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高中数学必修1-必修2知识点总结 (3)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 15:35
tags:高中数学必修二知识点

高中数学选修4系列的重要作用-高中数学2-2例题

2020年10月7日发(作者:仇珠)


高中数学必修1知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、
集合的含义
:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:
1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性
3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法:列举法与描述法。
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记
作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 a
?
A
列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
描述法:将集合中的元素的 公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确
定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法 。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、集合的分类:
(1).有限集 含有有限个元素的集合
(2).无限集 含有无限个元素的集合
(3).空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)


实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论:对于两个集合A与B ,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,
集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们 就说集合A等于集合B,即:A=B
任何一个集合是它本身的子集。A
?
A
②真子集:如果A
?
B,且B
?
A那就说集合A是集合B的真子集,记作A
?
B(或B
?

A)
③如果 A
?
B, B
?
C ,那么 A
?
C
④如果A
?
B 同时 B
?
A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交
集.
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义: 一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫
做A,B的并集。记作:A∪B(读作 ”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即 ),由S中所有不属于A的元
素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
(2)全集: 如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看
作一个全集。通常用U来表示。
四、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合A
中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A →B为从
集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值 范围
A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做
函数的值域.


注意:如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的 定义域,则函数的定义域即是指能使这
个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区 间的形式.
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义 域时列不等式组的主
要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真
数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数 是由一些基本函
数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合 .
(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应 关系和值域.由于值域是由定义域和对应关
系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致 ,即称这两个函数相等(或
为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致 ,而与表示自
变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必
须同时具备) (见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其
定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它
是求解复杂函数值域 的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐
标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.
集合C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x) ,反过来,以满足y=f(x)的每一组有
序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A },图象C
一般的是一条光滑的连续 曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一
个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法
A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表, 以(x,y)为坐标在
坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.


B、图象变换法(请参考必修4三角函数)
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用:
1、直观 的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4.了解区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.
5.什么叫做映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使 对于集合A中的
任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应, 那么就称对应f:A→ B
为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A→ B”
给定一个集合A到B的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素
b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原 象
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定
的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关
系一般是不同的 ;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,
在集合B中都有象,并且象是 唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象
可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一 个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点:
1 函数图象既可以是连续 的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图
形是否是函数图象的依据;2 解析法:必须注明函数的定义域;3 图象法:描点法作图要
注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列表法:选取的自变
量要有代表性,应能反映定义域的特征.
解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值.
补充一:分段函数 (参见课本P24-25)
在定义域的不同部分上有不同的解析表达 式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自
变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个 不同的方程,而就写函数值几种
不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取 值情况.(1)分
段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义 域的


并集,值域是各段值域的并集.
补充二:复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f、g 的复合函数。
例如: y=2sinx y=2cos(2x+1)
7.函数单调性
(1).增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任 意两个自变量a,b,
当a区间(睇清楚课本单调区间的概念)
如果对于区间D上的任意两个自变量的值a,b,当a在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
2 必须是对于区间D内的任意两个自变量a,b;当a(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间 上具有(严格
的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减 函数的图象从左到右是下降
的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:任取a,b∈D,且a4 定号(即判断差f(a)-f(b)的正负);5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关
注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写
成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗?
8.函数的奇偶性
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x ),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数


一般地,对于函数f(x )的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函
数.
注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
函 数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性 的一个必要条件是,对于定义域内的任意
一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于 原点对称).
3、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域
是否关于原点对称;2 确定f(-x)与f(x)的关系;3 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-
x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数 的定义域是否
关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2 )有时判定
f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x) f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,
或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函 数关系时,一是要求出
它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2).求函数的解 析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析
式的构造时,可用待定系数法; 已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注
意元的取值范围;当已知表达式较简单 时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常
用解方程组消参的方法求出f(x)
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
(1)、 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值. (2)、 利用图象求函数
的最大(小)值 (3)、 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数 y=f(x)
在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b);如
果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递 增则函数y=f(x)在x=b处有
最小值f(b);
第二章 基本初等函数


一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地 ,如果
x
n
?a
,那么
x
叫做
a

n
次方根(n th root),其中
n
>1,

n

N
*


n
是奇数时,正数的
n
次方根是一个正数,负数的
n次方根是一个负数.此时,
a

n
次方根用符号
n
a< br>表示.式子
n
a
叫做根式(radical),这里
n
叫做根 指数(radical exponent),
a
叫做被开方数(radicand).
n
是偶数时,正数的
n
次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正 数
a
的正的
n

方根用符号
n
a
表示,负 的
n
次方根用符号-
n
a
表示.正的
n
次方根与负 的
n
次方根可
以合并成±
n
a

a
>0) .由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
n
0?0

?
a(a?0)
n
n
n
n
nn
注意:当是奇数时,
a?a
,当是偶数时,
a?|a|?
?

?a(a?0)
?
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定: a
m
n
?a(a?0,m,n?N,n?1)

a
n< br>m*
?
m
n
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指出:规定了分数指数幂的意义 后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那
么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数 指数幂.
3.实数指数幂的运算性质
rsrs
rrr?s
(a)?aaa?a
(1)·(2)
(a?0,r,s?R)

(a?0,r,s? R)

rrs
(ab)?aa
(a?0,r,s?R)
. (3)
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数(exponential
function),其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.


2、指数函数的图象和性质
a>1 0
图象特征

函数性质

向x、y轴正负方向无限延伸
图象关于原点和y轴不对称
函数图象都在x轴上方
函数图象都过定点(0,1)
自左向右看,
图象逐渐上升
在第一象限内
的图象纵坐标
都大于1
在第二象限内
的图象纵坐标
都小于1
自左向右看,
图象逐渐下降
在第一象限内
的图象纵坐标
都小于1
在第二象限内
的图象纵坐标
都大于1



函数的定义域为R
非奇非偶函数
函数的值域为R
+

增函数 减函数


函数值开始增
图象上升趋势
是越来越陡
图象上升趋势
是越来越缓
长较慢,到了
某一值后增长
速度极快;
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
函数值开始减
小极快,到了
某一值后减小
速度较慢;
(1)在[a ,b]上,
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域是
[f(a), f(b)]

[f(b),f(a)]

(2)若
x?0
,则
f(x)?1

f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R

(3)对于指数函数
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
,总有
f(1)?a


(4)当
a?1
时,若
x
1
?x
2
,则
f(x
1
)?f(x
2)

二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果a
x
?N
(a?0,a?1)
,那么数
x
叫做以

a
为底
..
N
的对数,
记作:
x?loga
N

a
— 底数,
N
— 真数,
log
a
N
— 对数式)
1
注意底数的限制
a?0
,且
a?1
; 说明:○
2

a
x
?N?log
a
N?x
; ○
3
注意对数的书写格式. ○
1
常用对数:以10为底的对数
lgN
; 两个重要对数:○
2
自然对数:以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
. ○
对数式与指数式的互化
对数式
?

对数底数 ←
指数式

a
→ 幂底数
对数 ←
x
→ 指数
真数 ←
N
→ 幂
(二)对数的运算性质
如果
a?0
,且
a?1

M?0

N?0
,那么:(1)
log
a
(M
·< br>N)?
log
a
M

log
a
N

(2)
log
a
M
(3)
log
a
Mn
?n
log
a
M

(n?R)

?
log
a
M

log
a
N

N
log
c
b
注意:换底公式
log
a
b?

a?0
,且
a?1

c?0
,且
c?1

b?0
).
log
c
a
利用换底公式推导下面的结论 (1)
log
a
m
b
n
?
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数
y?log
a
x(a?0
,且
a?1)
叫做对数函数,其中
x
是自变量,
函数的定义域是(0,+∞).
1
对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 注意:○
1
n
(2)
log
a
b?

l og
a
b

log
b
a
m


如:
y?2log
2
x

y?log
5
x
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
5
2
对数函数对底数的限制:
(a?0
,且
a?1)
. ○
2、对数函数的性质:
a>1 0
图象特征

函数性质

函数图象都在y轴右侧
图象关于原点和y轴不对称
向y轴正负方向无限延伸
函数图象都过定点(1,0)
自左向右看,
图象逐渐上升
第一象限的图象
纵坐标都大于0
自左向右看,
图象逐渐下降
第一象限的图象纵
坐标都大于0


函数的定义域为(0,+∞)
非奇非偶函数
函数的值域为R
增函

减函数

第二象限的图象
纵坐标都小于0
三、幂函数
第二象限的图象纵
坐标都小于0

1、幂函数定义 :一般地,形如
y?x
?
(a?R)
的函数称为幂函数,其中
?为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2)
?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0,??)
上是增函数.特 别地,当
?
?1
时,幂函数的图象下凸;当
0?
?
?1时,幂函数的图象上凸;


(3)
?
?0
时,幂函数的图 象在区间
(0,??)
上是减函数.在第一象限内,当
x
从右边趋
向原点时,图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴,当
x
趋 于
??
时, 图象在
x
轴上方
无限地逼近
x
轴正半轴.
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数
y?f(x )(x?D)
,把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义:函数
y? f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根,亦即函数
y?f(x)

图象与
x
轴交点的横坐标。即:
方程
f(x)?0
有 实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点.
3、函数零点的求法:
求函数
y?f(x)
的零点:
1
(代数法)求方程
f(x)?0
的实数根; ○
2
(几何法)对于不能用求 根公式的方程,可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来,○
并利用函数的性质找 出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)

1)△>0 ,方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根,二次函数的图象与
x< br>轴有两个交点,
二次函数有两个零点.
2)△=0,方程
ax
2?bx?c?0
有两相等实根(二重根),二次函数的图象与
x
轴有
一个 交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0,方程
ax
2
?b x?c?0
无实根,二次函数的图象与
x
轴无交点,二次函数无
零点.
高中数学必修2知识点总结


第一章 立体几何初步
1、特殊几何 体表面积公式(
c
为底面周长,
h
为高,
h
'
为斜 高,
l
为母线)
2、柱体、锥体、台体的体积公式
3球体的表面积和体积公式:
V

=
4
?
R
3
; S
球面
=
4
?
R
2

3
第二章 直线与平面的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义:平面是无限延展的
2 三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
符号表示为
A∈
l

B∈
l
=>
l?
?

A∈
?

B∈
?

公理1作用:判断直线是否在平面内.
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
符号表示为:A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α,
使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用:确定一个平面的依据。
α
·

C
·

·

A B
A
α
·

L
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直
β
线。
符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且P∈L
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据.
空间中直线与直线之间的位置关系
α
·

L
P


1 空间的两条直线有如下三种关系:

共面直线


相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。
2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
4 注意点:
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为了简便,点O
=>a∥c
?
2
② 两条异面直线所成的角θ∈(0, );
一般取在两直线中的一条上;
③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
— 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点
(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行 —— 没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
.直线、平面平行的判定及其性质
直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此


平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。
符号表示:
a α
b β => a∥α
a∥b
平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平 面平行,则这两个平面平
行。
符号表示:
a
β
b
β
a

b
=
p
β∥
?

a

?

b

?

2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
— 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个 平面平行,则过这条直线的任一平面与此平
面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:
a ∥α
a β a∥b
α∩β= b


作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线
平行。
符号表示:
?

?

?
∩γ=
a

a

b

?
∩γ=
b

作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
直线、平面垂直的判定及其性质
直线与平面垂直的判定
1、定义:如果直线L与平 面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,
记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂 线,平面α叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂直
时,它们唯一公共点P叫做垂足。
P
a
L
2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与
此平面垂直。
注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β


3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
— 直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平
面垂直。
第三章 直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地, 当直线与x轴平行或
重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180 °
(2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的 斜率。直线的斜率常用
k
表示。即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴 的倾斜程度。
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

?
?0
?
,90
?
?
时,
k?0
; 当
??
?
90
?
,180
?
?
时,
k?0
; 当
?
?90
?
时,
k
不存在。
② 过两点的直线的斜率公式:
k?
y
2
?y
1
(x
1
?x
2
)
( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2)
x
2
?x
1
?
注意下面四点:(1)当
x
1
?x
2
时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)k与P
1
、P
2
的顺序无关;
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程
①点 斜式:
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率k,且过点?
x
1
,y
1
?

注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y
1

当直线的 斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上


每一点的横 坐标都等于x
1
,所以它的方程是x=x
1

②斜截式:
y?kx?b
,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
③两点 式:
y?y
1
x?x
1

x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)直线两点
?
x
1,y
1
?

?
x
2
,y
2
?

?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
④截矩式:
?
x
a
y
?1
其中直线
l

x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l

x
轴、
y
轴的截距
b
分别为
a,b

⑤一般式:
Ax?By?C?0
(A,B不全为0)
1
各式的适用范围 ○
2
特殊的方程如: 注意:○
平行于x轴的直线:
y?b
(b为常数); 平行于y轴的直线:
x?a
(a为常数);
(4)两直线平行与垂直

l
1
:y?k
1
x?b
1

l
2
:y?k
2
x?b
2
时,
l
1
l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
(5)两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1y?C
1
?0

l
2
:A
2
x?B< br>2
y?C
2
?0
相交
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
; 方程组有无数解
?
l
1

l
2
重合
Bx
2
,y
2

(6)两点间距离公式:设
A(x
1< br>,y
1
),(
是平面直角坐标系中的两个点,

|AB|? (x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

(7)点到直线距离公式:一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C ?0
的距离
d?
(8)两平行直线距离公式
已知两条平行线直线
l
1

l
2
的一般式方程为
l
1

Ax?By?C
1
?0

Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2


l
2

Ax?By?C
2
?0
,则
l
1

l< br>2
的距离为
d?
C
1
?C
2
A?B
22

第四章 圆与方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合 叫圆,定点为圆心,定长为圆的半
径。
2、圆的方程
(1)标准方程
?< br>x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
,圆 心
?
a,b
?
,半径为r;
22

M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)2
?r
2
的位置关系:

(x
0
?a)2
?(y
0
?b)
2
>
r
2
,点在圆 外

(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)< br>2
=
r
2
,点在圆上

(x
0
? a)
2
?(y
0
?b)
2
<
r
2
,点在圆内
(2)一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

1
DE
?
,半径为当
D
2
?E
2
?4F?0
时,方程表示圆,此时圆心为
?
r?
?
?,?
?
?
22
?
2
D
2
?E
2
?4F< br>

D
2
?E
2
?4F?0
时,表示一个点; < br>当
D
2
?E
2
?4F?0
时,方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:
( 1)设直线
l:Ax?By?C?0
,圆
C:
?
x?a
?< br>2
?
?
y?b
?
2
?r
2
,圆心< br>C
?
a,b
?
到l的距离为
d?
Aa?Bb?CA?B
22
,则有
d?r?l与C相离

d?r?l与C相切< br>;
d?r?l与C相交


(2)过圆外一点的切线:①k不存在,验 证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该
直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】


(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
,圆上一点为(x
0

y
0
) ,则过此点的切线方程
为(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)( y-b)= r
2

4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
2
?< br>?
y?b
1
?
2
?r
2

C
2
:
?
x?a
2
?
2
?
?
y? b
2
?
2
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
①当
d?R?r
时两圆外离,此时有公切线四条;
②当
d?R?r
时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
③当
R?r?d?R?r
时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;
④当
d?R?r
时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
⑤当
d?R?r
时,两圆内含; 当
d?0
时,为同心圆。
注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

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