【高中教育】2020高中数学奥林匹克竞赛训练题(186)

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【高中教育】2020高中数学奥林匹克竞赛训练题（186）

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【20xx精选】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（186）
（无答案）



第一试

一、
填空题（每小题8分，共64分）

22
?
、
?
?
?
?
(cos
?
?cos
?
)(1?tan
?
gtan
?
)?2
1 .
设锐角满足，且。则。
?
?
?
?

2.
等差数列满足，且。则 。
?
a
n
?
a
1
?a
2
?L?a
14
?77a
1
、a
11
?Z
+
a
18
?

若点对椭圆与双曲线的切点弦互相垂直， 则。
P(x
0
,y
0
)
3.
y
0
x
2
y
2
22
?
E:?y?1H:x??1
x< br>0

44
4.
设的面积为1，边的中点分别为，为线段上的动点。则 的最小值为。
r
uuuruuur
uuuu
2
?ABCAB、ACE 、F
PEF
f?PB
g
PC?BC

5.
设函数 的图像关于直线对称。则对满足的任意实数的最小值
1
x?
2
为。
f (x)?xlog
2
x?(a?x)log
2
(a?x)
?
x
i?1
4
i
?1
x
i
?(0,1)(1?i?4 ),s?
?
x
i
log
2
x
i
i?14

6.
?
1
?
?
1?
?
满足的整数。
?
n
?
n?1
1
??
?
?< br>1?
?
?
2014
?
2014
n?

?
2
?
5
?z?min
?
x,y
?
,< br>?
4
?
?
xz?,
15
?
1
?yz?,
x、y、z?0
?
5
?
7.
若满足则的最大值 为。

2 4

121
??
xyz

f?
8.
将六元数组重排为 与。则的最小值为。
(1,2,3,4,5,6)
P?
?
ia
ib
i
i?1
6
A?(a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
,a
6
)B?(b
1
,b
2
,b
3
,b
4
,b
5
,b
6
)

二、解答题（共56分）

1
??1
??
1?1?
L
???
2
?
n?Z
3
??
3
?
?
?
9。（16分）对任意的，证明：。
1
?
1
?
1??
?
n
?
?
3< br>?
2

10。（20分）定义在上的函数满足：（i）对任意的实数有；（ii ）；
（iii）在区间上为增函数。
R
f(x)
x、y
f(x?y? 1)?f(x?y?1)?f(x)f(y)
f(1)?2f(x)
?
0,1
?

（1）
求的值；
f(0)、f(?1)、f(2)

（2）
解不等式。
f(x)?1

11。（20分）已知一个等差数 列的第一项小于0，第100项不小于74，
第200项小于200，且该等差数列属于区间的项数比属 于区间的项数
?
1
??
49
?
?
,5
?< br>?
20,
?
少2。求该等差数列的通项公式。
?
2
? ?
2
?

加 试

一、
（40分）如图1， 设分别为的内点，且，。证明：
L、M、N?ABC
?BAC、?CBA、?ACB
? CBA??ACL,?LBA??LAC,?CBM??BAM,?MCB??MBA
?ACN??CB N,?NAC??NCB

（1）
AL、BM、CN
三线交于一点；
P


3 4

（2）
L、M、N、P
四点共圆。

二、（40分）设，记。求集合。

xyz
三、（50分）求所有正整数数组 满足。
(x,y,z)
5?12?13

四、
(50分)一个简单图 中两两相邻的个顶点称为一个团，与其余每个
顶点均相邻的顶点称为中心点。给定整数及满足的整数，一 个阶简单
1
n?k?n
t
n?3k
n
Gk?1k
A
1
,A
2
,L,A
m

2
图中不存在团，其全部团记为。
（1）
证明：；

（2）
若在图中再添加一条边就存在团，求图的中心点个数的最小
值。


4 4