高中数学奥林匹克竞赛训练题(206)(无答案)

环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而 泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？ 太守自谓也。

高中数学奥林匹克竞赛训练题（206）（无答案）



第一试

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.已知正整数组成等比数列，且则的最大值为 。
a、b、c(a?b ?c)
log
2016
a?log
2016
b?log
20 16
c?3,
a?b?c

2.关于实数的方程的解集为 。
x
2
1?2sinx
?2?log
2
(1?sin
2
x)

2
3.曲线围成的封闭图形的面积为 。
x
2
?2y
2
?4y

4.对于所有满足的复数均有，对所有正整数，有，若 。
z?i
z
F(z)?
z?i
n
z
n
?F(z
n?1)z
0
?2016?i,则z
2016
?

z?i5.已知P为正方体棱AB上的一点，满足直线A1B与平面B1CP所成角
0
为，则二面 角的正切值为 。
ABCD?A
1
BC
11
D
1
60
A
1
?B
1
P?C

6.已知函数，
?
集合则
A= .
f(x)?2x2
?2x?4,g(x)?x
2
?x?2
A?
?
x?
f(x)
?Z
?
?

?
g(x)
?
7.在平面直角坐标系中，P为椭圆在第三象限内的动点，过点P引圆的
两条切线PA、PB， 切点分别为A、B，直线AB与轴、轴分别交于点M、
N，则面积的最小值为 。
x
2
y
2
??1
x
2
?y
2< br>?9
x
y
?OMN

xOy
2516
8.有 一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛
至于负者歌于途，行者休于树，前者呼， 后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然 而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。

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环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者， 琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。 作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？太守自谓也。

掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次 正面后出现一次反面，则游
戏停止；否则游戏继续进行，最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数
学期望为 。

二、解答题（共56分）

9. （16分）已知整数，实数，证明：，并说明是否可以取到等号。
n?2
x
1
?x
2
?…?x
n
?0，
?
x
i
?400 ,且
?
x
i
2
?10
4
i?1i?1
nn
x
1
?x
2
?10

223
10.定义数 列：。
?
a
n
?
a
0
?1,a
1
?2.1,
a
n?1
a
n?1
?2a
n?1
an
?a
n
(n?N
?
)

证明：对任意的非负整数，均有
k
1
?2.016

?i?0
a
i
k
11.在平面直角坐标系中，是以点A(-3,0)为圆心 、5为半径的圆，点
B(2，0)，证明：存在正常数c，使得对外任意一点X，有，并求c的
最大值。
xOy
AA
OX?2?cminBX,BX
?
2
?

求的最小值。
加试

一、已知为实
n
2
i
数
n?1
i?1
，
n
试
x
1
, x
2
,…,x
n
E(x
1
,x
2
,…,x
n
)?
?
x?
?
x
i
x
i?1< br>?
?
x
i

i?1i?1
二、如图1，已知四边形A BCD内接于圆，直线AB与CD交于点E，直
线AD与BC交于点F，线段BD、EF的中点分别为M 、N，证明：的平分
线、的平分线、直线MN三线共点。
?AED?AFB

三、已知P为大于3的素数，的标准分解式为，证明：。
(p?1)?1
q
1
q
2
…q
n
p
?
1
?
2
?
n
?
q
?
i
i?1
n
i
?p
2

四、设A、B为平面上两个点集，满足,且任意三点不共线，集合A和B
至于负者歌 于途，行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒， 泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧 哗者，众宾欢也。

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