高一数学必修一必修二各章知识点汇总

高一数学必修一必修二各章知
识点汇总

———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：




2

数学必修1各章知识点总结
○3
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
第一章 集合与函数概念
优点：解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值.
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
一、集合
(1)分式的分母不等于零；
（一）集合有关概念
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
1.集合的含义
(3)对数式的真数必须大于零；
2.集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；
3.集合的表示： （1）常用数集及其记法 （2）列举法 （3）
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而 成的，那么它的定义域是使各部分
描述法
都有意义的
x
的值组成的集合；
4、集合的分类：有限集、无限集、空集
(6)指数为零底不可以等于零；
5. 常见集合的符号表示：
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
相同函数的判断方法：(以下两点必须同时具备)
符号
N

N
?
或
N
?

Z

Q

R

(1)表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；(2)
（二）集合间的基本关系
定义域一致.
1.子集、真子集、空集； 2.有n个元素的集合，含有2
n
求函数值域方法 :（先考虑其定义域）
个子集，2
n-1
个真子集；
（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
3.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
(2)应熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.
（三）集合的运算
(3)求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、分离常数法、判别式法、单调性法等.
运算类型 交 集 并 集 补 集
2. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数
y=f(x) , (x
∈A)中的x
为横坐标，函数值
y
为纵坐标的点P
(x
，
由所有属 于A且属于由所有属于集合A或属
设U是一个集合，A是U
y)
的集合C，叫做函数
y=f(x),(x
∈A)的图象．C上每一点的坐标
(x
，
y)
均满足函数关系
y=f(x)
，反过来，
B的元素所组成的集于集合B的元素 所组成
的一个子集，由U中所有
以满足
y=f(x)
的每一组有序实数对x、y
为坐标的点
(x
，
y)
，均在C上 .
函数 图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图
定 义
合,叫做A,B的交的集合，叫做A,B的并
不属于A的元素组成的集
集．记作A
?
B（读作集．记作：A
?
B（读作
合，叫做U中子集A的补
象的依据.
‘A交B’），即A
?
B=‘A并B’），即A
?
集（或余集）
B
记作
(2) 画法:描点法;图象变换法
｛x|x
?
A，且x
?
B｝． ={x|x
?
A，或x
?
B})．
C
U
A
，即
常用变换方法有三种:平移变换;对称变换；*伸缩变换.
C
U
A=
{x|xUx?,且?A}

3．区间的概念
韦
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
恩
A
B
A
B
4．映射
图
U
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一
示
A

图1

图2

个元素x，在集合B中都有唯 一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A
?
B为从集合A到集合B的
A
?
A=A A
?
A=A
一个映射.记作“f（对应关系）：A（原象集）
?
B（象集）”
对于映射
f
：
A
→
B
来说，则应满足：
性
A
?
Φ=Φ A
?
Φ=A
(C
u
A)
?
(C
u
B)= C
u
(A
?
B)
(1)集合
A
中的每一个元素 ，在集合
B
中都有象，并且象是唯一
质
A
?
B=B
?
A A
?
B=B
?
A
(C
u
A)
?
(C
u
B)= C
u
(A
?
B)
的；
A
?
B
?
A A
?
B
?
Ａ
A
?
(C
u
A)=U
(2)集合
A
中不同的元素，在集合
B
中对应的象可以是同一个；
A
?
B
?
B A
?
B
?
B
A
?
(C
u
A)= Φ．
(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象.
二、函数
5.分段函数
（一）函数的有关概念
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；
1.函数的概念：设A、B是非空 的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意
(2)各部分的自变量的取值情况；
一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的 一
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值
个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值
域的并集．
相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

定义域：能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域.
（二）函数的性质
2.常用的函数表示法及各自的优点：
1.函数的单调性(局部性质)
○1
解析法：必须注明函数的定义域；
（1）定义
○2
图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量
3

x
1
，x
2
，当x
1
< x
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数.区间D称为（2）求函数的解析式的主要方法有：
y=f(x)的单调增区间. 凑配法； 待定系数法；换元法；消参法.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1< br>)
＞
f(x
2
)，那么就说
f(x)
在如果已知函数 解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这
这个区间 上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用 凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程
定义的变形应用：如果对任意的
xD
， 且
x
f(x
2
)?f(x
1
)
组消参的方法求出f (x)
1
,x
2
?
1
?x
2
有
x
?0
或者
4．函数最大（小）值

2
?x
1(f()x
（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）
2
?f(x xx
1
))(
2
?
1
)0?
，则函数
f( x)
在区间D上是增函数；如果对任意的
x
1
,x
2
?D< br>，且
x
1
?x
2
有
值；
f(x
2
)?f(x
1
)
（2）利用图象求函数的最大（小）值；
xx?0
或者
(f()x
2
?f(xxx
1
))(
2
?
1
)0?
，则函数
f(x)
在区间D上是减函数.
2
?
1
（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
注意：函数的单调性是函数的局部性质.
函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在 区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大
（2）图象的特点
值f(b)；
如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数，那么说 函数
y=f(x)
在这一区间上具有(严格的)
函数y=f(x)在区间[a，b]上 单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小
单调性，在单调区间上增 函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
值f(b).
(3)函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：
第二章 基本初等函数

○
1 任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
一、指数函数
○2
作差f(x
1
)－f(x
2
)；
（一）指数与指数幂的运算
○
3 变形（通常是因式分解和配方）；
1． 根式的概念：一般地，如果
x
n
?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根，其中
n
>1，且
n
∈
N< br>*
．
○
4 定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0?0
.
○
5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
当
n
是奇数时，
n
a
n
?a
，当
n是偶数时，
(C)复合函数的单调性
n
复合函数
f
[
g(x)
]的单调性与构成它的函数
u=g(x)
，
y=f(u)
的 单调性密切相关，其规律：“同增
a
n
?|a|?
?
?
a( a?0)
?
?a(a?0)

异减”
2．分数指数幂
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并
正数的分数指数幂的意义，规定：
集.
m
2．函数的奇偶性（整体性质）
a
n
?a(a?0,m,n?N
*
,n?1)
，
a
?
m
n
m
n< br>?
11
*
m
?(a?0,m,n?N,n?1)

（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x )，那么f(x)就叫做偶函数．
a
n
n
a
m
（2）奇函数
? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
一般地， 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
（1）
a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?R)
；（2）
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?R)
；（3）
偶函数的 图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对
(ab)
r
?ab
rr
(a?0,r?R)
．
称．
（二）指数函数及其性质
利用定义判断函数奇偶性的步骤
：
1．指数函数的概念：
○
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
一般地，函数
y ?a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
○
2确定f(－x)与f(x)的关系；
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不 能是负数、
○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－
零和1．
f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
2．指数函数的图象和性质
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关

于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由

0
f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
a<
3.函数的解析表达式
>a（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之
1 <
间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
1
4

66
55
44
— 对数式）
说明：
○
1 注意底数的限制
a?0
，且
a?1
；
○
2
x
.
a?N?logN?x
a
33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
246-4-2

0
-1
246

定
义
域

R
值
域
y
＞
0
在
R
上
单
调
递
增
非
奇
非
偶
函
数
函数图象都过定点（0，1）
利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
x
定
义
域

R
值
域
y
＞
0
在
R
上
单
调
递
减
非
奇
非
偶
函
数
函数图象都过定点（0，1）
两个重要对数：
1 常用对数：以10为底的对数
lgN
；
○
2 自然对数：以无理数
e
为底的对数的对数
?2.71828?
○
lnN
．
? 指数式与对数式的互化
幂值 真数

a
b
＝ N
?
log
a
N
＝ b

底数
指数 对数

（二）对数的运算性质

如果
a?0
，且
a?1
，
M?0
，
N?0
，那么：
○1

log
a
(M
·
N)?
log
a
M
＋
log< br>a
N
；
M
?
log
a
M
－
log
a
N
；
N
n
○3

log
)
．
a
M

(n?R
a
M
?n
log
○2

log
a
注意：换底公式
log
a
b?
log
c
b

log
c
a
（
a?0
，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；
b?0
）．
利用换底公式可得下面的结论：
（ 1）在[a，b]上，
f
值域是
(x)?a(a?0且a?1)
（a>1）或
[f(a),f(b)]

[
(0f(b) ,f(a)]
（2）若
x?0
，则
f(x)?1
；
f(x)
取遍所有正数当且
仅当
x?R
；
x
(x)?a(a?0且 a?1)
（3）对于指数函数
f
，总有
f(1)?a
.

二、对数函数

（一）对数的概念：
n
m
1
（2）
log
．
b?
a
log
b
a
n
（1）
log
；
log
m
b?
a
b
a

（三）对数函数

?log(a?0
1、对数函数的概念：函数
y
，且
a? 1)
叫做对数函数，其中
x
是自变量，函数的
a
x
定义域是 （0，+∞）．
注意：
○
1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，
注意辨别.
如：
y?
，
y?log
5
x
都不是对数函数，而 只能称其为对数型函
2log
2
x
5
a?0,a?1)
一般 地，如果
a?N
(
，那么数
x
叫做以
．
x
数．
2 对数函数对底数的限制：
a?0
，且
a?1
．
○


a
为底
．．
N
的对数，
记作：
x?log
（
a
— 底数，
N
— 真数，
log
a
N
a
N
5

2、对数函数的图象和性质：
即：方程
f(x)?0有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点?
函数
y?f(x)
有零点．
0
3．函数零点的求法：
a<
>a
○
1 （代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
1 <
○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
y?f (x)
的图象联系起来，并利用函
1
数的性质找出零点．
3
3
4．二次函数的零点：
2.5
2.5
2
2< br>二次函数
1.5
1.5
y?ax
2
?bx?c(a?0)．
1
1
1
1
2
0.5
0.5
（1） △＞０，方程
ax?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与
x
轴有两 个交点，二次函
-1
0
12345678
-15678
-0.51
0
1234
-0.5
1
数有两个零点．
-1
-1
-1.5
-1.5
（2）△＝０，方程
ax
2
-2< br>-2
?bx?c?0
有两相等实根，二次函数的图象与
x
轴有一个交点 ，二次函数
-2.5

-2.5

有一个二重零点或二阶零点． < br>定定
（3）△＜０，方程
ax
2
义义
?bx?c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次函数无零点．
二、函数的应用
域域
解答数学应用题的关键有两点：
：：
(0,??)(0,??)
一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际
问题归纳为相应的数学问题；

二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的 内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的
值值
关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模 型；最终求解数学模型使实际问题获解.
域域
为为
数学必修2各章知识点总结
R R
第一章 空间几何体
在在
1、柱、锥、台、球的结构特征（要补充 直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台、平行六面体的定义）
RR
结 构 特 征 性质 图例
上上
（1）两底面相互平（1）两底面相互平行；（2）侧面
递递
增 减
棱
行，其余各面都是平
圆
的母线平行于圆柱的轴；
函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0）
柱
行四边形；
（2）侧棱平行且相
柱
（3）是以矩形的一边所在直线为
旋转轴，其余三边旋转形成的曲
三、幂函数
等. 面所围成的几何体.

1．幂函数定义：一般地，形如
y?x
?
(a?R)
的函数称为幂函数，
（1）底面是多边形，（1）底面是圆；（2）是 以直角三
其中
?
为常数．
棱各侧面均是三角形； 圆角形的一条直角边所在的直线为
2．幂函数性质归纳：
锥 （2）各侧面有一个公锥 旋转 轴，其余两边旋转形成的曲
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点
共顶点 . 面所围成的几何体.

（1，1）；
（1）两底面相互平
（1）两底面相互平行；
（2）当
?
?0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函数．特别地，当
?
?1
时，
棱
行；（2）是用一个平
圆（2）
幂函数的图象下 凸；当
0?
?
?1
时，幂函数的图象上凸；
台
行于棱锥 底面的平面
是用一个平行于圆锥底面的
（3）当
?
?0
时，幂函数的 图象在区间
(0,??)
上是减函数．在第一象限内，当
x
从右边趋向原点< br>去截棱锥，底面和截
台 平面去截圆锥，底面和截面之间
时，图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于
??
时，图象在< br>x
轴上方无限地逼近
x
轴正
面之间的部分.
的部分.

半轴．
球
（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所
第三章 函数的应用
在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.

一、方程的根与函数的零点
2、空间几何体的三视图
1．函数零点的概念：对于函数
y?f(x)(x?D)< br>，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
三视图定义：正视 图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）
y?f(x)(x?D)
的零点.
注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映 了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度.
2．函数零点的意义：函数
y?f( x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的 图象与
x
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
轴交点的横坐标.
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x轴平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y轴平行，长度为原来的一半.
6

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
?
相交
（ 1）柱体、锥体、台体的表面积（几何体的表面积为几何体各个面的面积的和）
①空间两条直线的位置 关系：
?
共面直线
?
直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
表面积相关公式 表面积相关公式
?
?
平行直线：同一平面内，没有公共点；

?
?
棱柱
S
?
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公 共点.
全
?S
侧
?2S
底

圆柱
S
2
全
?2
?
r?2
?
rh
（
r
：底面半径，
h
：高）
②异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线
棱锥
S
全
?S
侧
?S
底

圆锥
S?
?
r
2
全
?
?
rl
（
r
：底面半径，
l
：母线长）
③异面直线所成角：已知两条异面 直线
a,b
，经过空间任一点
O
作直线
a
?
a,b
?
b
，把
a
?
,b
?
所成的锐
角 （或直角）叫异面直线
a,b
所成的角（或夹角）.
a
?
,b?
所成的角的大小与点
O
的选择无关，为了简便，
棱台
SS
2
全
?S
侧
?S
上底
?S
下底
圆台
全
?
?
(r'??r
2
r'l?rl)

（
r
：下底半径，
r’
：上底半径，
l
：母线长）
点
O
通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为
(0,90?]
，如果两条异面直线所成的角是直角，
（2）柱体、锥体、台体的体积公式
则叫两条异面直线垂直，记作
a?b
. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→
体积公式 体积公式
计算.
④等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补.
棱柱
V?S
底
gh
高

圆柱
V?
?
r
2
h

（4）空间直线与平面之间的位置关系
棱锥
V?
1
S
直线在平面内——有无数个公共点．
底
gh
高

3
圆锥
V?
1
3
?
r
2
h


棱台
V?
1
(S'?SS'?Sh)

圆台
V?
1

3
?
(r'
2
?rr'?r2
3
)h


（3）球体的表面积和体积公式：V=
4
?
R
3
； S
2

球
三种位置关系的符号表示：
a?
?
；
a
∩
?
＝A ；
a
∥
?
.
3
球面
=
4
?
R
（5）平面与平面之间的位置关系：平行—— 没有公共点，记作
?
∥β.

相交——有一条公共直线，记作
?
∩β＝
b.
第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系


2、空间中的平行问题
1、空间点、直线、平面之间的位置关系
（1）直线与平面平行的判定及其性质
（1）平面
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,
① 平面的概念： 平面是无限伸展的.
则该直线与此平面平行
② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；
?
.(
?
线线平行
?
线面平行)
符号表示为：
a?,b?,ab?a
?
.
也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC.
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
③ 点与平面的关系：点
A
在平面
?
内，记作
A?
?
；点
A
不在平面
?
内，记作
A?
?
.
那么这条直线和交线平行.线面平
点与直线的关系：点
A
在直线
l< br>上，记作：
A
∈
l
； 点
A
在直线
l
外，记作
A
?
l.

行
?
线线平行
β
a

直线与平面的关系：直线
l
在平面α内，记作
l
?
α；直线
l
不在平面α内 ，记作
l
?
α.
a
?
?
（2）平面基本性质即三 条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：
符号表示为：
a?
?
?
?
?ab

b


?
I
?
?b
?
?
?

公理1 公理2 公理3

图形
（2）平面与平面平行的判定及其性质
语言



两个平面平行的判定定理
文字
如果一条直线上的两 点过不在一条直线上的三点，有如果两个不重合的平面有一个
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平 行于另一个平面，
语言
在一个平面内，那么这条且只有一个平面. 公共点，那么它们有且只有一条
那么这两个平面平行.（线面平行→面面平行），
直线在此平面内. 过该点的公共直线.
用符号表示为：
a?
?
, b?
?
,a
I
b?P
?
符号
A?l,B?l
?
ABC,,不共线?
a
?
,b
?
?
语言
A?
?
,B?
?
?

?
??l
?

ABC,,确定平面
?
P?
?
,P?
?
?
?
?
?
??

.
?
?
I
?
?l

?
P?l
*（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行.（线线平行→面面平行），
公理2的三条推论：
*（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，
推论1： 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
两个平面平行的性质定理
推论2： 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
（1）如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.（面面平行→线面平行）
推论3： 经过两条平行直线，有且只有一个平面.

（3）空间直线与直线之间的位置关系
用符号表示为：
?
∥
β，
a
?
β
?a
?

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行


7

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来 ，如果两个平面垂直，那
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（面面平 行→线线平行） 么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
用符号表示为：
?
∥
β
，
?
∩
γ
＝
a
,β
∩
γ
＝
b
?ab
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到二面角平面角.
*垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面
角的平面角

3、空间中的垂直问题
第三章 直线与方程
（1）线线、面面、线面垂直的定义
1、直线的倾斜角与斜率
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.
（1）直线的倾斜角
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直.
定义：
x
轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与
x
轴平行或重合时,
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两 个半平面所组成的图形）
我们规定它的倾斜角为0度.因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直.
（2）直线的斜率
（2）垂直关系的判定和性质定理
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做 这条直线的斜率.直线的斜率常用k表
①线面垂直判定定理和性质定理
示.即
k?tan
?
.斜率反映直线与轴的倾斜程度.
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，
当
?
??
0
?
,90
?
?
时，
k?0
；当< br>?
?
那么这条直线垂直这个平面.（线线垂直
?
线面垂直）
?
90
?
,180
?
?
时，
k?0
； 当
?
?90
?
时，
k
不存在.
用符号表示为：< br>l
⊥
m
，
l
⊥
n
，
m
∩< br>n
＝B，
m
?
?
，
n
?
?
?
l
⊥
?

②过两点的直线的斜率公式：
k?
y< br>2
?y
1
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
x?x
(x
1
?x
2
)

21
用符号表示为：
a
⊥
?
，
b
⊥
?
?
ab

③设
2

A(,x
1
y< br>1
)，B（）xy
2
,
x?xy?y
2
，则线段AB 中点坐标公式为
(
12
2
,
1
2
)

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，
2、直线的方程
那么这两个平面互相垂直.（线面垂直
?
面面垂直）
（1）直线方程的几种形式
用符号表示为：
a
??
，
?
⊥
β
?
?
⊥
β
.
名称

方程

适用范围
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内
点斜式
y
－
y
0
＝
k
(
x
－
x
0
)

不含垂直于
x
轴的直线
垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直
?
线面垂直）
斜截式
y
＝
kx
＋
b
不含垂直于
x
轴的直线
用符号表示为：
?
?< br>?
，
?
I
?
?l
，
a?
?
，
a?l
?
a?
?
.
两点式

y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1

不含直线
x
＝
x
1
(
x
1
≠
x
2
) 和直线
y
＝
y
1
(
y
1
≠
y
2
)
4、空间角问题
截距式

xa＋yb＝1

不含垂直于坐标轴和过原点的直线
（1）直线与直线所成的角
一般式
A x
＋
By
＋
C
＝0(
A
2
＋
B< br>2
≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
①两平行直线所成的角：规定为
0
?
. 注意：
○1
各式的适用范围;
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角.

○2
特殊的方程如：
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异 面直线
a
，
b
平行的直线
a
?
,b
?，形成
平行于
x
轴的直线：
y?b
（
b
为常数 ）； 平行于
y
轴的直线：
x?a
（
a
为常数）.
两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.
（2）直线系方程（即具有某一共同性质的直线）
（2）直线和平面所成的角
①平 行直线系：平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0
（
A
0
,B
0
是不全为0的常数）的直线系方程为：< br>①平面的平行线与平面所成的角：规定为
0
?
.
A
0
x?B
0
y?C?0
（
C
为参数）
②平面的垂线与平面所成的角：规定为
90
?
.
③平面的斜线与平 面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和
②垂直直线系：垂直于已 知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0
（A
0
,B
0
是不全为0的常数）的直线系方程为：
这个平面所成 的角.
B
0
x?A
0
y?C?0
（
C
为参数）
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”.
③过定点的直线系:
（3）二面角和二面角的平面角
（ⅰ）斜率为
k的直线系方程为
y?y
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二 面角，这条直线叫做二面角的
0
?k
?
x?x
0
?
，直线过定点
?
x
0
,y
0
?
；
棱，这两个半平面叫做二面角的面.
*（ⅱ）过两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直 线系方程为
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内
．．
分 别作垂直于
．．．
棱的两条射线，这
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?
?0
（
?
为参数），其中直 线
l
2
不在直线系中.
两条射线所成的角叫二面角的平面角.
3、两直线平行与垂直
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.
已知l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2:y?k
2
x?b
2
，则
l
1
l
2< br>?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
；l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

8

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否.
当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
4、两条直线的交点
当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
l
A
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0 ，
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2< br>?0
相交，交点坐标即方程组
?
?
1
x?B
1
y?C
1
?0
的一组解.
?
A
?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆.
2
x?B
当
d
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
注意：已知两圆相切，两圆心与切点 共线，圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点.
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
5.空间直角坐标系
5、距离公式：
（1）定义：从空间某一个定点
O< br>引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴
Ox
、
Oy
、
Oz< br>，这样的坐标
(1)平面上任意两点
P
1
(
x
1，
y
1
)，
P
2
(
x
2
，< br>y
2
)间的距离为|
P
1
P
2
|＝
(x
22
2
?x
1
)?(y
2
?y
1)
.
系叫做空间直角坐标系
O
-
xyz
，点
O
叫做坐标原点，
x
轴、
y
轴、
z
轴叫做坐标轴. 通过
特别地，当
P
1
,P
2
所在直线与
x
轴平行时，
|P
每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为
xOy
平面、< br>yOz
平面、
zOx
平面.
1
P
2
|?| x
1
?x
2
|
；当
P
1
,P
2< br>所在直线与
y
轴平行时，
（2）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序 实数组
|P
(x,y,z)
来表示，有序实数组
(x,y,z)
叫 做
1
P
2
|?|y
1
?y
2
|
；
(2)平面上任意一点
P
点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作
Mxyz( ,,)
（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，
0
(
x
0，
y
0
)到直线
l
：
Ax
＋
By＋
C
＝0(
A
，
B
不同时为0)的距离为
d< br>＝|Ax0＋By0＋
C|r(A2＋B2).
z叫做点M的竖坐标）
(3 )两条平行直线
l
（3）空间两点距离坐标公式：
1
：
Ax
＋
By
＋
C
1
＝0，
l
2
：
Ax
＋
By
＋
C
2
＝0(其中
A
，
B
不同时为0，且
C
1
≠
C
2
)间的距离
d ?(x
222
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)?(z
2
?z
1
)

为
d
＝|C1－C2|r(A2＋B2).


第三章 圆与方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.
2、圆的方程
（1）标准方程
?
x?a
?
2
?< br>?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
?
a, b
?
，半径为
r
；
（2）一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程表示圆，此时圆 心为
?
?
?
D
,?
E
?
?
，半径 为
r?
1
22
?
22
?
2
D?E?4F< br>
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，表示一个点； 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程不表示任何图形.
（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求.
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需要求出a，b，r；若利用一般方程，
需要求出D，E，F.
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.
3、直线与圆的位置关系：
位置关系 几何特征 方程特征 几何法 代数法
相交 有两个公共点 方程组有两个不同实根 d0
相切 有且只有一公共点 方程组有且只有一实根 d=r △=0
相离 没有公共点 方程组无实根 d>r △<0
（1）弦长公式：
利用圆被截得弦的性质（垂径定理）：弦长
|AB|?2r2
?d
2

（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存 在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=
半径，求解k，得到方程【一定两解】；
(3)过 圆上一点的切线方程：圆
(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为
(x
0
，y
0
)
，则过此点的切线 方程为
(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d< br>）之间的大小比较来确定.
设圆
C
22
2
1
:?
x?a
1
?
?
?
y?b
1
?
?r
，
C
2
:
?
x?a
2
?
2
?
?
y?b
2
?
2
?R
2

当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
9