高中奥林匹克数学竞赛-几何变换

竞赛专题――几何变换
【竞赛知识点拨】
一、 平移变换
1． 定义 设
PQ
是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形 F
上任一点
X
变到
X'
，使得
XX'?PQ
，则T 叫做沿有向线段
PQ
的平移变换。记为
(PQ)(PQ)
X?
T???X'
，图形
F?
T
???F'
。
2． 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三
角形，圆变为圆。两对应 点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。
二、 轴对称变换
1． 定义 设l
是一条给定的直线，
S
是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点
X
变到
X'
，使得
X
与
X'
关于直线
l< br>对称，则
S
叫做以
l
为对称轴的轴对称变换。记为
(l)(l )
X?
S
???X'
，图形
F?
S
???F' 。
2． 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。
三、 旋转变换
1． 定义 设?
是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O仍变到
O（不动点），而 把平面图形F上任一点
X
变到
X'
，使得
OX'?OX
，且
?XOX'?
?
，
(O,
?
)(O,
?
)
???X'
，
???F'
。则R叫做绕中心O，旋转角为
?
的旋转变换。记为
X?
R
图形
F?
R

其中?
?0
时，表示
?XOX'
的始边
OX
到终边
OX
?
的旋转方向为顺时针方向；
?
?0
时，
为逆时针方向 。
2． 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。
四、 位似变换
1． 定义 设O是一个定点，H是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点
X
变
到
X'
，使得
OX'?k?OX
，则H叫做以O为位似 中心，
k
为位似比的位似变换。记为
(O,k)(O,k)
X?
H< br>???X'
，图形
F?
H
???F'
。

其中
k?0
时，
X'
在射线
OX
上，此时的位似变换叫做外位似；
k?0
时,
X'
在射线
OX
的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。
2． 主要性质 在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到
一条线 上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于
位似比的绝对值，对应图 形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平
行，即一直线变为与它平行的直线；任何两 条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆
变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心 。
【竞赛例题剖析】
【例1】P是平行四边形
ABCD
内一点，且
?PAB??PCB
。
求证：
?PBA??PDA





( AD)
【分析】作变换?ABP?
T
????DCP
则?ABP??DCP, ?1??5,?3??6;由PP'?AD?BC,ADPP'、PP'CB都是平行四边形，
知?2? ?8,?4??7;由已知?1??2,得?5??8;
?P、D、P'、C四点共圆。故?6＝?7， 即?3＝?4





【例2】“风平三角形”中，AA'?BB'?CC'?2,?AOB'??BOC'?60?

求证：
S

?AOB'
?S
?BOC'
?S
?COA'
?3
(A'A)(BB')
【分析】作变换?A'OC?
T????AQR',?BOC'?
T
????B'PR''，则R'和R''重合，
记为R?R'?R'';?P、R、Q共线，O、A、Q共线，O、B'、P共线，?OPQ为等边
三 角形



S
?AOB'
?S
?BOC'
?S
?COA'
?3
【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求 周长最小的四边形。
(EF)
【分析】取AC、BD的中点E、F，令AC?
T???A'C'，则A'BC'D是一个符合条件的
平行四边形；延长AF、CC'交于G；
?E是AC的中点且EFCC'，FC'EC,?F、C'分别为AG、CG的中点；
?AD?BC? BG?BC?2BC'?A'D?BC'
同理可得AB?DC?A'B?DC
故当四边形为平行 四边形时，周长最小；
【评注】当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或 题目
中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。

【例4】 P圆o的弦AB的中点，过P点引圆o的两弦CD、EF，连接DE交AB于M，连接
CF交AB于N； 求证:MP?NP。

(GH)
【分析】设GH为过P的直径，F?
S
???F',显然 F'?圆o；又?P?GH，?PF'?PF
(GH)(GH)
?PF?
S
? ??PF'，PA?
S
???PB，??FPN??F'PM，PF?PF'
又?FF '?GH,AB?GH，?FF'AB；
??F'PM??MDF'??FPN??EDF'??EFF '??EDF'?180?
?P、M、D、F'四点共圆
??PF'M??PDE??PEN? ?PFN??PF'M?PN?PM

【评注】一般结论为：已知半径R的圆o内一弦AB上的 一点P，过P作两条相交弦
CD、EF，连接CF、ED交AB于M、N，已知OP?r，P到AB中点 的距离为a,则

|
112a
?|?
2
,(解析法证明：利 用二次曲线系知识)
2
PMPN
R?r

【例5】圆o是给定锐角?AC B内一个定圆，试在圆o及射线CA、CB上各求一点P、Q、
R，使得?PQR的周长最小；









(CA)(C B)
【分析】在圆o上任取一点P
0
，令P
0
?
S
???P
1
,P
0
?
S
???P
2
，连接 P
1
P
2
分别交CA、CB于
Q
1
、R
1
，显然?P
0
Q
1
R
1
是在取定P
0的情况下周长最小的三角形；
设P
0
P
1
交CA于E，P
0
P
2
交CB于F，则P
0
Q
1
?Q
1
R
1
?R
1
P
0
?P
1
P
2
?2EF
?E、C、F、P
0
四点共圆，CP
0
是该圆 直径，由正弦定理，EF＝CP
0
sin?ECF;
?当CP
0
取最 小值时，EF为最小，从而?P
0
Q
1
R
1
的周长为最小， 于是有做法：
(CA)(CB)
连接OC，交圆周于P，令P?
S
???P< br>1
,P?
S
???P
2
，连接P
1
P
2
分别交CA、CB于Q、R
则P、Q、R为所求的三角形的三个顶点。

【例6】?ABC中，?A?90?，AD?BC于D，?PQR是它的任一内接三角形，
求证：PQ ?QR?RP?2AD




(AB)(AC)

【分析】设P?
S
???P',P?
S
???P'',则RP?RP',P Q?P''Q,AP?AP'?AP''

?PQ?QR?RP?P''Q?QR?RP'又??A?90?,??P'AP??P''AP?2?A?180?,A点在线段P'P''上或在凸四边 形
?P''Q?QR?RP'?AP'?AP''?2AP?2AD

P'RQP''的内部；
?PQ?QR?RP?2AD

< br>【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以
将图形或其 部分进行轴对称变换。此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，
以便于比较它们之间的大小 。

【例7】以?ABC的边AB、AC为斜边分别向外作等腰直角三角形APB、AQC， M是BC
的中点，求证：MP?MQ，MP?MQ;





【分析】延长BP到E，使PE?BP，延长CQ到F，使QF＝CQ，

则?BAE、?CAF都是等腰三角形，
R(A,90?)R(A,90?)
显然：E???? ?B,C?????F,?EC?BF,EC?BF;

11
而PMEC,MQBF,?MP?MQ且MP?MQ；

22

【例8】已知O是?ABC内一点，?AOB??BOC??COA?120?,P是?ABC内任意一 点，
求证：PA?PB?PC?OA?OB?OC;(O为费马点)




(B,?60?)(B,?60?)(B,?60?)

【分析】将C?< br>R
????C',O?
R
????O',P?
R
????P' ,连接OO'、PP'；

则?BOO'、?BPP’都是正三角形
?OO'?OB， PP'＝PB，
由于?BO'C'??BOC?120??180???BO'O；
?A、O、 O'、C'四点共线，

显然?BO'C??BOC，?BP'C'??BPC


?AP?PP'?P'C'?AC'?AO?OO'?O'C'
即：PA?PB?P C?OA?OB?OC

9】圆O与?ABC的三边BC、CA、AB分别交于点A
1
、A
2
、B< br>1
、B
2
、C
1
、C
2
，过上述【例
六个点分别作所在边的垂线a
1
、a
2
、b
1
、b
2
、c
1
、c
2
，设a
1
、b
2
、c
1
三线交于一点D，

求证：a
2
、b
1< br>、c
2
三线也相交于一点；






R(O,180?)
【分析】?a、a关于圆心O成中心对称，?a?????a< br>2121

(O,180?)(O,180?)
同理：b
1
?
R
????b
2
，c
1
?
R
????c< br>2

?a、b、c的公共点D在变换R(0,180?)下的像D'也是像a、b、c的 公共点
121212

即：a
2
、b
1
、c
2
三线也相交于一点

10】AD是?ABC的外接圆O的直径，过D作圆O的切线交BC于P，连接并延长【例
PO 分别交AB、AC于M、N，求证：OM?ON


【分析】设O?????O',N ?????N',而M?????B,
?M、O、N三点共线，?B、O'、N'三点共线，且
取BC中点G，连接OG、O'G、DG、DB
??OGP??ODP?90?,?P、D、G、O四点 共圆
??ODG??OPG，而由MNBN'有?OPG??O'BG
??ODG??O'BG ,?O'、B、D、F四点共圆
??O'GB??O'DB；而?O'DB??ACB,??O'GB? ?ACB,O'GAC
而G是BC的中点，?O'是BN'的中点，O'B?O'N'
?OM? ON

AB
H(A、)
AM
AB
H(A、)
AM< br>AB
H(A、)
AM
O'BO'N'
?
OMON