推荐2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(222)(无答案)

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题
（222）（无 答案）
第一试
一、填空题
1.用
?
x
?
表示 实数
x
的小数部分，已知
a?(52?7)
2017
，则
a
?
a
?
= 。
2.一个盒中有12件正品和3件 次品，每次不放回地取出一件产品，在取得正品前已取出的次
品数
?
的数学期望
E
?
= 。
3.函数
y?sin2x?2(sinx?cosx)
的最大值为 。
4.若数字
a
i
(i?1,2,…,9)
满足
a
9
?a
8
?…?a
5
且
a
5
?a
4
?…?a
1
，则九位正整数
a
9
a
8
…a
1
为一个“九位峰数”，例如134698752，那么，所有的九位峰数的个数为 。
5.已知方程
x
2017
?1
的2017个根为1，
x
1
,x
2
,…,x
2016
，则
?
201 6
1
= 。
1?x
k?1
k
6.已知
f(x)?ax
2
?2bx
，至少有一个正数
b
，使得f(x)
的定义域和值域相同，则满足条
件的实数
a
的值为 。
7.已知抛物线
y?4x
，其焦点为F，一条过焦点F、倾斜角为
??
0?
?
?
''
2
?
?
?
?
?
的直线与抛物线
2
?
''
交于A、B两点，AO（O为坐 标原点）与准线交于点
B
，BO与准线交于点
A
，则四边形
ABBA
的面积为 。
8.对一个边长互不相等的凸2017边形的边染色，每条边可 以染红、黄、蓝、紫四种颜色中的
一种，但不允许相邻的边同色，则共有 种不同的染色方法。


二、解答题
nn
?
????< br>11?51?5
?
?
?
?
(n?Z
?
)。记9.已知数列
?
a
n
?
的通项公式为
an?????
????
5
?
?
2
??
2
?< br>?
??
12n
Sn?C
n
a
1
?C
n
a
2
?…?C
n
a
n
，求所有的正整数
n
，使得
7S
n

10.已知集合
S?
?
1,2,…,13< br>?
，集合
A
1
,A
2
,…,A
K
为 S的子集，满足：
（1）
A
i
?6(i?1,2,…,k)
（2）
A
i






11. 如图1，已知直线
l
1
:y?2x?m(m?0)
与抛物线
C
1
:y?ax
2
(a?0)
和圆
A
j
?2(1? i?j?k)

C
2
:x
2
?(y?1)
2
?5
均相切，F为抛物线C
1
的焦点
（1）设A为抛物线C
1< br>上的一动点，以A为切点作抛物线C
1
的切线，与
y
轴交于点B，以F A、
FB为邻边作
FAMB
，证明：点M在一条定直线上；
（2）在（1） 条件下，记点M所在的定直线为
l
2
，直线
l
2
与
y
轴交于点N，MF与抛物线C
1
交
于P、Q两点,求
?NPQ的面积S的取值范围。