2006中国数学奥林匹克

2006中国数学奥林匹克

第一天
一、实数a
l
，a
2
，…，a
n
满足
a
1
?a
2???a
n
?0.

n
n?1
max(a)?
?
(a
i
?a
i?1
)
2
.

1 ?k?n
3
i?1
2
k
二、正整数a
1
，a
2
,…，a
2006
(可以有相同
的)使得
a
1
,
a
2
,
?
,
a
2005
两两不相等．问 ：
232006
aa
a
a
1
,a
2
，…， a
2006
中最少有多少个不同的数?
三、正整数m、n、k满足
mn?k ?k?3.
证明：不定方程
x
2
?11y
2
?4m
和
x
2
?11y
2
=4n
2
中至少有一个有奇数解 (x,y)．

第二天

0
四、在Rt△ABC中，∠ ACB=90，△ABC的内切圆⊙
O
分别与边BC、CA、AB相切于点D、
0E、F，联结AD，与内切圆⊙
O
相交于点P，联结BP、CP，若∠BPC=90，求证 ：AE+AP=PD.
五、实数列{a
n
}满足：
a
1< br>?
11.
,a
k?1
??a
k
?,k
?1,2,
?
.

22?a
k
证明：
[
a?a
2
????a
n
n
1n11
?1]
n
?(
1
)(?1)(?1)...(?1).

n
a
1< br>a
2
a
n
2(a
1
?a
2
???? ?a
n
)
六、设X是一个56元集合，求最小的正整数n，使得对X的任意1 5个子集，只要它们
中任何7个的并的元素个数都不少于n，则这15个子集中一定存在3个，它们的交 非空。