
x
<1，
?
?
(2)(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数
f
(
x
)＝
?
1
则使得
f
(
x
)<2成立的
x
的取值范
?
?
x
3
，x
≥1，
围是________．
解析：(1)由题意得
f
(
x
)定义域为(－1，1)，关于原点对称，又
f
(－
x
) ＝ln (1－
x
)＝
－ln (1＋
x
)＝－
f
(
x
)，所以
f
(
x
)为奇函数，又显然
f
(
x
)在(0，1)上单调递增．
(2)由于题中所给是一个分段函数，则当x
<1时，由e
x
－1
x
－1
≤2，可解得：
x
≤1＋ln 2，则

7

1
3
此时：
x
<1；当
x
≥1时，由
x
3
≤2，可解 得：
x
≤2＝8，则此时：1≤
x
≤8.综合上述两种情
况可得：< br>x
∈(－∞，8]．
答案：(1)A (2)(－∞，8]
归纳升华
(1)基本初等函数单调性的判断与应用：①对于指数函数和对数函数，注意底数
a
对
函数单调性的影响，对于幂函数
y
＝
x
，注意指数
α对函数单调性的影响；②根据函数的
单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集．(2)基本初 等函数的奇偶性问题，在利用
奇偶性定义进行推导判断时，要注意指数、对数运算法则的正确使用．
[变式训练] (1)(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．
y
＝ 1＋
x

1
x
C．
y
＝2＋
x

2
2
α
1
B．
y
＝
x
＋
x
D．
y
＝
x
＋e
x
21
(2 )(2014·上海卷)若
f
(
x
)＝
x
3
－x
2
，则满足
f
(
x
)<0的
x
取值 范围是________．
解析：(1)令
f
(
x
)＝
x
＋e，则
f
(1)＝1＋e，
f
(－1)＝－1＋e，即
f
(－1)≠
f
(1)，
f
(－
1)≠－
f
(1)，所以
y
＝
x
＋e既不是奇函数也不是偶函数，而选项A、B、C中的 函数依次是
偶函数、奇函数、偶函数．
12
(2)根据幂函数的性质，由于<，所以 当0<
x
<1时，
x
3
<
x
2
，当
x
>1时，
x
3
>
x
2
，因此
f
(
x
)<0
23
的解集为(0，1)．
答案：(1)D (2)(0，1)
专题五 分类讨论思想
分类讨论思想贯穿于中学数学的始终，是数学中 的重要思想方法之一，也是学习中
的难点所在．因此解题过程中需要我们辩证地对待分类讨论这一思想方 法，做到尽可能地简
化或回避分类讨论．
2121
x
－1
x
?
1
?
[例5] 已知 偶函数
f
(
x
)在
x
∈[0，＋∞)上是增函数，
f
??
＝0.求不等式
?
2
?
f
(log
a
x
)>0(
a
>0且
a
≠1)的解集．
解：因 为
f
(
x
)是偶函数，且
f
(
x
)在[0 ，＋∞)上是增函数，
?
1
??
1
?
又
f
??
＝0，所以
f
(
x
)在(－∞，0)上是减函数，
f
?
－
?
＝0.
?
2
??
2
?< br>11
故若
f
(log
a
x
)>0，则有log
a
x
>或log
a
x
<－.
22

7

11
①当
a
>1时，由log
a
x
>或log
a
x
<－，
22
得
x
>< br>a
或0<
x
<
a
.
a
11
②当0 <
a
<1时，由log
a
x
>或log
a
x
<－，
22
得0<
x
<
a
或
x
>a
.综上可知，当
a
>1时，
a
不等式
f
( log
a
x
)>0的解集为
?
0，
?
?
a
?
?
∪(
a
，＋∞)；
a
?
当0<a
<1时，不等式
f
(log
a
x
)>0的解集为
(0，
a
)∪(
归纳升华
分类讨论的应用范围
1．比较
a
f
(
x
)
a
，＋∞)． a
与
a
g
(
x
)
的大小：(1)
a< br>>1时，若
f
(
x
)>
g
(
x
)， 则
a
f
(
x
)
>
a
g
(
x
)
；(2)0<
a
<1时，若
f
(
x
) >
g
(
x
)，则
a
f
(
x
)<
a
g
(
x
)．

2．解不等式
a< br>f
(
x
)
>
a
g
(
x
)< br>：(1)
a
>1时，则
f
(
x
)>
g
(
x
)；(2)0<
a
<1时，则
f
(
x
)<
g
(
x
)．
3．比较log
a
x
1
与log
a
x
2
的大小：(1)
a
>1时，若< br>x
1
>
x
2
，则log
a
x
1>log
a
x
2
；(2)0<
a
<1时，
若< br>x
1
>
x
2
，则log
a
x
1a
x
2
.
4．解不等式log
a
f
(
x
)>log
a
g
(
x
)：(1)a
>1时，则
f
(
x
)>
g
(
x)；(2)0<
a
<1时，则0<
f
(
x
)<
gx
)．

1
值，求
a
的值．
8
?< br>3
?
3
解：令
t
＝
x
－3
x
＋3＝
?
x
－
?
＋，
?
2
?
4
2
2
?
3
?
当
x
∈[1，3]时，t
∈
?
，3
?
.
?
4
?
3
1
①当
a
>1时，
y
min
＝
a
4
＝，
8
1
解得
a
＝，与
a
>1矛盾．
16
11
3
②当0<
a
<1时，
y
min
＝
a
＝，解得
a
＝.
82
1
综合①、②知
a
＝.
2

7