高中数学奥林匹克竞赛介绍

数学竞赛是发现人才的有效手段之一。一些重大数学竞赛的 优胜者，
大多在他们后来的事业中卓有建树。因此，世界发达国家都十分重视数学竞赛
活动。十 余年来，我国中学数学竞赛活动蓬勃发展，其影响越来越大，特别是
我国中学生在影响最大、水平最高的 国际数学奥林匹克竞赛中，多次荣登榜首，
成绩令世人瞩目，充分显示了中华民族的聪明才智和数学才能 。
了解国际赛史，熟悉国内赛况，认识数赛意义是必要的，也是有益的。
国际赛史 [top]
在世界上，以数为内容的竞赛有着悠久的历史：古希腊时就有解几何难题
的比赛 ；我国战国时期齐威王与大将田忌的赛马，实是一种对策论思想的比赛；
到了16、17世纪，不少数学 家喜欢提出一些问题向其他数学家挑战，有时还
举行一些公开的比赛，方程的几次公开比赛，赛题中就有 最著名的费尔玛大定
理：在整数n≥3时，方程

没有正整数解；……
近代 的数学竞赛，仍然是解题的竞赛，但主要在学生（尤其是高中生）之
间进行。目的是为了发现与培育人才 。
现代意义上的数学竞赛是从匈牙利开始的。1894年，为纪念数理学会主席
埃沃斯荣任教 育大臣，数理学会通过一项决议：举行以埃沃斯命名的，由高中
学生参加的数学竞赛，每年十月举行，每 次出三题，限4小时完成，允许使用
任何参考书，试题以奥妙而奇特的形式见长，一般都有富创造特点的 简明解答。
在埃沃斯的领导下，这一数学竞赛对匈牙利的数学发展起了很大的作用，许多
卓有成 就的数学家、科学家是历届埃沃斯竞赛的优胜者，如1897年弗叶尔、
1898年冯卡门等。
受到匈牙利的影响，数学竞赛在东欧各国蓬勃开展：1902年罗马尼亚，1934
年前苏联，194 9年保加利亚，1950年波兰，1951年前捷克斯洛伐克，……相
继进行了数学竞赛。
把 中学生的数学竞赛命名为“数学奥林匹克”的是前苏联，采用这一名称

的原因是数学竞赛 与体育竞赛有着许多相似之处，两者都崇尚奥林匹克精神。
竞赛的成果使人们意外地发现，数学竞赛的强 国往往也是体育竞赛的强国，这
给了人们一定的启示。
1934年在列宁格勒，1935年在 莫斯科，有关的国立大学分别组织了地区性
的数学竞赛，并称之为“中学数学奥林匹克”。当时，莫斯科 的著名数学家都
参加了这一工作。前苏联的数学奥林匹克分为五级：学校奥林匹克，县奥林匹
克 ，地区奥林匹克，共和国奥林匹克，全国奥林匹克，再选出参加国际数学奥
林匹克的六名代表。
对国际间组织数学竞赛最热心的是罗马尼亚的教授罗曼。经过他的积级策
划，1959年7月，第一届 国际数学奥林匹克（简称IMO）在罗马尼亚古都布拉
索举行，拉开了国际数学竞赛的帷幕。当时参加竞 赛的学生共52名，分别来
自东欧的罗马尼亚、保加利亚、匈牙利、波兰、前捷克斯洛伐克、前德意志民
主共和国和前苏联等7个国家。每个国家有8名队员，前苏联只派了4名队员。
以后（除198 0年由于东道主蒙古经费困难而暂停）每年举行一次，到1990年
在我国举办第31届时，已发展到5 4个国家和地区的308名选手。到1995年
在加拿大举办第36届时，双增加到73个国家和地区， 400多名选手。
IMO的运转方式已经制度化，其竞赛章程规定：
(1)一年一度的IM O的东道国由参赛国（或地区）轮流担任，所需经费由东
道国负担，整个活动由东道国出任主席，由各国 领队组成的主试委员会主持，
试题和解答由参赛国提供，每国3~5题（也可不提供），东道国不提供试 题，
而由东道国组成选题委员会，对各国提供的试题进行评议与初选，主要考虑试
题是否与以往 的试题重复，并把试题按代数、数论、几何、组合数学、组合几
何等分类，确定试题难度（A、B、C三 级），选择30题左右。如果这些题有新
解法的话，还要求提供原解法以外的解答，译成英文供主试委员 选用。
(2)每个参赛团组织一个参赛队，成员不超过8人，其中队员不超过6人（是
中学或 同等级学校学生），正、副领队各1人，考试分两天两试，每试3题，
每试4.5 小时，每题7分，所以每个选手的最高得分是42分。

(3)IMO的官方用语为英、 法、德、俄语，而参赛国大约需要26种文字，届
时由各领队把试卷译成本国语言，并经协调委员会认可 。度卷先由各国的正、
副领队评判，再与协调委员会协商（每个协调员负责一个试题的评分），如有分歧，由主试委员会仲裁，协商工作是在信任与友好的气氛中进行的。
(4)IMO的获奖人数约 占参赛人数的一半，评奖根据分数段评出一、二、三
等奖获得者，其比例平均为1:2:3。此外，主试 委员会还可因在某个
试题上作出了非常漂亮(指思路简捷巧妙，有独创性)或在数学上有意
义的 解答的学生给予特别奖。
为避免再次出现1980年那样的中断，IMO设立一个专门的委员 会
(有的译为场所委员会)负责确定各届的东道主。1991—2001年的东道
主已经过协商 基本上排妥。
按IMO的规定，每一届的东道主必须向上一届的所有参赛国发出
邀请 ，而新参加的国家则应当向东道主表明参加的意愿，再由东道主发出邀请。
东欧外的国家中 ，第一个加入的是芬兰(1965年第7届)，接着法国、英国、
意大利、瑞典、荷兰等也都在60年代 陆续加
入。1974年，美国、越南加入。此后，参加国逐年增加，并遍布欧、
美、亚、非及 大洋洲，IMO才成为名副其实的全球性的数学大赛。
1988年第29届，根据香港的建议 ，IMO首次设立了荣誉奖，奖给
那些虽然未得金、银、铜牌，但至少有一道题得满分的选手。这一措< br>施，大大调动了各参赛国及其参赛选手的积极性。
IMO的精神就是奥林匹克精神：“ 重要的不在于取胜，而在于参加。”
据此，自1983年第24届以来，虽然每一个代表队(6个人为组 员)都计
算自己的总分，且知道按总分的顺序排在多少名，但组织委员会不向
团体优胜者颁奖， 因为IM()只是个人的竞赛，不是团体的竞赛。
1981年第22届，美国是IMO的东道 主。美国数学奥林匹克委员会
主席格雷策发信邀请我国参加，中国数学会复信同意参加，后因故未

能成行，只派了当时在美的访问学者作为观察员参加了。
到了1984年， 在宁波召开的中国数学会首次普及工作会议上，确定1985年
派两名选手参加第26届IMO，以了解 情况、取得经验。由于选拔时间仓促，
只指派了北京、上海各1名优秀学生参加。结果有1人得三等奖， 两人平均成
绩与以色列第17位，两人总分则排在32位。1986年起，我国均派6名选手参
赛。
我国选手的辉煌成绩，极大地激发了千百万中学生学习科学文化知
识的热情，也极大地 增强了中国人的民族自豪感。
国内赛况 [top]
我国的数学竞赛起步不算晚。解放后 ，在华罗庚教授等老一辈数学家的倡
导下，从1956年起，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福 建、天津、
南京、武汉、成都等省、市都恢复了中学数学竞赛，并举办了由京、津、沪、
粤、川 、辽、皖合办的高中数学联赛；1979年，我国大陆上的29个省、市、
自治区全部举办了中学数学竞 赛。此后，全国各地开展数学竞赛的热情有了空
前的高涨。1980年，在大连召开的第一届全国数学普 及工作会议上，确定将数
学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年10
月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。同时，我国数学界也
在积极准备派出选 手参加国际数学奥林匹克的角逐。1985年，开始举办全国初
中数学联赛；1986年，开始举办“华 罗庚金杯”少年数学邀请赛；1991年，
开始举办全国小学数学联赛。
现在．我国的高 中数学竞赛分三级：每年10月中旬的全国联赛；次年一月的
CMO(冬令营)；次年三月开始的国家集 训队的训练与选拔。
对我国中学影响较大的还有美国中学生数学竞赛。该赛也分三轮进行：美国
中学数学竞赛(AHSME)，考试形式是30道选择题，要求90分钟内完成；美国
数学邀请 赛(AIMS)，考15道空题，答案均为不超过999的正整数，要求3个
小时内完成；国数学奥林匹 克(USAMO)，这是美国国内水平最高的数学赛活动，
每次考5道题，3．5小时内完成。

为使我国的数学竞赛活动能广泛而有序、深入而持久地开做好各级各类数学
竞赛的培训选拔工作，国内采取了一系列有效措施。首先是创造数学竞赛的良
好场景；中小学组织各年 的教学兴趣小组活动，做到定时间、定地点、定辅导
教师、定辅内容；对一些数学“苗子”开办数学奥林 匹克业余学校，有计划给
以强化性的辅导与培训。其次是增强数学竞赛的辅导力量；各级数学奥林匹克< br>教练员队伍，不断提高这支队伍的辅导与教练素质。再次是优化数学竞赛的辅
导体系；编写与出版 基础性的数学竞赛培训教材或辅导读物，收集与整理国内
外数学竞赛资料，研究与提炼数学竞赛题的解题 思想方法及技能技巧，健全与
完善数学竞赛的选拔机制及辅导方式。
“全国小学数 学奥林匹克”(创办于1991年)，它是一个“普及型、大众化”
的活动，分为初赛(每年3月)、 夏令营（每年暑期)。
“全国初中数学联赛”(创办于1984年)，采用“轮流做东” 的形式由各
省、市、自治区数学竞赛组织机构具体承办，每年4月举行，分为一试和二试。
“全国高中数学联赛”(创办于1981年)，承办方式与初中联赛相同，每
年10月举行,分为一试和 二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学
生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹 克(CMO)暨全国中学生数
学冬令营“(每年元月)。
在“普及的基础上不断 提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未
艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得 了可喜的成绩，使广
大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入一个
新的阶段，为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中
学师生和各级数学奥林匹 克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当
前形势的需要。
本大纲 是在国家教委制定的“全日制中学数学教学大纲”的精神和基
础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏 中指出；“要培养学生对数学的兴
趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。具体作法是：“ 对学有
余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学
才能”，“ 要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力

和空间想象能力，要使 学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、
类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的 独立思考和自学的能力”。
《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在< br>竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握
的熟练程度，有更高 的要求。而“课堂教学。为主，课外活动为辅”是必须遵
循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授的内容 必须充分考虑学生的实际情况，
分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这 样才
能加强基础，不断提高。
— 试
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全 按照全日制中学《数学教学大纲》
中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法 的要求
上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
二 试
1．平面几何
基本要求：掌握初中竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点。到三角
形三顶点距离的平
方和最小的点——重心。三角形内到三边距离之积最大的点——重心。
几何不等式。
简单的等周问题。了解下述定理：

在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长一定的筒单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法*。
平面凸集、凸包及应用。
2．代 数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。
n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合。简单的组合恒等式。
一元n次方程(多项式)根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对
定理。
简 单的初等数论问题，除初中大纲中斯包括的内容外，还应包括无穷递降

法，同余，欧几里
得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数[x]，费马小定理，欧拉函数*，
孙子定理*，格点 及其质。
3．立体几何
多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
4.平面解析几何
直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线和法线。
因的幂和根轴。
5．其 它
抽屉原理。 容斥原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。
注：全国高中数学联赛的二试命题的基本原则是向国际数学奥林匹克靠
拢，总的精神是比高中
数学大纲的要求略有提高，在知识方面略有扩展，适当增加一些课堂上没有的
内容作为课外活动

或奥校的讲授内容。
对教师和教练员的要求是逐步地掌握以上所列内容，并根据学生的具体情
况适当地讲授。
有*号的内容二试中暂不考，但在冬令营中可能考。