2018-2019学年高中数学第三章直线与方程章末检测试题新人教A版必修2

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第三章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
【选题明细表】
知识点、方法
直线的倾斜角和斜率
两条直线的位置关系
交点、距离问题
直线的方程
综合应用
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.若直线ax+my+2a=0(a≠0)过点(1,-),则此直线的斜率为(D)
题号
1,2
4,6,11,18
5,8,9,14
3,7,13,17
10,12,15,16,19,20,21
(A)(B)-(C)(D)-
解析:因为直线ax+my+2a=0(a≠0)过点(1,-),
所以a-m+2a=0,
所以a=m,所以这条直线的斜率是k=-=-.
2.如图,在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是(C)

解析:当a>0时,A,B,C,D均不成立;当a<0时,只有C成立,故选C.
3.过点(-1,3)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为(A)
(A)x-2y+7=0(B)2x+y-1=0
(C)x-2y-7=0(D)x-2y-4=0
解析:设过点(-1,3)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为 x-2y+m=0(m≠3) ,把点(-1,3)代入直线方程得
-1-2×3+m=0,m=7,故所求的直线方程为x-2y+7 =0.
4.两条直线y=ax-2与y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于(A)
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
解析:由题意及直线相互垂直的条件可知a(a+2)=-1,解得a=-1.故选A.
5. 两条平行线l
1
:3x+4y-2=0,l
2
:ax+6y=5间的距离等于 (A)
(A)(B)(C)(D)
解析:据题意两直线平行,则-=-?a=,
即l
2
:x+6y=5,
故l
1
:9x+12y-6=0,
l
2
:9x+12y-10=0,
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l
1
与l
2
间距离d==,故选A.
6.已知直线l1
:x+2ay-1=0,与l
2
:(2a-1)x-ay-1=0平行,则a的 值是(C)
(A)0或1(B)1或
(C)0或(D)
解析:由题
得a=0或a=.
7.若a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点(B)
(A)(-,)(B)(,-)
(C)(,)(D)(,-)
解析:当x=时,直 线可化为a+3y+b=0,即a+2b+6y=0,得y=-,所以直线过定点(,-).
8.三条直线:y+2x-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,则a等于(C)
(A)1(B)2(C)1或-2(D)-1或2
解析:三条直线共有两个交点,一定有两条 直线互相平行,并与第三条直线相交,而2x+y-4=0与x-y+1=0相
交,故直线ax-y+2 =0与2x+y-4=0平行或与x-y+1=0平行,所以a=1或a=-2.故选C.
9.直线l过点A(2,11),且与点B(-1,2)的距离最远,则直线l的方程为(D)
(A)3x-y-5=0 (B)3x-y+5=0
(C)x+3y+13=0(D)x+3y-35=0
解析:当l⊥AB时符合要求,因为k
AB
==3,
所以l的斜率为-,所以直线l的方程为y-11=-(x-2),
即x+3y-35=0.故选D.
10.将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与(-6 ,8)重合,则与点(-4,2)重合的点是(A)
(A)(4,-2)(B)(4,-3)
(C)(3,)(D)(3,-1)
解析:由已知知以(10,0)和(-6,8)为端点的 线段的垂直平分线的方程为y=2x,则(-4,2)关于直线y=2x的对
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称点即为所求点.设所求点为(x
0
,y
0
),则解得故选A. < br>11.已知点A(-2,1),B(3,-2),C(6,3),D(1,6),则以下四个结论:①AB ∥CD;②AB⊥AD;③|AC|=|BD|;④AC⊥
BD中,正确结论的个数为(D)
(A)1(B)2(C)3(D)4
解析:因为k
AB
==-,
k
CD
==-,
所以直线AB的方程为y-1=-(x+2),
即3x+5y+1=0,
因为点C(6,3),D(1,6)不在直线AB上,
所以AB∥CD,①正确.
又k
AD
==,
所以k
AB
·k
AD
=-1,
所以AB⊥AD,②正确.
|AC|=
|BD|=
所以|AC|=|BD|,③正确.
=,
=,
因为k
AC
==,k
BD
==-4,
所以k
AC
·k
BD
=-1,所以AC⊥BD,④正确.选D. < br>12.若在直线y=-2上有一点P,它到点A(-3,1)和B(5,-1)的距离之和最小,则该最小 值为(B)
(A)2(B)4(C)5(D)10
解析:如图所示,点B(5,-1)关于 直线y=-2的对称点B′(5,-3),AB′交y=-2于点P,因为|PB|=|PB′|,所
以 |PA|+|PB|=|PA|+|PB′|.

其最小值即为|AB′|,即|AB′|==4,故选B.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线l的方程是.
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解析:当直线过原点,设直线为y=kx.
代入点(7,1),可得k=.
直线方程为x-7y=0,
当直线不过原点,设直线为+=1.
代入点(7,1),可得=1.
所以a=6.
从而直线方程为x-y-6=0.
故所求直线方程为x-7y=0或x-y-6=0.
答案:x-7y=0或x-y-6=0
14.设点P在直线x+3y=0上,且P到原点的距离与P到直线x+3y=2的距离相等,则点P的 坐标为.
解析:根据题意可设P(-3m,m),
所以=,
解得m=±,
所以P点坐标为(-,)或(,-).
答案:(-,)或(,-)
15.已知点A (1,1),B(-2,2),直线l过点P(-1,-1)且与线段AB始终有交点,则直线l的斜率k的取值 范围
为.
解析:如图,

因为A(1,1),B(-2,2),直线l过点P(-1,-1),
则k
PA
=1,k
PB
==-3,
所以直线l的斜率k的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞).
答案:(-∞,-3]∪[1,+∞)
16.点M(-1,0)关于直线x+2y-1=0的对称点M′的坐标是.
解析:过点M (-1,0)与直线x+2y-1=0垂直的直线方程为2x-y=-2,可解得两垂直直线的交点坐标为N(- ,),
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则点M(-1,0)关于点N(-,)的对称点坐标为M′(-,).
答案:(-,)
三、解答题(本大题共5小题,共70分)
17.(本小题满分14分)
已知△A BC的三边所在直线的方程分别是l
AB
:4x-3y+10=0,l
BC
: y=2,l
CA
:3x-4y=5.
(1)求∠BAC的平分线所在直线的方程;
(2)求AB边上的高所在直线的方程.
解:(1)设P(x,y)是∠BAC的平分线上任意一点,
则点P到AC,AB的距离相等,
即=,
所以4x-3y+10=±(3x-4y-5).
又因为∠BAC的平分线所在直线的斜率在和之间,
所以7x-7y+5=0为∠BAC的平分线所在直线的方程.
(2)设过点C的直线系方程为3x-4y-5+λ(y-2)=0,
即3x-(4-λ)y-5-2λ=0.
若此直线与直线l
AB
:4x-3y+10=0垂直,
则3×4+3(4-λ)=0,解得λ=8.
故AB边上的高所在直线的方程为3x+4y-21=0.
18.(本小题满分14分)
已知直线l的方程为2x-y+1=0.
(1)求过点A(3,2),且与直线l垂直的直线l
1
的方程;
(2)求与直线l平行,且到点P(3,0)的距离为的直线l
2
的方程.
解:(1)设l
1
的方程为x+2y+m=0,
把点A(3,2)代入可得3+2×2+m=0,解得m=-7.
所以直线l
1
方程为x+2y-7=0.
(2)设l
2
的方程为2x-y+c=0(c≠1),
因为点P(3,0)到直线l
2
的距离为.
所以=,
解得c=-1或-11.
所以直线l
2
方程为2x-y-1=0或2x-y-11=0.
19.(本小题满分14分)
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如图,在△ABC中,BC边上的高所在的直 线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0,若点B的
坐标为(1,2),求:
(1)点A和点C的坐标;
(2)△ABC的面积.
解:(1)由得顶点A(-1,0),
所以AB的斜率k
AB
==1.
因为x轴是∠A的平分线.
所以AC的斜率为-1,
AC所在直线的方程为y=-(x+1),①
因为BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,
所以BC所在直线的斜率为-2,
所以BC所在直线的方程为y-2=-2(x-1),②
解由①②组成的方程组得顶点C的坐标为(5,-6).
(2)|BC|==4,
又直线BC的方程是2x+y-4=0,
A到直线BC的距离d==,
所以△ABC的面积为|BC|·d=×4×=12.
20.(本小题满分14分)
已知△ABC的三个顶点是A(1,1),B(-1,3),C(3,4).
(1)求BC边的高所在直线l
1
的方程;
(2)若直线l
2过C点,且A,B到直线l
2
的距离相等,求直线l
2
的方程.
解:(1)因为k
BC
==,则=-=-4,
所以直线l
1
的方程是
y=-4(x-1)+1,即4x+y-5=0.
(2)因为直线l
2
过C点且A,B到直线l
2
的距离相等,
所以直线l
2
与AB平行或过AB的中点M,
当l
2
∥AB时,k
AB
==-1,
所以直线l
2
的方程是y=-(x-3)+4,即x+y-7=0,
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当l
2
过AB中点时,因为AB的中点M的坐标为(0,2),
所以kCM
==,所以直线l
2
的方程是y=(x-3)+4,即2x-3y+6=0,
综上,直线l
2
的方程是x+y-7=0或2x-3y+6=0.
21.(本小题满分14分)
光线从点A(2,3)射入,若镜面的位置在直线l:x+y+ 1=0上,反射光线经过B(1,1),求入射光线和反射光线所
在直线的方程,并求光线从A到B所走 过的路线长.
解:设点A关于直线l的对称点为A′(x
0
,y
0
),
因为AA′被l垂直平分,
所以解得
因为A′(-4,-3),B(1,1)在反射光线所在直线上,
所以反射光线的方程为=,
即4x-5y+1=0.
解方程组
得入射点的坐标为.
由入射点及点A的坐标得入射光线方程为=,即5x-4y+2=0.
故光线从A到B所走过的路线长为
|A′B|==.




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