1996中国数学奥林匹克

第十一届中国数学奥林匹克 (1996年)
1. 设H是锐角△ABC的垂心，由A 向BC为直径的圆作切线AP、AQ，切
点分别为P、Q。求证：P、H、Q三点共线。
2. 设S={1, 2, ... , 50}，求最小自然数k，使S的任一k元素中，都存在两个
不同的数a和b，满足(a+b)整除ab。
3. 设R为实数集合，函数f：R→R适合条件f( x
3
+y
3
)=(x+y)( f(x)
2
-f(x)f(y)
+f(y)
2
)，x、y为实数。试证：对一切实数x，都有f( 1996 x ) = 1996 f(x)。
4. 8位歌手参加艺术会，准备为他们安排m次演出，每次由其中 4位登台表
演。要求8位歌手中任意两位同时演出的次数都一样多，请设计一种方案，
使得演出 的次数m最少。
5. 设n为自然数，，且
。求证：
。
6. 在△A BC中，∠C=90
。
，∠A=30
。
，BC=1，求△ABC的内接三角形 (三顶
点分别在三边上的三角形)的最长边的最小值。