高中数学必修几本选修几本-教资高中数学2019
2011年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正
确答案，将正确答案的序号填入题干后
的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1. 已知
?
?[
5
?
3
?
,]
，则
1?sin2
?
?1?sin2
?
可化简为（ ）
42
A．
2sin
?
B.
?2sin
?
C.
?2cos
?
D.
2cos
?
2．如果复数
?
a?2i
??
1?i
?
的模为4，则实数a的值为（ ）
A. 2 B.
22
C.
?2
D.
?22
3. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：
x?A?B
，
命题q：
x?A
或
x?B
，则p
是q的（ ）
A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件
D. 非充分且非必要条件
x
2
?y
2
?1
的右焦点F
2
作倾斜角为
45
弦AB，则
AB
为（ ）
4. 过椭圆
2
A.
43
264642
B.
C. D.
3
333
442
。正确答案为C。
?A
B?2(x
1
?x
2
)
2
?
33
，则该函
数为（ ）
3x
2
?4x?0?x
1
?0,x
2
?
?
1?5
?x
5. 函数
f(x)?
?
x
?
5?1
x?0
x?0
A. 单调增加函数、奇函数
B. 单调递减函数、偶函数
C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数
6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）
2
2
2
2
2
2
3
1
1
正视图 侧视图
俯视图（圆和正方形）
A. 4+
5
?
3
?
?
B. 4+ C. 4+ D. 4+
?
22
2
7．某程序框图如右图所示，现将输出（
x,y)
值依
次记为：
(x
1
,y
1
),(x
2,y
2
),,(x
n
,y
n
),;
若程序运行
中
输出的一个数组是
(x,?10),
则数组中的
x?
（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
8. 在平面区域
(x,y)|x|?1,|y|?1
上恒有
ax?2by?
2
，则动点
P(a,b)
所形成平面区域
的面积为（ ）
A. 4 B.8 C. 16 D. 32
9. 已知函数
f(x)?sin(2x?
??
?
?
?
?
)?m
在
?
0,
?
上有两个零点，则m的取值范围为（ ）
6
?
2
?
?
1
?
2
?
?
?
1
?
2
?
?
A.
?
,
1
?
B
?
, 1
?
C.
?
, 1
?
D.
?
,
1
?
10. 已知
a?[?1,1]
，则
x
2<
br>?(a?4)x?4?2a?0
的解为（ ）
A.
x?3
或
x?2
B.
x?2
或
x?1
C.
x?3
或
x?1
D.
1?x?3
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）
11. 函数
f(x)?2sin
?
1
?
2
??
?
1
?
2
?
?
x
?3cosx的最小正周期为______ ____。
2
12. 已知等差数列
?
a
n
?
前15项的和
S
15
=30，则
a
1
?a
8
?a
15
=____ ______.
13.
向量
a?(1,sin
?
)
，
b?(cos
?
,3
)
，
?
?R
，则
a?b
的取值范围为 。
14. 直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
，底面
?ABC
是正三角形，P，E分别为
BB
1
，
CC<
br>1
上的动点
（含端点），D为BC边上的中点，且
PD?PE
。则直线
AP,PE
的夹角为_ _。
15．设
x,y
为实数，则
22
max(x?y)?
_____
________。
22
5x?4y?10x
16. 马路上有编号为1，2，3，
…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300
只灯，但不能同时关闭相邻两只，也
不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有___
______种。（用组合数符号表示）
17. 设
x,y,z
为整数，且
x?y?z?3,x?y?z?3
，则
x?y?z?
_ _。
18.
设
a?2
，求
y?(x?2)x
在
[a,
2]
上的最大值和最小值。
333222
19. 给定两个数列
?
x
n
?
，
?
y
n
?
满足
x
0
?y
0
?1
，
x
n
?
x
n?
1
(n?1)
，
2?x
n?1
2
y
n?1
y
n
?
(n?1)
。证明对于任意的自然数n，都存在自然数
j
n
，使得
y
n
?x
j
n
。
1?2y
n?1
x
2
y
2
20. 已知椭圆<
br>2
?
2
?1
，过其左焦点
F
1
作一条直线交
椭圆于A，B两点，D
(a,0)
为
F
1
54
右侧一点，连
AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过
F
求
a
的值。
1
，
2011
1. 已知数列
?
a
n
?
满足：
a
n?1
?
年河
北省高中数学竞赛试题
a
n?2
?a
n
,a
1
?
1,a
403
?2011,
则
a
5
的最大值为
.
2
一、填空题(本大题共8小题，每小题9分，满分72分)
2. 若
x,y
均为正整数，且
x
5
?y
5
的值恰好是由一个2，一
个0，两个1组成的四位数，则
满足条件的所有四位数是 .
3.
已知
a?b?c?1
,则
ab?bc?ac
的值域为 .
4. 标号1，2，…，13号共4种颜色的卡片共计52张，加上两张空白卡片，平均放入三个
不同的盒子，若某个盒子中有两张空白卡片，4张1，且2，3，…，13号卡片各一张，称
该盒是“
超级盒“。则出现超级盒的概率为 （列出算式即可）.
5. 已知
a
1
?1,a
2
?3,a
n?2
?(n?3)a
n?1
?(n?2)a
n
,
当
m?n
时，
a
m
的值都能被9整除，
则
n
的最小值为 .
6.
函数
f(x)?
为 .
7.
6名大学毕业生到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情
况的种数是
.
8. 已知
O
为坐标原点，
B(4,0),C(5,0),
过<
br>C
作
x
轴的垂线，
M
是这垂线上的动点，以
O
为
圆心，
OB
为半径作圆，
MT
1
,MT
2是圆的切线，则
?MT
1
T
2
垂心的轨迹方程
是
.
二、解答题(本大题共6小题，每题的解答均要求有推理过程，9、10、11、12小题各12分
，
13、14小题各15分，共78分)
9.
解不等式
x?
222
xx?1x?2x?2010
?????
的图像的对称中心
x?1x?2x?3x?2011
111
?x??.
x
2
x
2
x
22
10、如图，已知
A,B是圆
x?y?4
与
x
轴的两个交点，
P
为直线
l:x?4
上的动点。
PA,PB
与圆
x
2
?y
2
?4
的另一个交点分别为
M,N.
求证：直线
MN
过定点。
11、求证：
n?23
时，总有
2?1?
12、已知：<
br>f(x,y)?x
3
?y
3
?x
2
y?xy
2
?3(x
2
?y
2
?xy)?3(x?y)
,且
x,y?
1
2
3
?
1
3
3
?
?<
br>?
1
n
3
?3
成立。
1
,
求
2
f(x,y)
的最小值。
13、（1）
在
?ABC
中，
?BCA?90?
,则有
AC?BC?AB
，类比到三维空间中，你能
得到什么结论？请给出证明。
（2）在
?ABC
中，
?BCA?90?
，若点
C
到
AB
的距离为
h
,
?ABC
的内切圆半径为
r,
求
222
r
的最小值。
h
（3）推广（2）的结论到三维空间，并证明之。
1p
2
a?p
14. 已知数列
?
a
n
?
?
、b
n
?
满足：
a
1
?2p,a
n?1
?(a
n
?),b
n
?
n
(n?N
*,p?0).
2a
n
a
n
?p
（1）求数列
?
b
n
?
的通项；
（2）证明：n?1
a
n
?p
?3
2
?1;
a
n?1
?p
（3）设
S
n
是数列
?
a
n
?
的前
n
项和，当
n?2
时，S
n
与
(n?
请说明理由。
23
)p
的大小
关系是否确定？
18
2011年全国高中数学联赛广东省预赛
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．
1.
设数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,a
2?4,a
3
?9,a
n
?a
n?1
?a
n?2
?a
n?3
,n?4,5,...
，则
a
2011
?
.
2. 不等式
sin
2
x?acosx?a2
?1?cosx
对一切
x?R
成立，则实数a的取值范围
为
.
3. 已知定义在正整数集上的函数
f(n)
满足以下条件：(1)
f(m?n)?f(m)?f(n)?mn
，其中
m,n
为正整数；(2)
f(3)?
6
.
则
f(2011)?
.
4. 方程
x
?1?2?2011?2011
一共有
个解.
5. 设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体,
则该正方体的
棱长最大等于 .
6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线
y?
x
?
?2?x?2
?
绕y轴旋转而构成的.请问能
2
接触到
杯底的球的半径最大是 .
111
??...??_____
. 7.
计算：
sin45?sin46?sin46?sin47?sin89?sin90?
8.
10名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求
每种颜色的帽子都要有，且
相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽
子的方法共有 种.
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
111
??...?
9．
（本小题满分16分）
若
n
是
大于2的正整数，求的最小值.
n?1n?22n
10．
（本小题满分20分）在一条线段上随机独立地取两点，然后从这两点处把线段
分成三段.请问得到的三条新线段能构成三
角形的概率是多少？
11．
（本小题满分20分）
数列
a
0
,a
1
,...,a
n
,...
满足
a
0
?0,a
1
?1,a
2
?0
，当
n?3
时有a
n
?
2n
(a
0
?a
1
?...?
a
n?2
)
.
证明：对所有整数
n?3
，有
a
n
?
n?110
2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）
1．
复数
(1?i)
4
?(1?i)
4
?
．
2． 已知直线
x?my?1?0
是圆
C:x
2
?y<
br>2
?4x?4y?5?0
的一条对称轴，则实数
m?
.
3．
某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概
率
是
（结果用最简分数表示）．
4． 已知
cos4
?
?
1
4
4
，则
sin
?
?cos
?
?
．
5
π
，则以向量
2a?b
与
3a?b
表示的有
向线段
3
为邻边的平行四边形的面积为 ．
3
6． 设数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
．若{
S
n
}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{
a
n
}的前
n
项和等于 ．
5．
已知向量
a
，
b
满足
a?b?2,?a,b??
7． 设函
数
f(x)?x
2
?2
．若
f
(
a
)＝<
br>f
(
b
)，且0＜
a
＜
b
，则
ab
的取值范围是 ．
8． 设
f
(<
br>m
)为数列{
a
n
}中小于
m
的项的个数，其中a
n
?n
2
,n?N*
，
则
f[f(2011)]?
．
9．
一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角
形的斜边长是
．
10．已知
m
是正整数，且方程
2x?m10?x?m?10?0
有整数解，则
m
所有可能的值
是 ．
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11．已知圆
x
2
?y
2
?1
与抛物线
y?x
2
?h
有公
共点，求实数
h
的取值范围．
12．设
f(x)?x
2
?
bx?c(b,c?R)
．若
x≥2
时，
f(x)≥0
，且
f(x)
在区间
?
2,3
?
上的最大值
为
1，求
b
2
?c
2
的最大值和最小值．
13．如图，
P
是
ABC
内一点．
1
（1）若<
br>P
是
ABC
的内心，证明：
?BPC?90??BAC
； <
br>2
11
（2）若
?BPC?90??BAC
且
?APC?90
??ABC
，证明：
P
是
ABC
的内心．
22
14．已知
?
是实数，且存在正整数
n
0
，使得
n
0
?
?
为正有理数．
证明：存在无穷多个正整数
n
，使得
n?
?
为有理数．
2011年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答
案，将正确答案的序号填入题干后
的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1. 已知
?
?[
5
?
3
?
,]
，则
1?sin2
?
?1?sin2
?
可化简为（ ）
42
A．
2sin
?
B.
?2sin
?
C.
?2cos
?
D.
2cos
?
2．如果复数
?
a?2i
??
1?i
?
的模为4，则实数a的值为（ ）
B. 2 B.
22
C.
?2
D.
?22
3. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：
x?A?B
，
命题q：
x?A
或
x?B
，则p
是q的（ ）
A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件
D. 非充分且非必要条件
x
2
?y
2
?1
的右焦点F
2
作倾斜角为
45
弦AB，则
AB
为（ ）
4. 过椭圆
2
A.
43
264642
B. C. D.
3
333
442
。正确答案为C。
?AB?2(x
1?x
2
)
2
?
33
，则该函数为（ ） <
br>3x
2
?4x?0?x
1
?0,x
2
?
?<
br>1?5
?x
5. 函数
f(x)?
?
x
?
5
?1
x?0
x?0
B. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数
C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数
6.
设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）
2
2
2
2
2
2
3
1
1
正视图 侧视图
俯视图（圆和正方形）
A. 4+
5
?
3
?
?
B. 4+ C. 4+ D. 4+
?
22
2
7．某程序框图如右图所示，现将输出（
x,y)
值依 次记为：
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),,(x
n
,y
n
),;
若程序运行中
输出的一个数组是
(x,?10),
则数组中的
x?
（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
8. 在平面区域
(x,y)|x|?1,|y|?1
上恒有
ax?2by?
2
，则动点
P(a,b)
所形成平面区域
的面积为（ ）
A. 4 B.8 C. 16 D. 32
9. 已知函数
f(x)?sin(2x?
??
?
?
?
?
)?m
在
?
0,
?
上有两个零点，则m的取值范围为（ ）
6
?
2
?
?
1
?
2
?
?
?
1
?
2
?
?
A.
?
,
1
?
B
?
, 1
?
C.
?
, 1
?
D.
?
,
1
?
10.
已知
a?[?1,1]
，则
x?(a?4)x?4?2a?0
的解为（
）
A.
x?3
或
x?2
B.
x?2
或
x?1
C.
x?3
或
x?1
D.
1?x?3
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）
2
?
1
?
2
?
?
?
1
?
2
?
?
11.
函数
f(x)?2sin
x
?3cosx
的最小正周期为______
____。
2
12. 已知等差数列
?
a
n
?
前
15项的和
S
15
=30，则
a
1
?a
8
?a
15
=____ ______.
13. 向量
a?(1,sin?
)
，
b?(cos
?
,3)
，
?
?
R
，则
a?b
的取值范围为 。
14. 直三棱柱
ABC
?A
1
B
1
C
1
，底面
?ABC
是正三角
形，P，E分别为
BB
1
，
CC
1
上的动点
（含端
点），D为BC边上的中点，且
PD?PE
。则直线
AP,PE
的夹角为_
_。
15．设
x,y
为实数，则
22
max(x?y)?
_____
________。
22
5x?4y?10x
16. 马路上有编号为1，2，3，
…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300
只灯，但不能同时关闭相邻两只，也
不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有___
______种。（用组合数符号表示）
17. 设
x,y,z
为整数，且
x?y?z?3,x
3
?y
3
?z
3
?3
，则
x
2
?y
2
?z
2
?
_ _。
18.
设
a?2
，求
y?(x?2)x
在
[a,
2]
上的最大值和最小值。
19. 给定两个数列
?
x
n
?
，
?
y
n
?
满足
x
0
?y0
?1
，
x
n
?
x
n?1
(n?1)
，
2?x
n?1
2
y
n?1
y
n
?
(n?1)
。证明对于任意的自然数n，都存在自然数
j
n
，使得
y
n
?x
j
n
。
1?2y
n?1
x
2
y
2
20. 已知椭圆<
br>2
?
2
?1
，过其左焦点
F
1
作一条直线交
椭圆于A，B两点，D
(a,0)
为
F
1
54
右侧一点，连
AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过
F
求
a
的值。
1
，
2011年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第一试
一﹑填空题(每小题8分,共80分)
1.已知集合M={2,0,11},若
A?
M
,且A的元素中至少含有一个偶数,则满足条件的集合A
?
的个数为 .
a?b2
.若A+B=a-b,则ab的值是 .
,B?
11<
br>2
?
ab
1?sin
?
?cos
?
1?si
n
?
?cos
?
??2
的最大负角
?
的弧度数为
. 3.满足
1?sin
?
?cos
?
1?sin
?
?cos
?
x
2
y
2
2
4.设斜率为的直线l
与椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
交于不同的两点
P、Q,若点P、Q
2
ab
2.设a、b都是正实数,
A?