2018_2019高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体锥体台体的表面积与体积学案新人教A版必修2

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
学习目标 1.了解柱体、锥体、台体 的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图
与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公 式求几何体的表面积与体积．

知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积

多
面
体


图形

表面积
多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就
是展开图的面积

特别提醒 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
①将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个 平行四边形、若干个三角
形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧 面积．
②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积

图形

表面积公式
底面积：
S
底
＝2π
r
2
圆柱

侧面积：
S
侧
＝2π
rl

表面积：
S
＝2π
r
(
r
＋
l
)
底面积：
S
底
＝π
r
2
旋
转
体
圆锥

侧面积：
S
侧
＝π
rl

表面积：
S
＝π
r
(
r
＋
l
)
上底面面积：
S
上底
＝π
r
′
2
圆台

下底面面积：
S
下底
＝π
r
2 < br>侧面积：
S
侧
＝π(
r
′
l
＋
rl
)


知识点三 柱体、锥体与台体的体积公式
几何体

体积

表面积：
S
＝π(
r
′＋
r
＋
r
′
l
＋
rl
)
22
说明

柱体

锥体

V
柱体
＝
Sh
V
锥体
＝
Sh
1
V
台体
＝(
S
′＋
S
′
S
＋< br>S
)
h
3
1
3
S
为柱体的底面积，
h
为柱体的高
S
为锥体的底面积，
h
为锥体的高
S
′，
S
分别为台体的上、下底面面积，
h
为台体的高
台体



1．锥体的体积等于底面面积与高之积．(×)
2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(√)
3．斜三棱柱的侧面积也可以用
cl
来求解，其中
l
为侧棱长，
c
为底面周长．(×)

类型一 柱体、锥体、台体的侧面积
例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱
的侧面积．
考点 柱体、锥体、台体的表面积
题点 柱体的表面积
解 如图，设底面对角线< br>AC
＝
a
，
BD
＝
b
，交点为
O< br>，

对角线
A
1
C
＝15，
B
1
D
＝9，
∴
a
＋5＝15，
b
＋5＝9，
∴
a
＝200，
b
＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
22
222222
?
AC
?
2
?
BD?
2
a
＋
b
＝
200＋56
＝64， ∴AB
＝
??
＋
??
＝
44
?
2
??
2
?
2
22
∴
AB
＝8.
∴直四棱柱的侧面积
S
＝4×8×5＝160.
反思与感悟 空间几何体的表面积的求法技巧：
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算 侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而

表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
跟踪训练1 (1)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A．20π B．24π C．28π D．32π
考点 组合几何体的表面积与体积
题点 柱、锥、台组合的几何体的表面积
答案 C
解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长
l
＝1
22
?23?＋2＝4，所以圆锥的侧面积为
S
锥侧
＝×4π ×4＝8π，圆柱的侧面积
S
柱侧
＝4π×4
2
＝16π，所以组合 体的表面积
S
＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.
(2)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，
求圆台的表面积．
考点 柱体、锥体、台体的表面积
题点 台体的表面积
解 如图所示，设圆台的上底面周长为
c
cm，

由于扇环的圆心角是180 °，则
c
＝π·
SA
＝2π×10，解得
SA
＝20 cm.
同理可得
SB
＝40 cm.
所以
AB
＝
SB
－
SA
＝20 cm.
所以
S
表
＝
S
侧
＋
S
上
＋
S
下
＝π×(10＋20)×20＋π×10＋π×20＝1 100π(cm)．
222

类型二 柱体、锥体、台体的体积
例2 (1)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．2π＋23B．4π＋23
2323
C．2π＋D．4π＋
33
考点 组合几何体的表面积与体积
题点 柱、锥、台组合的几何体的表面积与体积
答案 C
解析 该空间几何体由一圆柱和一正四棱 锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，
123
2
四棱锥的底面边长为2 ，高为3，所以体积为×(2)×3＝，所以该几何体的体积
33
23
为2π＋. < br>3
(2)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的
体积为( )

23
A．9 B．10 C．11 D.
2
考点 组合几何体的表面积与体积
题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积
答案 C
解析 由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基 础上，
11
截去一个底面积为×2×1＝1，高为3的三棱锥形成的，
V
三棱 锥
＝×1×3＝1，所以
V
＝4×3
23

－1＝11 .
反思与感悟 (1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利
用公式求解．
(2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条
件求解．
跟踪训练2 已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的
体积是________．
考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 台体的体积
答案
73π

3
解析 设圆台的上、下底面半径分别为
r
和
R
，母线长为
l
，高为
h
，
则
S
上
＝π
r< br>＝π，
S
下
＝π
R
＝4π.
∴
r
＝1，
R
＝2，
S
侧
＝π(
r
＋
R
)
l
＝6π.
∴
l
＝2，∴
h
＝3，
173π
22
∴
V
＝π(1＋2＋1×2)×3＝.
33
类型三 几何体体积的求法
命题角度1 等体积变换法
例3 如图， 已知
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
是棱长为
a
的正方体，
E
为
AA
1的中点，
F
为
CC
1
上一点，求
三棱锥
A1
－
D
1
EF
的体积．
22

考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 锥体的体积
解 由
V
三棱锥A－DEF
?V
三棱锥F－ADE
，
1111
11
2
∵
S
?A
1
D
1
E
＝
EA
1
·
A
1
D
1
＝
a，
24
又三棱锥
F
－
A
1
D
1E
的高为
CD
＝
a
，
11
2
13
∴
V
三棱锥F－ADE
＝×
a
×
a
＝
a
，
11
3412

1
3
∴V
三棱锥A－DEF
＝
a
.
11
12
引申探究
例3中条件改为点
F
为
CC< br>1
的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥
A
1
－
EBFD< br>1
的体积

解 因为
EB
＝
BF
＝
FD
1
＝
D
1
E
＝
所以四边形
EBFD
1
是菱形．
连接
EF
，则△
EFB
≌△
FED
1
.
因为三棱锥
A
1
－
EFB
与三棱锥
A
1< br>－
FED
1
的高相等，
所以
V
四棱锥A－EBFD
?2V
三棱锥A－EFB
?2V
三棱锥F－EBA
.
11 11
5
?
a
?
a
2
＋
??
2＝
a
，
D
1
F
∥
EB
，
2
??
2
11
2
又因为
S
?EBA
1
＝
EA
1
·
AB
＝
a
，
24
1
3
所以
V
三棱锥F－EBA
＝
a
，
1
12
1
3
所以
V
四棱锥A－EBFD
?2V
三棱锥F－EBA
＝
a
.
111
6
反思与感悟 四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即
可．
跟踪训练3 如图，在棱长为
a
的正方体
ABCD
－
A
1
B1
C
1
D
1
中，求点
A
到平面
A1
BD
的距离
d
.

考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 锥体的体积
解 在三棱锥
A
1
－
ABD
中 ，
AA
1
⊥平面
ABD
，
AB
＝
AD＝
AA
1
＝
a
，
A
1
B
＝
BD
＝
A
1
D
＝2
a
，
∵
V
三棱锥A－ABD
?V
三棱锥A－ABD
，
11

11
2
113
∴×
a
·
a＝××2
a
×·2
a
·
d
.
32322∴
d
＝
33
a
.∴点
A
到平面
A1
BD
的距离为
a
.
33
命题角度2 割补法求体积
例4 如图，在多面体
ABCDEF
中，已知平面
ABCD
是边长为 4的正方形，
EF
∥
AB
，
EF
＝2，
EF
上任意一点到平面
ABCD
的距离均为3，求该多面体的体积．

考点 组合几何体的表面积与体积
题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积
1
2
解 如图，连接
EB
，
EC
，
AC< br>.
V
四棱锥
E
－
ABCD
＝×4×3＝16.
3

∵
AB
＝2
EF
，
EF
∥
AB
，
∴
S
△
EAB
＝2
S
△
BEF
.
∴
V
三棱锥
F
－
EBC
＝
V
三棱 锥
C
－
EFB

11
＝
V
三棱锥
C
－
ABE
＝
V
三棱锥
E
－
ABC

22
11
＝×
V
四棱锥
E
－
ABCD
＝4.
22
∴多面体的体积
V
＝
V
四棱锥
E
－
ABCD
＋
V
三棱锥
F
－
EBC< br>＝16＋4＝20.
反思与感悟 割补法是求不规则几何体体积的常用求法，解此类题时，分割 与补形的原则是
分割或补形后的几何体是简单几何体，且体积易求．
跟踪训练4 如图，一个 底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母
线长分别为2和3，则该几何体的体积 为( )

A．5π B．6π

C．20π D．10π
考点 组合几何体的表面积与体积
题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积
答案 D
解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为
π×2×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
2


1．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
1＋2π1＋4π1＋2π1＋4π
A. B. C. D.
2π4ππ2π
考点 柱体、锥体、台体的表面积
题点 柱体的表面积
答案 A
解析 设圆柱底面半径、母线长分别为
r
，
l
， 由题意知
l
＝2π
r
，
S
侧
＝
l
＝4π
r
.
222
S
表
＝
S
侧
＋2π
r
2
＝4π
2
r
2
＋2π
r
2
＝2π
r
2
(2π＋1)，
S
表
2π
r
2
?2π＋1?1＋2π
＝＝. 22
S
侧
4π
r
2π
2．圆锥的轴截面是等腰直角三角 形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( )
128π64π
A. B. C．64π D．1282π
33
考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 锥体的体积
答案 B
解析 设圆锥的底面半径为
r
，母线长为
l
，
由题意知2
r＝
l
＋
l
，即
l
＝2
r
，
∴
S
侧
＝π
rl
＝2π
r
＝162π，
解得
r
＝4.
∴
l
＝42，圆锥的高
h
＝
l
－
r
＝4，
∴圆锥的体积为
22
2
22

V
＝
Sh
＝π×4
2
×4＝




1
3
1
3
64π
.
3
3．已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为( )

93
A．93B．92＋
4
C．122D．123
考点 柱体、锥体、台体的表面积
题点 锥体的表面积
答案 D
解析 由侧视图可知三棱锥的高为22，
底面三角形的高为3，设底面正三角形的边长为
a
，
由
3
a
＝3，解得
a
＝23.
2
22
所以侧棱长为?22?＋2＝23，
所以正三棱锥是正四面体，
所以该三棱锥的表面积为4×
3
2
×(23)＝123.
4
4．若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则该圆台的表面积为______．
考点 柱体、锥体、台体的表面积
题点 台体的表面积
答案 216π
解析 设圆台上底与下底的半径分别为
r
，
R
，由勾股定理可得R
－
r
＝13－12＝5.
∵
r
∶
R
＝3∶8，
∴
r
＝3，
R
＝8.
22
S
侧
＝π(
R
＋
r
)
l
＝π(3＋8)×13＝143π，

则表面积为143π＋π×3＋π×8＝216π.
5．如图所示，正方体< br>ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，
E
为线段
B
1
C
上的一点，则三 棱锥
A
－
22
DED
1
的体积为________．

考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 锥体的体积
1
答案
6
111
解析
V
三棱锥A－DED
?V
三棱锥E－DDA
＝××1×1×1＝.
11
326

1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和． 2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面
中求解． 而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
3．
S
圆柱表< br>＝2π
r
(
r
＋
l
)；
S
圆锥表< br>＝π
r
(
r
＋
l
)；
S
圆台表＝π(
r
＋
rl
＋
Rl
＋
R
)．
4．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明
(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．
(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体
积 是圆锥的体积的3倍．
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
22
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用
“大锥 体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．

一、选择题
1．正方体的的表面积为96，则正方体的体积为( )
A．486 B．64 C．16 D．96
考点 柱体、锥体、台体的体积

题点 柱体的体积
答案 B
解析 设正方体的棱长为
a
，则6
a
＝96，
∴
a
＝4，故
V
＝
a
＝4＝64.
2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．2π B．3π C．4π D．8π
考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 柱体的体积
答案 A
解析 设圆柱母线长为
l
，底面半径为
r
， < br>?
l
＝2
r
，
?
由题意得
?
??
2π
rl
＝4π，
33
2

解得
?
?
r
＝1，
?
?
?
l
＝2.


∴
V
圆柱
＝π
rl
＝2π.
3．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )
A．2 B．22 C．4 D．8
考点 柱体、锥体、台体的表面积
题点 台体的表面积
答案 C
解析 圆台的轴截面如图所示，
2

设母线长为
l
，
1
由题意知，
l
＝(
r
＋
R
)，
2
S
圆台侧
＝π(
r
＋
R
)·
l
＝π·2
l
·
l
＝32π，
∴
l
＝4. 4．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1
的半圆， 则该几何体的体积是( )

43313
A.π B.π C.π D.π
3623
考点 组合几何体的表面积与体积
题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积
答案 B
11
2
解析 由三视图 ，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为××π×1×3
23
＝
3π.
6
5．如图，
ABC
－
A
′
B
′
C
′是体积为1的三棱柱，则四棱锥
C
－
AA
′
B
′
B
的体积是( )

11
A.B.
32
23
C.D.
34
考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 锥体的体积
答案 C
11
解析 ∵
V
三棱锥C
－
A
′
B
′
C
′
＝
V三棱柱
ABC
－
A
′
B
′
C
′
＝，
33
12
∴
V
C
－
AA
′
B
′
B
＝1－＝.
33
6．如图是一个几何体的三视图，若该几 何体的表面积为9π，则该几何体的正视图中实数
a
的值为( )

A．1 B．2 C．3 D．4
考点 组合几何体的表面积与体积
题点 柱、锥、台组合的几何体的表面积与体积

答案 C
解析 设几何体是一个圆柱上面叠加一个圆锥，
其表面积为
S
＝2π×1×
a＋π×1×?3?＋1＋π×1＝2π
a
＋3π＝9π，
∴
a
＝3.

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
222

A．372 B．360 C．292 D．280
考点 组合几何体的表面积与体积
题点 柱、锥、台组合的几何体的表面积与体积
答案 B
解析 由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．
∵下面长方体的表面 积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为
8×6×2＋2×8× 2＋2×6×2＝152，
又∵长方体表面积重叠一部分，
∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.
8．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些
水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )
A．63 cm B．6 cm
33
C．218 cm D．312 cm
考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 锥体的体积
答案 B
解析 设圆锥中水的底面半径为
r
cm，由题意知
1
22
π
r
×3
r
＝π2×6，
3
得
r
＝23，

∴水面的高度是3×23＝6(cm)．
二、填空题
9．棱长都是3的三棱锥的表面积
S
为________．
考点 柱体、锥体、台体的表面积
题点 锥体的表面积
答案 93
解析 因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，
所以
S
＝4×
3
2
×3＝93.
4
10．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．
考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 锥体的体积
答案
3
π
3
1
解析 圆锥的母线长
l
＝2，设圆锥的底面半径为
r< br>，则2π
r
＝×2π×2，
2
∴
r
＝1，
∴圆锥的高
h
＝
l
－
r
＝3，
13
2
则圆锥的体积
V
＝π
rh
＝π.
33
11．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若< br>将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新
的底面 半径为________．
考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积
题点 其他求体积、表面积问题
答案 7
22
11
2222
解析 设新 的底面半径为
r
，则有×π
r
×4＋π
r
×8＝×π×5× 4＋π×2×8，解得
r
33
＝7.
12．如图所示，在棱长为4的正方体 上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，
则打孔后的几何体的表面积为________．

考点 组合几何体的表面积与体积
题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积
答案 96＋6π
解析 由题意知，所打圆柱形孔 穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的
表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去 两个圆的面积，即
S
＝6×4＋4×2π－2π×1
＝96＋6π.

三、解答题
13．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为 4的等腰三
角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积
V
；(2)求该几何体的侧面积
S
.
22

考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 锥体的体积
解 由 已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱
锥
V
—
ABCD
.

1
(1)
V
＝×(8×6)×4＝64.
3
(2)该四棱 锥的两个侧面
VAD
，
VBC
是全等的等腰三角形，
且
B C
边上的高为
h
1
＝
?
8
?
22
4＋
??
＝42，
?
2
?
另两个侧面
VAB，
VCD
也是全等的等腰三角形，

AB
边上的高为h
2
＝
?
6
?
22
4＋
??
＝5.
?
2
?
1
?
1
?
因此侧面积S
＝2
?
×6×42＋×8×5
?
＝40＋242.
2
?
2
?
四、探究与拓展
14．在长方体
ABC D
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，截下一个三棱锥
C
－
A
1
DD
1
，求三棱锥< br>C
－
A
1
DD
1
的体积与剩
余部分的体积之 比．

考点 组合几何体的表面积与体积
题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积
解 设矩形
ADD
1
A
1
的面积为
S
，
AB
＝
h
，
所以
V
长方体ABCD－ABCD
＝
V
长方体ADDA－BCCB
＝Sh
.
11111111
1
而三棱锥
C
－
A
1
DD
1
的底面积为
S
，高为
h
， 2
故三棱锥
C
－
A
1
DD
1
的体积为
V
三棱锥C－A
1
DD
1
＝
3
×
2
S
×
h
＝
6
Sh
，
15
余下部分体积为
Sh
－
Sh
＝
Sh
.
66
所以三棱锥
C
－
A
1
DD
1
的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
15．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有 一个半径为
x
的内接圆柱．
111

(1)试用
x
表示圆柱的高；
(2)当
x
为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？
考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积
题点 其他求体积、表面积问题
解 (1)设所求的圆柱的底面半径为
x
，它的轴截面如图，

BO
＝1，
PO
＝3，圆柱的高为
h
，
x
3－
h
由图，得＝，即
h
＝3－3
x
.
13
(2)∵
S
圆柱侧
＝2π
hx
＝2π(3－3
x
)
x
＝6π(
x
－
x
)，
13
当
x
＝时，圆柱的侧面积取得最大值π.
22
13
∴当圆柱的底面半径为时，它的侧面积取得最大值π.
22
2