2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(212)

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2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（212）
















______年______月______日


____________________部门







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第一试

一、填空题

1.已知圆心均在直线上的两圆交于A、B两点，，则点B的坐标
为 。
y?1?x
O
1
、O
2
A(?7,9)

?
x2?y2?x?2y?0,
?
2.方程组的实数解为 。
?
2xy?2x?y?4?0
①
②
(x,y)

3.已知点集，数集，则集合M中最大元素与最小元素之和
为 。
??(x,y)x?1?y?2?3
M?
?
x?2y(x,y)??
?
??

4.当为正整数时，函数满足。则= 。
n
f
f(n?3)?
f(n)?1
,f(1)?0,且f(1)? ?1
f(1)f(2023)

f(n)?1
5.在直角坐标系中，有50条 不同抛物线和另50条不同抛物线，这100
2
条抛物线把坐标平面最多分成 个部 分。
xOy
y?ax?bx?c
x?a
1
y
2
?b
1
y?c
1

6.已知三内角成等差数列的三角形的最长、最短两边 之差为第三边上
的最高的4倍，则最大内角比最小内角大 （用反三角函数表
示）。

7.滨螺最初位于点（0，1），每天其从点爬到点（2，1），则第20xx
天其位于 。
(x,y)

8.如图1，P为内一点，的周长、面积分别为，点P到AB、BC、 CA的
垂线段分别为PD、PE、PF，且，则P为的“五心”中的 心。
ABBCC Al
2
???
?ABC?ABCl、s
PDPEPF2s
?ABC< br>

2 3

二、解答题

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f(x)?4sinx?sinx?4sinx?8

x
9.已 知为实数，求函数的值域。
10.已知过点，且与及直线均相切。求的半径。
P
A(3 ,1)

11.设20xx个实数满足。求这20xx个实数中任意两个实数之积的最小
值可能达到的最大值。

加试

一、如图2，O为梯形ABCD的对角线交 点，ABCD，P为腰AD上一点，
111
??
且.证明：.
?APB??C PD
ABCDOP

二、已知为两个不相等的正数，证明：关于的方程只有唯一的正数 解。
11
??
(a?b)x?ab
?(a
3
?b
3
)
?3
a、b
x
16x?4(a?b)

三、求所 有三元正整数数组，使得满足。
(a,b,c)
a、b、c
(a!)(b!)?a!? b!?c!

四、国际数学奥林匹克主试委员会有个国家参加，每个国家由领队和
副领 队两人参加，会前与会者互相握手，但邻队不与本国的副邻队握
手，会后主办国的领队询问与会者握手的 次数，所有人的回答却各不
m
2
?n
2
?n?49
m、n< br>
相同，主办国的副领队握手次，求实数的值。
n
50


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